江苏南京金陵中学2024届高三下学期2月模拟测试数学试题

南京市金陵中学2023-2024学年高三模拟测试数学2024.2.19本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）A.8人B.6人C.4人D.2人22.若集合M=={yy∣ln4(−=x)},N[−2,2]，则MN∩=（）A.[−2,2]B.(−2,2)C.(−∞,2]D.[−2,ln4]3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”､“圆罂测雨”､“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm），则平地降雪厚度的近似值为（）91319597A.cmB.cmC.cmD.cm1241212学科网（北京）股份有限公司 22x24.抛物线Cy:=2pxp(>0)的焦点为F，且C与椭圆+=y1在第一象限的交点为A，若AF⊥x2轴，则p=（）222A.B.1C.2D.335.如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（）A.OC=OEB.OAOB⋅>0C.OAOD+=2OED.OAOCOD++=02316.设AB,为两个事件，已知P(AP)=,,(BP)=(A∣B)=，则PAB(∣)=（）5522132A.B.C.D.33557.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点MN,是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大."如图，其结论是：点P为过MN,两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点MN(0,2,)(2,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（）A.2B.6C.2或6D.1或30.0018.若a=0.001sin0.001,+==bcln1.001,e−1，则（）A.bca>>B.cab>>学科网（北京）股份有限公司 C.cba>>D.acb>>二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知直线lm,，平面αβ,，则下列说法错误的是（）A.m∥ll,∥α，则m∥αB.l∥β,m∥βαα,,lm⊂⊂，则α∥βC.l∥ml,,⊂⊂αβm，则α∥βD.l∥β,m∥βαα,,,l⊂m⊂∩=lmM，则α∥β10.已知fx()=sin2x+3cos2x，则（）A.函数fx()的最小正周期为ππB.将函数fx()的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称6ππC.函数fx()在区间,上单调递减1221π2πD.若f(θ)=，则8tanθθ+−tan+=12662811.若xy,满足()x+−=yxy2，则（）3A.yx−−3B.yx−<233C.xy>D.xy−24三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z=−+−34i34i，则z=__________.*13.已知数列{an}满足a11=1,2an++−+anaann1=∈0(nN)，则数列{an}的通项公式为__________.22xy214.已知P是双曲线C:−=>λλ(0)上任意一点，若P到C的两条渐近线的距离之积为，则C上843的点到焦点距离的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.学科网（北京）股份有限公司 15.（本小题满分13分）已知在ABC中，三边abc,,所对的角分别为ABC,,，已知aABC(cos+=coscos)3sincosbAC.（1）求C；（2）若a=2,ABC外接圆的直径为4，求ABC的面积.16.（本小题满分15分）某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间x（小时/每周）和他们的语文成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一编号12345学习时间x247710语文成绩y829395108122（1）请根据所给数据求出语文成绩y的平均数和方差；（2）基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调查了200位学生.按照是否喜欢阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计，得到下列数据，请依据表中数据及小概率值α=0.01的独立性检验，分析“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”是否有关.表二语文成绩优秀语文成绩不优秀合计喜欢阅读7525100不喜欢阅读5545100合计1307020022nad()−bc附:.χ=(abcdacbd++++)()()()α0.100.050.010x2.7063.8416.635a17.（本小题满分15分）如图，四棱锥P−ABCD中，PA=PB=AB=AD=2，BC=4，AD∥BC，AD⊥AB，AC与BD交于点O，过点O作平行于平面PAB的平面α.（1）若平面α分别交PC，BC于点E，F，求OEF的周长；（2）当PD=22时，求平面α与平面PCD夹角的正弦值.学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题满分17分）22xy已知椭圆CO:+=1,为坐标原点，若椭圆C′与椭圆C的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆82C′的长轴长与椭圆C的长轴长之比为1:2.（1）求椭圆C′的方程；（2）已知点P在椭圆C上，点AB,在椭圆C′上，若OP=OAOB+，则四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.19.（本小题满分17分）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”.2（1）求证：对任意“好数”mm,−16一定为20的倍数；22q（2）若mpq=−，且pq,为正整数，则称数对(pq,)为“友好数对”，规定：Hm()=，例如p22124=5−1，称数对(5,1)为“友好数对”，则H(24)=，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的Hm()5的最大值.学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案及解析一､选择题5001.D【解析】由题可知，男居民选取×=125人，1200女居民选取125−=7人，则女居民比男居民多选取2人.故选D.22.D【解析】M==−={yy∣ln4(x)}(−∞,ln4]，所以MN∩=−[2,ln4].故选D.2040+3.C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为=15cm，4122π××++×20(10151015)所以平地降雪厚度的近似值为395.故选C.=cm2π×2012pp4.A【解析】由题设F,0，且A在第一象限，AF⊥x轴，则Ap,，又A在椭圆上，故222p22822+=⇒=pp1，而p>0，故p=，故选A.8935.C【解析】不妨设|OB||=OC||=OE|1=，则|OA||=OD|2=，显然OC与OE方向不一致，所以OC≠OE，A错误；OAOB⋅=⋅|OA||OB|cos∠<AOB0，B错误；根据平行四边形法则，OAOD+=2OE，C正确；OAOCOD++≠0.D错误.故选C.3326.B【解析】根据题意，PB()=，则PB()=−=1，555因为PAPBPABPBPAB()=()(∣∣)+()()，23211所以=PAB(∣)+×，所以PAB(∣)=.故选B.555237.A【解析】由题MN(0,2,)(2,4)可知，则线段MN的中点坐标为(1,3)，易知kMN=1，则经过MN,两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线yx=−4上.设圆心为Ca(,4−a)，则圆C的方程为：学科网（北京）股份有限公司 2222(xa−+−+=+−)(y4aa)(2a)，当∠MPN取最大值时，圆C必与x轴相切于点P（由题中结论222得），此时P的坐标为(a,0)，代入圆C的方程，得(4−+aa)=+−(2a)，解得a=2或a=−6，即对应的切点分别为P(2,0)和P1(−6,0).因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点MNP,,1的圆的半径大于过点MNP,,的圆的半径，所以∠∠MPN>MPN1，故点P(2,0)为所求，即点P的横坐标为2.故选A.8.D【解析】令fx()=x+=sin,xgx()ln(x+1)，xxhx()=−e1,pxhxfx()=()−()=−−−e1xxsin,xqx()=hxgx()−()=−−e1ln(x+1,)xx1px′()=−−e1cos,xqx′()=−e，令x+1xmx()=pxmx′′(),()=e+sinx，当x∈110,时，mx′()>0，所以px′()在0,时单2211调递增，所以当x∈0,时，pxp′()<=′221π3e1cos−−<−−e1cos=−−e1<0，所2621以px()在x∈0,时单週递减.所以21pp(0.001)<=(0)0，所以ca<；当x∈0,时，2x11qx′()=e0−，所以qx()在0,上单调递增，x+12所以qq(0.001)>=(0)0，所以cb>，综上，acb>>.故选D.二､多选题9.ABC【解析】选项A中，m可能在α内，也可能与α平行，故A错误；选项B中，α与β也可能相交，故B错误；学科网（北京）股份有限公司 选项C中，α与β也可能相交，故C错误；选项D中，依据面面平行的判定定理可知α∥β，故D正确.故选ABC.10.ACD【解析】由fx()=sin2x+3cos2x得fx()13π=+=2sin2xxxcos22sin2+，2232π对于A：最小正周期为T==π，所以A正确；2π对于B：将函数fx()的图象上所有点向右平移，所得图象的函数解析式为6ππgx()=2sin2x−+=2sin2x，而gx()为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以B错误；63ππ3ππ7π对于C：令2kπ+++∈22xkkπ,Z，化简得kπ+x+∈kkπ,Z，当k=0时，2321212π7ππππ7πππx，又因为,,⊂，所以函数在,单调递减，所以C正确：121212212121221π1ππ1对于D选项：因为f(θ)=，所以sin2θ+=，所以sinθθ+cos+=，所以234668πππsinθθ++costanθ+66161π2π=，即得=，也就是8tanθθ+−tan+=1，22ππ82π866sinθθ++cos+1tan++θ666所以D正确.故选ACD.2822311.ABD【解析】令yxt−=，即yxt=+，代入()x+−=yxy2得，x++tx(t−=20)，所以342228Δ=−−tt320()，解得−33t，所以A正确，B正确；由()x+−=yxy2可变形为32222222xy++xyxyxy33x+=+yxy2，因为−xy，所以−−11xy+，解得−xy，所以C3223342不正确，D正确.故选ABD.三､填空题12.45【解析】因为z=−++=−34i322484i，22所以z=8+−(4)=45.故答案为45.学科网（北京）股份有限公司 113.an=n【解析】20an++11−+anaann=，21−1111∴=2+∴1,+=12+1.aaaannn++11n1+1a11n+1∴=2，又+=∴12,+1是以2为1aa+11nan11n1首项，公比为2的等比数列.∴+=∴=12,ann.故答案为an=n.an21−21−22xy14.32−【解析】所求的双曲线方程为−=>λλ(0)，8422xy0022设点Pxy(00,)，则−=⇒−=λλxy0028，8422xyxy+−22xy−282λ000000点P到C的两条浙近线的距离之积为⋅===，122++(2)122(2)33321x2解得：λ=，故双曲线C方程为：−=y1，42故ac=2,=3，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为ca−=−32.故答案为32−.四､解答题15.解：（1）因为aABC(cos+=coscos)3sincosbAC，由正弦定理得sinAABC(cos+=coscos)3sinsincosBAC，因为AA∈≠(0,π),sin0，所以cosABC+=coscos3sincosBC，因为cosA=−+cos(BC)=sinsinBC−coscosBC.所以sinsinBC=3sincosBC，又sinB≠0，则tanC=3，因为C∈(0,π)，学科网（北京）股份有限公司 π所以C=.3222abc+−1（2）因为cC=4sin=23，所以cosC==，22ab得b=4或b=−2（舍去），1所以ABC的面积S=absinC=23.2829395108122++++2122216.解：（1）ys==100,=(82100)−+−+−(93100)(122100)=189.2,55所以语文成绩y的平均数为100，方差为189.2.（2）零假设为H0：喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀无关.22200(75455525)××−×800根据数据，因为χ==≈>=8.7916.635x，0.0113010070100×××91所以依据α=0.01的独立性检验，H0不成立，故可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”有关.17.17.解：（1）由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，1∴AOD与COB相似，AD=BC，211∴=AOOCOD,.=OB22因为过点O作平行于平面PAB的面α分别交PC，BC于点EF,，由面面平行的性质定理得OE∥PA，OF∥ABEF,∥PB，所以OEF与PAB相似，相似比为3：2，因为PAB的周长为6，所以三角形OEF的周长为4.（2）a∥平面PAB,∴平面α与平面PCD的夹角与平面PAB与平面PCD的夹角相等，AD=2，222PA==∴=+2,PD22,PDADPA,∴⊥ADPA，又AD⊥ABAB,,∩=∴⊥PAAAD平面PAB.AD⊂平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD，取AB的中点G，因为ABC为等边三角形，∴⊥∴⊥PGAB,PG平面ABCD.以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD为y轴，过点A与PG平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司 A(0,0,0,)D(0,2,0,)P(1,0,3,)C(2,4,0,)AD=0,2,0),DC=(2,2,0,)DP=(1,2−,3,)设平面PCD的法向量n=(xyz,,)，DCn⋅=0220xy+=,,n=−−(1,1,3)，DPn⋅=0xyz−+=230AD⊥平面PAB,∴AD是平面PAB的法向量，ADn⋅1525cosθθ===,sin=.ADn55525所以平面a与平面PCD夹角的正弦值为.522xy18.解：（1）设椭圆C′的方程为+=>>1(ab0).22ab22xy椭圆C:1+=中，长轴长为2842×=，离心8282−3率为=.82因为桸圆C′的长轴长与椭圆C的长轴长之比为1:2，所以2:421:2a=，解得a=2.因为椭圆C′与椭圆C的离心率相同，c3所以=，解得c=3.a2所以bac=−=221，学科网（北京）股份有限公司 2x2故椭圆C′的方程为+=y1.4（2）设AxyBxyPxy(11,,,,,)(22)(00).22xy因为点P在曲线C上，所以00+=1，82因为OP=OAOB+，所以四边形OAPB为平行四边形，所以(xy00,,)=++(xxyy1212).22(xx12++)(yy12)所以+=1.8222xx1222xx12又+=+=yy121,1，所以+=yy120，4442222x122x2xx12xy12−yx12因为+y1+=+y2yy12+=1，44422xy−yx所以1212=1，则xy−=yx2，12122直线OAyxxy:011−=，xy−yx1212因为点B到直线OA的距离d=，22xy+11xy−yx221212所以平行四边形OAPB的面积SOAPB=OAd=+×x1y1=−=xy12yx122.22xy+11所以四边形OAPB面积是定值，定值为2.19.（1）证明：设mt=10+4，19≤≤t且t为整数，2222∴m−=+−=16(10t4)16100tt++−=801616205(tt+4)学科网（北京）股份有限公司 ∵19≤≤t，且t为整数，∴254tt+是正整数，∴2m−16一定是20的倍数；22（2）∵mpq=−，且pq,为正整数，∴10t+=+4(pqpq)(−)，当t=1时，10t+==×=×41411427，没有满足条件的pq,，当t=2时，10t+==×=×=×=×4241242123846，pq+=12pq+=6∴满足条件的有或，pq−=2pq−=4p=7p=5解得或，q=5q=151∴Hm()=或，75当t=3时，10t+==×=×434134217，没有满足条件的pq,，当t=4时，10t+==×=×=×444144222411，pq+=22p=12∴满足条件的有，解得，pq−=2q=10105∴Hm()==，126当t=5时，10t+==×=×=×=×45415422731869，没有满足条件的pq,，当t=6时，10t+==×=×=×=×46416423241688，pq+=32pq+=16∴满足条件的有或，pq−=2pq−=4p=17p=10153解得或，∴Hm()=或，q=15q=617515∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的Hm()的最大值为.17学科网（北京）股份有限公司