2024届高三三角函数与解三角形专题5 解三角形中的最值与范围问题（解析版）

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。二、边化角与角化边的变换原则1/30学科网（北京）股份有限公司 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2022·全国甲卷（理&文）T16AC1．已知ABC中，点D在边BC上，∠=°==ADB120,AD2,CD2BD．当取得最小值时，BD=．AB【答案】31−2AC【分析】设CD=220BD=m>，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.2AB【详解】[方法一]：余弦定理设CD=220BD=m>，2222则在△ABD中，AB=BD+AD−2BDAD⋅cos∠ADB=++m42m，2222在ACD中，AC=CD+AD−2CDAD⋅cos∠ADC=4m+−44m，AC224m+−44m4(mmm2++42)−121(+)12===−4所以AB22mm++42mm2++423(m++1)m+112≥−4=−4233，21(m+⋅)m+13当且仅当m+=1即m=31−时，等号成立，m+1AC所以当取最小值时，m=31−.AB故答案为：31−.2/30学科网（北京）股份有限公司 [方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，3），B（-t,0）22221344412AC(t−+)t−+t∴===−4≥−42322132243AB(t++)t++t(t++1)t+1当且仅当t+=13,即BD=−31时等号成立。[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得22cx=++42x22222，∴+=+2cb126x，b=+−444xx22cx=++42x22222，∴+=+2cb126x，b=+−444xxAC=t，则2222令2ctc+=+126x，AB++222126xx1262∴+=t2==−61≥−623，22243cxx++(x++1)x+12∴≥−t423，3当且仅当x+=1，即x=31+时等号成立.x+1[方法四]：判别式法设BD=x，则CD=2x2222在△ABD中，AB=BD+AD−2BDAD⋅cos∠ADB=++x42x，2222在ACD中，AC=CD+AD−2CDAD⋅cos∠ADC=4x+−44x，222AC4x+−44x4xx+−44所以=，记t=，222ABx++42xxx++422则(4−−+tx)(42tx)+−=(440t)2由方程有解得：∆=(42+t)−44(−tt)(44−)≥03/30学科网（北京）股份有限公司 2即tt−+≤840，解得：423−≤≤+t4232+t所以t=−423，此时x==31−min4−tAC所以当取最小值时，x=31−，即BD=31−AB2022·新高考1卷cosABsin22．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．1sin++AB1cos22π(1)若C=，求B；322ab+(2)求的最小值．2cπ【答案】(1)；(2)425−．6cosABsin2【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将=化成cos(AB+=)sinB，再结1sin++AB1cos2π合0<<B，即可求出；222ππab+22（2）由（1）知，CB=+，AB=−2，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成4cosB+−5，2222ccosB然后利用基本不等式即可解出．cosAsin2B2sinBBcossinB【详解】（1）因为===，21sin++AB1cos22cosBBcos1即sinB=coscosAB−sinsinAB=cos(AB+=)−cosC=，2ππ而0<<B，所以B=；26ππ（2）由（1）知，sinBC=−>cos0，所以<<<<CBπ,0，22π而sinBCC=−=−cossin，2πππππ3所以CB=+，即有AB=−2，所以BC∈∈0,,,22424222222ab+sinA+sinBcos2B+−1cosB所以==222cCsincosB222(2cosBB−+−1)1cos22==4cosB+−≥5285−=425−．22cosBBcos2222ab+当且仅当cosB=时取等号，所以的最小值为425−．22c4/30学科网（北京）股份有限公司 2020·浙江卷3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinbAa−=30．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．π313+【答案】（I）B=；（II）,322【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosABC++coscos的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理222233aa23a由2sinbAa=3，得sinA==，即1cos−=A.2224bb4b222bca+−结合余弦定cosA=，2bc22222bca+−3a∴1−=，224bcb2244422222222即4bcbc−−−−a2223bc+ba+ca=ac，444222222即a+++−bcac220ab−bc=，44422222222即a+b+c+−−=222acabbcac，22222即(a+−=cb)(ac)，222∵ABC为锐角三角形，∴acb+−>0，222∴a+−=cbac，222acb+−1所以cosB==，22acπ又B为ABC的一个内角，故B=.3[方法二]【最优解】：正弦定理边化角3由2sinbAa=3，结合正弦定理可得：2sinsinBA=3sin,sinAB∴=2πABC为锐角三角形，故B=.3（II）[方法一]：余弦定理基本不等式πB=，并利用余弦定理整理得222因为b=+−acac，35/30学科网（北京）股份有限公司 22即3()ac=+−acb.2ac+ac+结合ac≤，得≤2.2bπac+由临界状态（不妨取A=）可知=3.2bac+而ABC为锐角三角形，所以>3.b222222bca+−1abc+−由余弦定理得cosABC+cos+cos=++，2bc22ab1ac+b222=+−acac，代入化简得cosABC++=coscos+12b313+故cosABC++coscos的取值范围是,.22[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12πcosABCA+cos+cos=cos++cos−A23131311=−++cosAAAcossin=++sinAAcos222222π1=sinA++.622π0<−<πA32πππππ2由可得：<<A，<+<A，0<<Aπ623632π3π1313+则sinA+∈,1，sinA++∈,.626222313+即cosABC++coscos的取值范围是,.22222【点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得a+−=cbac，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.2019年全国Ⅲ卷·文·理T18AC+4．∆ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知asin=bAsin．26/30学科网（北京）股份有限公司 （1）求B；（2）若∆ABC为锐角三角形，且c=1，求∆ABC面积的取值范围．π33【答案】(1)B=;(2)(,).382【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得πB=.31(2)根据三角形面积公式SABC=ac⋅sinB，又根据正弦定理和c=1得到SABC关于C的函数，由于ABC是2π锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算C的定义域，最后求解SCABC()的值域.2【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】AC+πB由三角形的内角和定理得=−，222AC+πB此时asin=bAsin就变为asin−=bAsin．222πBBB由诱导公式得sin−=cos，所以acos=bAsin．2222在ABC中，由正弦定理知a=2sin,RAb=2sinRB，BB此时就有sinAcos=sinsinAB，即cos=sinB，22BBBπ再由二倍角的正弦公式得cos=2sincos，解得B=．2223[方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB的值可得∠B的值】AC+由解法1得sin=sinB，222AC+1cos(−+AC)2两边平方得sin=sinB，即=sinB．222又ABC++=°180，即cos(AC+=)−cosB，所以1cos+=BB2sin，2进一步整理得2cosBB+cos−=10，1π解得cosB=，因此B=．23[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得ABC,,的比例关系】AC+AC+根据题意asin=bAsin，由正弦定理得sinsinA=sinsinBA，22因为0<<Aπ，故sinA>0，7/30学科网（北京）股份有限公司 AC+消去sinA得sin=sinB．2AC+AC+AC+0<B<π，0<<π，因为故=B或者+=Bπ，222AC+AC+而根据题意ABC++=π，故+=Bπ不成立，所以=B，22π又因为ABC++=π，代入得3B=π，所以B=.3(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】πππππ因为ABC是锐角三角形，又B=，所以<<AC,<<，362622πsinC则112aA3sin33SacsinBcBsinABC22c4sinCC4sin22ππsincosCC−cossin整理得33333．SABC=⋅=+4sinC8tanC8ππ31因为C∈,，所以tanC∈,+∞，则∈(0,3)，623tanC3333从而SABC∈,，故ABC面积的取值范围是,．8282[方法二]【由题意求得边a的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】3由题设及（1）知ABC的面积Sa=．△ABC4π因为ABC为锐角三角形，且cB=1,=，322ba+−1cosA=>0,222bba+−>10，所以22即22ba+−1ba+−>10.cosC=>0,2ab2−>a0,122<<a2，又由余弦定理得ba=+−1a，所以2即2aa−>0,23333所以<<S，故ABC面积的取值范围是,．ABC8282[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC中，过点A作AC1⊥BC，垂足为C1，作AC2⊥AB与BC交于点C2．3π由题设及（1）知ABC的面积Sa=，因为ABC为锐角三角形，且cB=1,=，△ABC438/30学科网（北京）股份有限公司 c所以点C位于在线段CC12上且不含端点，从而c⋅cosBa<<，cosBπ1cos<<a133即3π，即<<a2，所以<<S，cos282ABC333故ABC面积的取值范围是,．82【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.2018·北京卷3c5．若ABC的面积为222()acb+−,且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是.4a【答案】60(2,+∞)π【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tanB=3，可求得∠=B；再利用sinC=sin(AB+)，3将问题转化为求函数fA()的取值范围问题.31222【详解】S=(a+−=cb)acsinB，∆ABC42222acb+−sinBsinB∴=，即cosB=，2ac33sinBπ∴=∠=3,B，cosB3231πsin−AAA⋅cos−−⋅sin则cCsin322311，====⋅+aAsinsinAsinA2tanA2ππ∴∠C为钝角，∠=BA,0∴<∠<，3631c∴tanA∈0,,∈(3,+∞)，故∈(2,+∞).3tanAa9/30学科网（北京）股份有限公司 π故答案为，(2,+∞).32018·江苏卷6．在ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，∠=°ABC120，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4ac+的最小值为．【答案】9【详解】［方法一］：【最优】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式由题意可知，SSS△ABC=△ABD+△BCD,由角平分线定义和三角形面积公式得11111acsin120°=a××1sin60°+c××1sin60°，化简得ac=+ac，即+=1，222ac11ca4ca4因此4ac+=+(4ac)(+=++≥+)552⋅=9,acacac当且仅当ca=23=时取等号，则4ac+的最小值为9.［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式ac由三角形内角平分线性质得向量式BD=BA+BC．ac++ac22a22cacac因为BD=1，所以12=++⋅BABCBABC，化简得1=，即ac=+ac，亦即2ac+++ac()acac+(ac−−=1)(1)1，所以4ac+=−+−+≥+4(a1)(c1)5524(a−−=1)(c1)9，3当且仅当4(ac−=−1)1，即ac=,3=时取等号．2［方法三］：解析法＋基本不等式1313如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设Ca(,0)，D,,Acc−,．因2222333c−22211为A，D，C三点共线，则kkAD=CD，即=，则有ac+=ac，所以+=1．111ac−−ca−222，下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式22π2在BDC中，CD=a+−12cosa=a+−1a，同理AD=c+−1c．根据内角平分线性质定理知310/30学科网（北京）股份有限公司 22CDBCa+−1aa1−aa=，即=，两边平方，并利用比例性质得=，整理得(a−ca)(+−=cac)0，当ADABcc2c2+−11−ccac=时，可解得ac==2,4ac+=10．当ac+=ac时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式AD11CD在△ABD与△BCD中，由正弦定理得=,=．sin60°°sinACsin60sinabADCD+ADCD在ABC中，由正弦定理得===+．sinABsinsin120°sin60°°sin60a11a11所以=+，由正弦定理得1==+，即ac=+ac，下同方法一．sinAACsinsinaac［方法六］：相似＋基本不等式如图6，作AE∥BC，交BD的延长线于E．易得ABE为正三角形，则AEcD=,1Ec=−．AEDEcc−1由ADE∽CDB，得=，即=，从而ac+=ac．下同方法一．BCBDa1【点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到ac,的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单11/30学科网（北京）股份有限公司 重点题型·归类精讲题型一由不等式求最值角平分线相关π1．（多选）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠=ABC，内角B的平分线交AC于3点D且BD=3，则下列结论正确的是（）11A．+=1B．b的最小值是2acC．ac+3的最小值是43D．ABC的面积最小值是3【答案】ABD【分析】由三角形面积公式寻找a，c关系，再利用基本不等式判断．【详解】解：由题意得：SSS△ABC=△ABD+△BCD，111πππ由角平分线以及面积公式得ac×=×+×sin3asin3csin，23262611化简得ac=+ac，所以+=1，故A正确；ac∴=+≥acac2ac，当且仅当ac=时取等号，∴ac≥2，∴≥ac4，13所以S=acsin∠=≥ABCac3，当且仅当ac==2时取等号，故D正确；ABC2422222由余弦定理b=+−ac2accos∠ABC=+−acac222=+−(ac)3ac=(ac)−3ac≥−×=4344所以b≥2，即b的最小值是2，当且仅当ac==2时取等号，故B正确；1111ac3ac3对于选项C：由ac=+ac得：+=1，∴+=+×+=+++≥+acac3(3)()1342×=+423，acaccaca11+=1a=+13ac当且仅当，即3时取等号，故C错误；ac=3c=+1ca3故选：ABD．2．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①(bcabcabc+−)(++=)，②aCsin=3(cosaCb−)，③(2bc++=)cosAaCcos0中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.(1)求A；(2)若内角A的角平分线交BC于D点，且AD=3，求ABC的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）2π【答案】(1)A=(2)33312/30学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）若选①：根据余弦定理分析运算；对于②③：根据正弦定理结合三角恒等变换分析运算；（2）根据面积公式可得bc=3(bc+)，再利用基本不等式可得bc≥12，进而可得结果.222222【详解】（1）若选①：因为(bcabca+−)(++=+−+)bca2bc=bc，整理得b+−=ca−bc，222b+−ca−bc1由余弦定理可得cosA===−，222bcbc2π因为A∈(0,π)，所以A=；3若选②：因为aCsin=3(cosaCb−)，由正弦定理可得sinsinAC=3(sinACBcos−sin)，则sinsinAC=3(sinACBcos−=sin)3sinACcos−+=sin(AC)−3cossinAC，因为AC,∈(0,π)，则sinC≠0，则sinAA=−3cos，2π可得tanA=−3，所以A=；3若选③：因为(2bc++=)cosAaCcos0，由正弦定理可得(2sinBCAAC++=sin)cossincos0，则(2sinBCAAC+sin)cos+sincos=2sinBAcos+sin(AC+=)2sinBABcos+=sin0，因为AB,∈(0,π)，则sinB≠0，则2cosA+=1012π可得cosA=−，所以A=.23π（2）由题意可得：∠=BAD∠=CAD，且SSSABC=BAD+CAD，3111则bcsin∠=×××∠+×××∠BACcADsinBADbADsinCAD，222131313即bc×=×××+×××c33b，且bc,0>，222222则bc=3(bc+≥×)32bc，当且仅当bc==23时，等号成立，可得bc≥12，113所以S=bcsin∠BAC≥××=1233，△ABC222故ABC的面积的最小值为33.中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知abc,,分别是ABC的三个内角ABC,,的对边，且aCcos+3sinaCbc−−=0.(1)求角A；13/30学科网（北京）股份有限公司 (2)若D在边BC上且BD=DCAD,2=，求ABC面积的最大值.π43【答案】(1)，(2)33【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一为角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果，1AD=AB+AC22（2）由已知可得D为BC中点，则()，两边平方化简得16=++cbbc，再利用基本不等216式可求得bc≤，从而可求出ABC面积的最大值.3【详解】（1）由aCcos+=3sinaCbc+及正弦定理得sincosAC+=3sinsinACsinBC+sin因为sinB=sin(AC+=)sincosAC+cossinAC，所以sincosAC+=++3sinsinACsinACcoscossinACCsin，因为sinC≠0，π1所以3sinAA=cos+⇒1sinA−=，62ππ5π因为A∈(0,π)，所以A−∈−,，666πππ所以A−=，得A=，663（2）因为D在边BC上且BD=DC，1所以D为BC中点，所以AD=(AB+AC)，两边平方得22122AD=(AB++⋅AC2ABAC)，4πAD=2,A=22因为，所以得到16=++cbbc，32216由b+≥∴≤c2,bcbc，当且仅当bc=时取等号，31343所以S=bcsinA=bc≤，当且仅当bc=时取等号，ABC2434343所以当bc==时，即ABC为等边三角形时ABC面积的最大值为33浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟4．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若bAB(tan+=tan)2tancB，BC边的中线长为1．（1）求角A；14/30学科网（北京）股份有限公司 （2）求边a的最小值．π【答案】（1）A=；（2）222−．4【分析】（1）首先利用同角三角函数的商数关系和正弦定理的边化角公式将bAB(tan+=tan)2tancB转化sinAsinBsinsinBC为sinB+=2，再化简即可得到答案.cosABcoscosB（2）首先根据BC边的中线长为1，得到AB+=AC2，从而得到bc≤−422，再利用余弦定理即可得到答案.【详解】（1）因为bAB(tan+=tan)2tancB，sinAsinBsinsinBC所以sinB+=2，cosABcoscosBsinABcos+cossinABsinCBsinsinB=2，coscosABcosBsinsinB(AB+)sinCBsin=2，coscosABcosBsinsinBCsinCBsin=2，coscosABcosB因为sinB>0，sinC>0，cosB≠0，2π所以cosA=，又0<<Aπ，所以A=．24（2）因为BC边的中线长为1，所以AB+=AC2，2222所以c++b2bccosA=4，即b+=−c422bc≥bc，解得bc≤−422，当且仅当bc=时取等号.222所以a=−=+−⋅(ABAC)(ABAC)4ABAC=−422bc≥−4224221282(−)=−，所以a的最小值为1282−=−222．福建省厦门双十中学高三上学期期中5．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sinbA=3cosaBaB+sin.（1）求角B的大小；（2）设点D是AC的中点，若BD=3，求ac+的取值范围.π【答案】（1）B=；（2）(23,4].3π【分析】（1）由2sinbA=3cosaBaB+sin可得bAaBsin=cos(−)，由正弦定理得bAaBsin=sin，从而615/30学科网（北京）股份有限公司 π得aBaBsin=cos(−)，化简可求得tanB=3，进而可求出角B；6（2）如图，延长BD到E，满足DE=BD，连接AECE，，则ABCE为平行四边形，且2π2BE=∠=23,BAE,AB===cAE,BCa，然后在BAE中，利用余弦定理可得ac=+−(ac)12，再利用3基本不等式可得ac+≤4，又由AE+>ABBE，即ac+>23，从而可求出ac+的取值范围【详解】解：（1）在ABC中，ab由正弦定理=，可得bAaBsin=sin，sinABsin因为2sinbA=3cosaBaB+sin，π所以bAaBsin=cos(−)，6π所以aBaBsin=cos(−)，6π31即sinBBcos()，即sinBBBcossin，可得tanB=3，622π又因为B∈(0,)π，所以B=.3（2）如图，延长BD到E，满足DE=BD，连接AECE，，2π则ABCE为平行四边形，且BE=∠=23,BAE,AB===cAE,BCa，32222π在BAE中，由余弦定理得(23)=+−ac2accos，32222即a++=cac12，可得(ac+−=)ac12，即ac=+−(ac)12，22ac+由基本不等式得：ac=+−≤(ac)12()，2322即(ac+≤)12，即(ac+≤)16，可得ac+≤44（当且仅当ac==2取等号号）又由AE+>ABBE，即ac+>23，故ac+的取值范围是(23,4].定角定高16/30学科网（北京）股份有限公司 6．如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AH=4，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值.ABHC1π183【简证】由等面积可得：bcsin=×⇒=4abca2323222283由余弦定理+可得：a=+−≥−=⇒≥bcbc2bcbcbcaa3831163得a≥，即Sa=×≥4323对式子变形后利用基本不等式求最值2227．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acsin(BC+++−=)acb0.π(1)若A=，a=2，求ABC的面积；6224sinCA++3sin2(2)求的最小值，并求出此时B的大小.2sinB2π【答案】(1)3;(2)最小值是5，B=.3【分析】（1）利用三角形内角和以及诱导公式和余弦定理化简，可得cosBA=−sin，继而求得B，判断三角形形状，即可求得三角形面积；（2）利用二倍角公式以及同角的三角函数关系化简为只含sinB的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由题意：∵ABC++=π，∴sin(BC+=)sinA，222acb+−根据余弦定理cosB=，2ac222222acb+−可知2acsin(BC+++−=)acb0,得sinA+=0,2ac即sinAB+=cos0，故cosBA=−sin，π1而A=，故cosB=−6217/30学科网（北京）股份有限公司 2ππ又因为BC,是ABC内角，故B为钝角，∴B=，∴C=，36∴ABC是等腰三角形，则ac==2，113∴S=acsinB=×××22=3.△ABC222π（2）由（1）可知ABC中，cosBA=−sin，则BA=+，即B为钝角，23ππ又∵ABC++=π，C=−−=−πAB2B，AB=−2222224sinCA++3sin24cos2BB++3cos2所以=，22sinBBsin224cos2BB++3cos2设fB()=，2sinB22242412sin(−BB)+−31sin()+216sinBB−+19sin9则fB()==2sin2BsinB292=+−16sinB19，sinB∈(0,1)，2sinB2299故fB()=16sinB+−≥19216sinB⋅−=195，22sinBBsin2932π当且仅当16sinB=2，即sinB=，结合B为钝角，即B=时等号成立sinB23224sinCA++3sin22π所以的最小值是5，此时B=.2sinB3湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研8．已知ABC的角ABC,,对边分别为abc,,，3cosaBbA−=sin0.(1)求∠B；(2)若ac+=2，求b的取值范围.π【答案】(1)；(2)12b<3【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可求tanB，结合范围B∈(0,)π，可得B的值；（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求b1，结合bac<+=2，即可求解b的取值范围．【详解】（1）3cosaBbA−=sin0，∴由正弦定理可得：3sinABBAcos−=sinsin0，sinA≠0，∴3cosBB−=sin0,即tanB=3，B∈(0,)π，π∴=B．3π（2）B=，ac+=2，318/30学科网（北京）股份有限公司 22222ac+2∴由余弦定理可得b=+−=+−acac()3()3()1acaca+−×c=，2当且仅当ac=时等号成立，∴b1，bac<+=2，∴12b<．题型二构造函数求范围π9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c=2，求2ab−的取值范围．3【答案】(−2,4)4343【分析】利用正弦定理得a=sin,Ab=sinB，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．33abc43【详解】由正弦定理得===，sinABCsinsin34343a=sin,Ab=sinB，3383438343π则2ab−=−=sinABAAsinsin−+sin，33333π=23sinAAA−=−2cos4sin，62πππππ1∵A∈0,，A−∈−,，sinA−∈−,1，366262∴2ab−∈−(2,4).2024届·雅礼中学月考（二）sin(AB−−)sin(AC)10．记锐角ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知=．cosBCcos11(1)求证：BC=；(2)若aCsin=1，求+的最大值．22ab25【答案】(1)见解析；(2).16【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；b11（2）根据（1）中结论运用正弦定理得aCRAsin=2sin=bAsin=1，然后等量代换出+，再运用222Rab降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.sin(AB−−)sin(AC)【详解】（1）证明：由题知=，cosBCcos19/30学科网（北京）股份有限公司 所以sin(AB−=)cosCsin(AC−)cosB，所以sinABCABCACBACBcoscos−=−cossincossincoscoscossincos,所以cossinABCcos=cossinACBcos因为A为锐角，即cosA≠0，所以sinBCCBcos=sincos，所以tanBC=tan，所以BC=.（2）由（1）知：BC=，所以sinBC=sin，因为aCsin=1，1所以=sinC，ab因为由正弦定理得：aRAB=2sin,sin=，2Rb所以aCRAsin=2sin=bAsin=1,2R1所以=sinA，b因为A=−−=−ππBC2C，1所以=sinAC=sin2，b所以11+22ab22=sinCC+sin21cos2−C2=+−(1cos2)C2213=−−+cos2CCcos222因为ABC是锐角三角形，且BC=，ππ所以<<C，42π所以<<2Cπ，2所以−<1cos2C<0，11125当cos2C=−时，+取最大值为，224ab1620/30学科网（北京）股份有限公司 1125所以+最大值为：.22ab162023届河北省唐山市三模11．记ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知A为钝角，aBbBsin=cos.π(1)若C=，求A；(2)求cosABC++coscos的取值范围.62π5【答案】(1)；(2)1,34π【分析】（1）由题意及正弦定理得到sinAB=cos，即sinAB=sin+，结合角的范围可得2πππA=+=BC,2−B，又C=,ABC++=π，即可求得A；2262（2）cosABC++coscos=−+cosBBsin2sincosBB，令tBB=cos−sin，化简得到cosA+cosB+cosCt=+−1t，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由aBbBsin=cos，根据正弦定理得：sinsinAB=sincosBB，π由于sinB≠0，可知sinAB=cos，即sinAB=sin+，2π因为A为钝角，则B为锐角，即B∈0,，2ππππ则+∈B,π，则A=+=BC,2−B.2222ππ2π由A=+BC,,=ABC++=π，得A=.263ππ（2）cosABC++coscos=cos+++BBcoscos−2B22=−++sinBBBcossin2=−+cosBBsin2sincosBB.πππππππ因为CB=−2为锐角，所以02<−<B，即0<<B，则B+∈,，2224442π设tBB=−=cossin2cosB+∈(0,1)，则2sincosBBt=−12，42215cosA+cosB+cosCt=+−=−−1tt+.242211155因为t∈(0,1)，则t−∈0,，从而−−+∈t1,.242445由此可知，cosABC++coscos的取值范围是1,.421/30学科网（北京）股份有限公司 12．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角ABC中，内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知2sinAc(cosBb+=cosC)3a.Aa=322(1)求；(2)若，求b++c3bc的取值范围.π【答案】(1)，(2)(11,15]3【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解；（2）先利用正弦定理求出bc,，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）根据题意，由正弦定理得2sinA(sinCcosB+sinBcosCA)=2sinsin(B+=CA)2sinsinAA=3sin，π又在锐角ABC中，有A∈0,，所以sinA>0，23π所以sinA=，所以A=；23π2π（2）结合（1）可得A=,BC+=−=πA，33abc由a=3，则根据正弦定理有===2，sinABCsinsin得b=2sin,Bc=2sinC，22222根据余弦定理有a=+−bc2bccosA，得b+=+c3bc，222π所以b++=+=+c3bc34bc316sinsinBC=+316sinsinB−B32π=383sincos+BB+=8sinB743sin2+B−=4cos2B78sin2+−B，6π2ππππ又ABC为锐角三角形，则有BB∈0,,−∈0,，得B∈,，23262ππ5ππ1所以2,B−∈，所以sin2B−∈,1，6666222π故b++=+c3bc78sin2B−∈(11,15].62023届广东江门市一模11113．在锐角ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且，，依次组成等差数列.tanBsinAtanC222abc+(1)求的值；(2)若bc>，求的取值范围.2bca【答案】(1)2；(2)(1,2)22/30学科网（北京）股份有限公司 1112【分析】（1）根据，，成等差数列结合三角恒等变换可得sinA=2sinsinBC，由正弦定理即tanBsinAtanC2a可求得的值；bc22222bbc+bc+1bc（2）由（1）得a=2bc，根据锐角三角形结合余弦定理可得的取值范围，将2转化为2=+，aaa2cb1122bbc+令=∈+x(1,12)，设fx()=x+根据函数单调性确定函数取值范围，即得的取值范围.c2x2a211cosBCcossincosCB+cossinCBsin(CB+)sinA【详解】（1）由条件得：=+=+===，sinABCtantansinBCsinsinsinBCsinsinBCsinsinBC2所以sinA=2sinsinBC，22a由正弦定理得：a=2bc，所以=2.bccosA>02（2）bc>及a=2bc，则BC>，角C一定为锐角，又ABC为锐角三角形，所以cosB>022222bca+−bcb+−2c>>002222bcbcb+−>c20bc由余弦定理得：⇒⇒，所以20bcc+−>22b，2222222acb+−2bccb+−20bcc+−>b>>0022acac2bbb即<+12，解得：12−<<+12，cccbb又>1，所以∈+(1,12).cc2222bcbc++1bc又==+，2a22bccb22bbc+11令=∈+x(1,12)，则=fx()=x+，2cax211(xx+−11)()fx′()=−=10>，2222xx所以fx()在(1,1+2)上递增，又f(11)=，f(122+=)，22bc+所以的取值范围是(1,2).2a2024届常德市一中校考114．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bCcacos+=，请完成以下问题：2(1)求角B的大小；ABCc=122(2)若为锐角三角形，，求ab+的取值范围．23/30学科网（北京）股份有限公司 π【答案】(1)B=；(2)(1,7).3【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答.（2）利用正弦定理把ab,表示为角C的函数，再利用三角函数的性质求解作答.1【详解】（1）在ABC中，由bCcacos+=及正弦定理得：2sinBCCcos+=sin2sinA，22sinBCCcos+sin=2sin(BC+=)2sinBCcos+2cossinBC，1整理得2cossinBCC=sin，而BC,∈(0,π)，sinC>0，于是cosB=，2π所以B=.3πaccAsinsinAcBsin3（2）在ABC中，B=，c=1，由正弦定理=，得a==，同理b==，3sinACsinsinCCsinsinCC2sin22π224sin(−+C)3因此22sinAA34sin+33ab+=+==2222sinCCC4sin4sin4sinC22223cosC++sinC23sinCCcos+36cosC++4sinC23sinCCcos33===++12224sinC4sinC2tanCC2tanπ0<<C2ππ31由锐角ABC，得，解得C∈(,)，则tanC>，t=∈(0,3)，0<−<2πCπ623tanC322233222于是abt+=++t1在t∈(0,3)上单调递增，则17<+<ab222024届长沙一中月考（一）ABC2215．在锐角中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且满足b−=aac.(1)求证：BA=2；l(2)设ABC的周长为l，求的取值范围.a【答案】(1)证明见解析,(2)(2++2,33)【分析】（1）由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证；l2（2）先由角的关系得出B=2,AC=−π3A，再结合正弦定理可得=4cosAA+2cos，最后结合二次函数值a域得出范围.222222【详解】（1）因为b−=aac，由余弦定理得b=+−ac2accosB，所以ac=c−2accosB，acaB=−2cos，由正弦定理得sinAC=sin−=2sincosABsin(AB+)−=+−2sincosABABABsincoscossin2sincABos=−=cossinABsincosABsin(BA−)，24/30学科网（北京）股份有限公司 πππ因为ABC为锐角三角形，所以A∈0,,BA−∈−,，222所以ABA=−，即BA=2.（2）B=2,AC=−π3A，πππ由ABC,,∈0,，得A∈,，264labc++sin3A+sin2Asin2cosAA+cos2sinAA+2sincosAA==+=11+aasinAsinA22sincosAA++cos2sinAA2sincosAA2=+=14cosAA+2cossinAππ23AA∈∈,,cos,，结合二次函数单调性易知2+<24cos2AA+2cos<+33，6422l即的取值范围为(2++2,33).a2024届长沙一中月考（二）16．ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为ABC的内心，记△OBC，OAC，OAB的面222积分别为S1，S2，S3，已知S1+−=S3SS13S2，AB=2.12cos−−AB12cos(1)在①aCcAcos+=cos1；②4sinsinBA+=cos2A1；③+=0中选一个作为条件，判断sinABsinABC是否存在，若存在，求出ABC的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若ABC为锐角三角形，求ABC面积的取值范围.3【答案】(1)见解析；(2),232ABC2222【分析】（1）由题意，根据的内切圆的性质可得a+−=cbac，选①，根据余弦定理可得aa+−=412，2222方程无解即△ABC不存在；选②，根据正弦定理可得ab=2，由a+−=cbac可得3440bb−+=，方程22无解即△ABC不存在；选③，根据三角恒等变换可得abc+==24，由（1）得aba+−=42，解得ab==2，可求出ABC的周长.33（2）由三角形的面积可得S=BC，再由正弦定理和两角和的正弦公式可得BC=+1，结合角C的2tanC取值范围即可求解.222【详解】（1）设ABC的内切圆半径为r，因为S1+−=S3SS13S2，11111222222所以()()()ar+−⋅=crar()()crbr，化简得：a+−=cbac，2222225/30学科网（北京）股份有限公司 222acb+−1π所以cosB==，因为B∈(0,π)，所以B=，22ac3222222abc+−bca+−选择①，因为aCcAcos+=cos1，所以acb⋅+⋅==1，22abbc2222因为a+−=cbac，c=2，所以aa+−=412，2整理得aa−+=230，方程无实数解，所以ABC不存在．2选择②，因为4sinsinBA+=cos2A1，所以4sinsinBA=1cos2−=A2sinA，因为sinA≠0，所以sinAB−=2sin0，所以ab=2，22222因为a+−=cbac，c=2，所以44bbb+−=4，2整理得3440bb−+=，方程无实数解，所以ABC不存在．12cos−−AB12cos选择③，由+=0得：sinAB+−sin2(sinABcos+cossin)AB=0，sinABsin所以sinA+=+sinB2sin(AB)，即sinABC+=sin2sin，所以abc+==24，222因为以a+−=cbac，c=2，2222所以aba+−=42，所以a+−−=4(4aa)2，解得ab==2，所以ABC存在且唯一，ABC的周长为abc++=6．π1133（2）由（1）知，B=，ABC面积S=⋅⋅=×⋅⋅=ABBCsinB2BCBC，32222πππABBC2sin++C2sincosCCcossin因为=，所以AB⋅sinA2sinA333，sinCAsinBC====sinCCCsinsinsinCππ31+2sincosCC+cossin2cosCCsin33223cosCC+sin3====+1sinCsinCsinCCtan因为ABC为锐角三角形，π2ππππ所以0<<C，0<−<C，解得：<<C，232623133所以tanC>，所以03<<，03<<，1<+<14，3tanCtanCtanC所以BC的取值范围为(1,4)，33而ABC面积S=BC∈,23.22sinAB+sin17．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=.cosAB+cos(1)求角C的大小；(2)若ABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.26/30学科网（北京）股份有限公司 π【答案】(1)C=，(2)2,6)3【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；2πππ23（2）由（1）知AB+=，又ABC是锐角三角形，可得<<A，根据且其面积为3可得c=，362sinsinAB1π1ππ再设y=sinsinAB，根据角度关系化简可得yA=sin2−+，再根据<<A求解即可.26462sinAB+sinsinCABsin+sin【详解】（1）因为tanC=，则=，cosAB+coscosCABcos+cos所以sincosCACB+=+sincoscossinCAcossinCB，即sincosCA−=−cossinCAcossinCBCBsincos，得sin(CA−=)sin(BC−).所以CABC−=−或CA−=−−π(BC)（不成立，舍去），π从而2CAB=+，又ABC++=π，所以C=.3π0<<A2π2ππ（2）由（1）知AB+=，又ABC是锐角三角形，则，得<<A.3<−<2ππ620A32221csinsinABc因为S△ABC==absinC⋅=sinsinAB=3，22sinC323所以c=.sinsinAB2π设y=sinsinAB，因为BA=−，32π31所以yA=sinsin−=AAsincosAA+sin3223111π1=sin2A+−cos2AA=sin2−+，444264ππππ5π13因为<<A，则<−<2A，所以y∈,，62666242从而c=[4,6)，即c∈2,6)，所以边c的取值范围是2,6).18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=3，sinAaB+=sin23，则ABC周长的取值范围为.27/30学科网（北京）股份有限公司 933+【答案】,933+23πππ【分析】由正弦定理及已知可得sinA=，结合锐角三角形得A=、<<B，再由正弦边角关系、三23629331abc++=+⋅角恒等变换得22B，即可求范围.tan2ab【详解】由=，则aBbAsin=sin，故sinAbA+==sin4sinA23，sinABsinπ0<<B3π2ππ所以sinA=，又ABC为锐角三角形，则A=，且，则<<B，23<=−<2ππ620CB322πabcbAsin333sin(−B)33cosB3而==，则a==，bCsin3=+，sinABCsinsinsinBB2sinc==2sinB2sinBBsin2B2cos9331cos+B93329331所以abc++=+⋅=+⋅=+⋅，22sinB22BB22B2sincostan222ππtan−tanπBππππ34又<<，且tan=tan(−=)=−23，12241234ππ1tan+tan349331933+Babc++=+⋅∈(,933)+所以tan∈−(23,1)，则22B2.2tan2933+故答案为：(,933)+.22024届河南省实验中学校考22sinAsinAC−sin19．在锐角ABC中，内角ABC,,所对的边分别为a，b，c，满足−=1，且AC.2sinCBsin(1)求证：BC=2；(2)已知BD是∠ABC的平分线，若a=4，求线段BD长度的取值范围.43【答案】(1)证明见解析；(2),22322222【分析】（1）由正弦定理得b=c+ac，又由余弦定理得b=+−ac2accosB，结合整理可得角的关系；BCBD（2）由正弦定理得=，又因为ABC为锐角三角形且BC=2，结合三角函数值域可求得线sin∠BDCsinC段BD长度的取值范围.28/30学科网（北京）股份有限公司 22acac−−22(acac+−)()sinACAC−−sinsinsin【详解】（1）由题意得=，由正弦定理得==，222sinCBsincbb1ac+=22因为AC，则ac≠，即ac−≠0，可得2，整理得b=c+ac，cb222由余弦定理得b=+−ac2accosB，整理得cacB=−2cos，由正弦定理得sinCA=sin−2sincosCB，故sinC=sin(BC+−)2sincosCB，整理得sinC=sin(BC−)，ππππ又因为ABC为锐角三角形，则CB∈∈0,,0,，可得BC−∈−,，2222所以CBC=−，即BC=2.BCBD（2）在△BCD中，由正弦定理得=，sin∠BDCsinCBCsinC4sinC2所以BD===，sin∠BDCsin2CcosCπ0<<C2πππ因为ABC为锐角三角形，且BC=2，所以02<<C，解得<<C.264π0<−<π3C22343故<<cosC，所以<<BD22.223湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考2a20．在锐角ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且ABC的面积S=bc(1cos−A)，则的取值范围为bc（）44164323216A．,+∞B．,C．,D．,55155353515【答案】B3cosA=5b【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数t=，将所求表示为t的函数，再根据正弦定sinA=4c543ππ理边化角、诱导公式、两角和差得t=+，注意到在锐角ABC中，有0<−<<AC，从而可以5tanC522求出tan,Ct的范围，由此即可得解11【详解】由三角形面积公式S=bcsinA结合S=bc(1cos−A)，可知sinAA=−1cos，即sinAA=21cos(−)，222241cos−+=AA2cos21，即2又由平方关系sinAA+=cos1，所以()5cosAA−8cos+=30，29/30学科网（北京）股份有限公司 3cosA=5cosA=1解得或（舍去），sinA=4sinA=05222222ab+−c2bAccosbcbc6由余弦定理有a=+−bc2bccosA，所以==+−2cosA=+−，bcbccbcb52babc616令t=，所以=+−=+−t，故只需求出t的范围即可，cbccb55tbBsinsinπ−+(AC)sin(AC+)由正弦定理边化角得t====cCsinsinCsinCsinACcos+cossinACsinA43==+=+cosA，sinCCCtan5tan5π注意到在锐角ABC中，有AC+>，简单说明如下：2πππ若AC+≤，则B=−+≥−=π(AC)π，即B不是锐角，但这与ABC是锐角三角形矛盾，222π所以在锐角ABC中，有AC+>，2ππ所以在锐角ABC中，有0<−<<AC，22π因为正切函数yx=tan在0,上单调递增，2π3sin−Aπ2cosA53所以tanCA>tan−====，2πsinA44cos−A25343435<=t+<+=从而55tanC5353，5×4235a16而函数=+−=tft()在,1单调递减，在1,单调递增，bct553435161616所以=≤<f(1)ft()maxf,f=max,=.5531515152416a综上所述：的取值范围为,bc51530/30学科网（北京）股份有限公司