人教版九年级数学上册（第二十二章 二次函数）22.2 二次函数与一元二次方程（学习、上课课件）

22.2二次函数与一元二次方程第二十二章二次函数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数与一元二次方程的关系二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征与a，b，c的符号关系 知识点二次函数与一元二次方程的关系知1－讲感悟新知1二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根. 知1－讲感悟新知2.二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数y=ax2+bx+c之间的内在联系与区别，列表如下：判别式结果内容b2－4ac>0b2－4ac=0b2－4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况有两个不等的实数根x=有两个相等的实数根x1=x2=－没有实数根 知1－讲感悟新知二次函数y=ax2+bx+c的图象a>0a<0抛物线与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)没有交点 知1－讲感悟新知拓宽视野已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值y=m，求自变量x的值.方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的交点的横坐标. 知1－练感悟新知二次函数y=x2－6x+n的图象如图22.2-1，若关于x的一元二次方程x2－6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=________.例1解题秘方：紧扣抛物线与x轴两交点与对称轴的关系求解. 知1－练感悟新知解：由图象知抛物线与x轴的一个交点为(1，0).由题知抛物线的对称轴为直线x=－=3.∴抛物线与x轴的另一个交点是(5，0).∴方程的另一个解为x2=5.答案：5可用一元二次方程根与系数的关系进行验证. 知1－练感悟新知1-1.抛物线y=x2+2x+m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是()A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<-2A 知1－练感悟新知1-2.[中考·成都]在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=________．1 感悟新知知2－讲知识点二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系2二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解. 感悟新知知2－讲1.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0的解(1)作出二次函数y=ax2+bx+c的图象，确定图象与x轴公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0的解的个数； 感悟新知知2－讲(2)观察图象，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解；(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 知2－讲感悟新知方法提醒估计一元二次方程的解的方法：对于y=ax2+bx+c，如果ax12+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1与x2之间存在一个解，取x3=，若ax32+bx3+c>0，则取x4=；若ax32+bx3+c<0，则取x4=.这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止. 感悟新知知2－讲2.利用二次函数y=ax2的图象与直线y=－bx－c的公共点求方程ax2+bx+c=0的解(1)将方程ax2+bx+c=0化为ax2=－bx－c的形式；(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的交点的横坐标；(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 感悟新知知2－练例2利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8的近似解(结果精确到0.1).解题秘方：画出二次函数y=－x2+2x+5的图象，利用二次函数的图象与x轴的公共点计算一元二次方程的近似解. 感悟新知知2－练解：整理方程，得－x2+2x+5=0.作函数y=－x2+2x+5的图象如图22.2-2所示.由图象可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在－2和－1，3和4之间，即方程－x2+2x－3=－8的两个实数解分别在－2和－1，3和4之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.由图象可知，当x=3时，y>0；当x=4时，y<0. 感悟新知知2－练取3和4的平均数3.5，当x=3.5时，y=－0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个解在3和3.5之间.取3和3.5的平均数3.25，当x=3.25时，y=0.9375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25和3.5之间.取3.25和3.5的平均数3.375，当x=3.375时，y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375和3.5之间. 感悟新知知2－练由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4.所以方程－x2+2x－3=－8的解为x1≈－1.4，x2≈3.4. 知2－练感悟新知方法点拨：用图象法求一元二次方程的近似解时，一般是作出相应的二次函数的图象，确定一元二次方程的解的个数，找出公共点的横坐标的大致范围，然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解. 知2－练感悟新知2-1.二次函数y=－x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程－x2+mx－t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是()A.t>－5B.－5<t<3C. 3<t≤4D.－5<t≤4D 知2－练感悟新知2-2.［中考·苏州］若二次函数y=ax2+1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2+1=0的实数根为()A.x1=0，x2=4B.x1=－2，x2=6C.x1=，x2=D.x1=－4，x2=0A 感悟新知知3－讲知识点3二次函数y=ax2+bx+c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置，b2－4ac的符号决定抛物线与x轴的交点情况，具体如下表：二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征与a，b，c的符号关系 感悟新知知3－讲字母或式子字母或式子的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下b=0对称轴为y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a，b异号)对称轴在y轴右侧 感悟新知知3－讲cc=0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac=0图象与x轴有唯一一个交点b2－4ac>0图象与x轴有两个交点b2－4ac<0图象与x轴没有交点 知3－讲感悟新知收藏夹对于二次函数y=ax2+bx+c：当x=1时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0；若y>0，则a+b+c>0；若y<0，则a+b+c<0.当x=－1时，y=a－b+c，此时，若y=0，则a－b+c=0；若y>0，则a－b+c>0；若y<0，则a－b+c<0. 知3－练感悟新知已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图22.2-3所示，有下列结论：①a+b+c<0；②a－b+c>0；③abc>0；④b2<4ac；⑤b=2a.其中正确的结论有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个例3 知3－练感悟新知解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断. 答案：B知3－练感悟新知解：当x=1时，对应的函数值y<0，即a+b+c<0，故①正确；当x=－1时，对应的函数值y>0，即a－b+c>0，故②正确；观察图象知抛物线过原点，∴c=0，则abc=0，故③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac,故④错误.∵抛物线的对称轴是直线x=－1，∴－=－1.∴b=2a，故⑤正确. 知3－练感悟新知3-1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列说法：①a>0；②b>0；③c<0；④b2－4ac>0.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个B 二次函数与一元二次方程等价于函数值为0时的一元二次方程根的个数二次函数与一元二次方程图象与字母系数a，b，c的关系二次函数图象与x轴的公共点个数