【九省联考模式】2024届吉林长春五校高三上学期联合模拟考试数学试题
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V.02024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中长春十一高中吉林一中四平一中松原实验中学注意事项:1.答卷前,考生务必将自已的考生号、姓名、考场号填写在答题卡上,2.回答选择时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.x−21.已知集合Axy==−=={∣∣log2(2xByy)},{2},则AB∩=()A.(0,2)B.[0,2]C.(0,+∞)D.(−∞,2]i2.已知复数z=,则z的虚部为()1i−1111A.−B.−iC.D.i22223.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次,得到的点数分别为1,2,4,5,6,x,则这6个点数的中位数为4的概率为()1112A.B.C.D.63234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体,如图所示,其底面ABCD为矩形,顶棱PQ和底面平行,书中描述了刍薨的体积计算方法:求积术曰,倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一,即1V=+⋅(2ABPQBCh)(其中h是刍薨的高,即顶棱PQ到底面ABCD的距离),已知6AB=2BC=8,PAD和QBC均为等边三角形,若二面角P−−ADB和Q−−BCA的大小均为120°,则该刍薨的体积为()学科网(北京)股份有限公司
99A.303B.203C.3D.4843+25.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁4名航天员开展实验,其中天和核心舱安排2人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()种A.8B.10C.16D.20π35π6.已知cosαα−+=sin,则sinα−的值是()6463113A.−B.−C.D.444427.已知点F为地物线Cy:4=x的焦点,过F的直线l与C交于AB,两点,则AF+2BF的最小值为()A.22B.4C.322+D.611138.已的abc=sin,=cos,=ln,则()3332A.cab<<B.cba<<C.bca<<D.bac<<二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.an+12n*9.已知数列{an}满足an1=1,=,∈N,则下列结论成立的有()an+1nA.a=24B.数列{nan}是等比数列C.数列{an}为递增数列学科网(北京)股份有限公司
D.数列{an−6}的前n项和Sn的最小值为S610.已知正方体ABCD−ABCD1111的棱长为2,M为空间中动点,N为CD中点,则下列结论中正确的是()ππA.若M为线段AN上的动点,则DM1与BC11所成为的范围为,62B.若M为侧面ADDA11上的动点,且满足MN∥平面ADC1,则点M的轨迹的长度为222123C.若M为侧面DCCD11上的动点,且MB=,则点M的轨迹的长度为π39D.若M为侧面ADDA11上的动点,则存在点M满足MBMN+=23x11.已知fx()=(x+=1ln,)xgx()x(e+1)(其中e=2.71828为自然对数的底数),则下列结论正确的是()2A.fx′()为函数fx()的导函数,则方程fx′()−5fx′()+=60有3个不等的实数解B.∃∈+x(0,∞),fxgx()=()x−2C.若对任意x>0,不等式ga(+≤lnxgx)(e−x)恒成立,则实数a的最大值为-1lnt1D.若fx(12)=gx()=tt(>0),则的最大值为21xx21(+)e三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.6212.x−展开式的常数项为__________.2x113.已知向量a,b为单位向量,且ab⋅=−,向量c与ab+3共线,则||bc+的最小值为__________.222xy14.已知双曲线C:−=>>1(ab0,0)的左,右焦点分别为FFP12,,为C右支上一点,22ab2π∠PFF=,PFF的内切圆圆心为M,直线PM交x轴于点NPM,3=MN,则双曲线的离心率为21123__________.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科网(北京)股份有限公司
15.(本小题13分)为了更好地推广冰雪体育运动项目,某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰、滑雪、冰1壶三类体育课程之一,且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后,下一次选修滑雪的概率为:在选332修滑雪后,下一次选修冰壶的概率为,在选修冰壶后,下一次选修滑冰的概率为.45(1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪,求他在高三冬季学期选修滑冰的概率:(2)苦某生在高一冬季学期选修了滑冰,设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X,求X的分布列及期望,16.(本小题15分)在ABC中,角ABC,,的对边分别为abc,,,已知a=+−=1,cosCcAbBcos2cos0.(1)求B;(2)若AC=2CD,且BD=3,求c.17.(本小题15分)如图,在四棱锥P−ABCD中,底面是边长为2的正方形,且PB=6BC,点OQ,分别为棱CDPB,的中点,且DQ⊥平面PBC.(1)证明:OQ∥平面PAD;(2)求二面角P−−ADQ的大小.18.(本小题17分)xy223已知椭圆C:+=>>1(ab0)的两焦点FF12(−1,0,)(1,0),且椭圆C过P−3,.222ab(1)求椭圆C的标准方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为AB,,直线l交椭圆C于MN,两点(MN,与AB,均不重合),记直线AM的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,且kk12−=20,设AMN,BMN的面积分别为SS12,,求学科网(北京)股份有限公司
SS−的取值范围1218.(本小题17分)2xx已知fxa()=e−2ex(其中e=2.71828为自然对数的底数).(1)当a=0时,求曲线yfx=()在点(1,f(1))处的切线方程,1(2)当a=时,判断fx()是否存在极值,并说明理由;21(3)∀∈xR,fx()+≤0,求实数a的取值范围.a五校联合考试数学答案一、单选题1-8ACADBBCD二、多选题9.ABD10.BC11.AC三、填空题21712.6013.14.145四、解答题15.解:(1)若高一选修滑雪,设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A,323则PA()=×=.4510(2)随机变量X的可能取值为1,2.学科网(北京)股份有限公司
32311322117PX(==×+×=1),2PX(==×+×=).534320534320所以X的分布列为:X12137P202013727EX()=+×=2.20202016.解:(1)a=1,cos∴+−=+−=CcAbBaCcAbBcos2coscoscos2cos0.∴+−=sincosACCAsincos2sincosBBsin(AC+)−=2sincosBB0.1π又ABC++=∴π,sin(AC+=)sinB≠∴0,cosB=∴=B.23(2)AC=2CD,设CD=x,则AC=2x,22cx+−14122在ABC中cosB==∴+−,c14xc=.22c22214+−xcx−222在ABC与BCD中,cos∠∠BCA=,cosBCD=,6∴−−=xc30.42xx23±+21321∴−−=∴=cc330,c.cc>∴=0.22117.解:(1)取PA中点G,连接GQGD,∴点Q为PB中点,∴GQ∥ABGQ,=AB.21底面是边长为2的正方形,O为CD中点,∴DO∥ABDO,=AB.2∴GQ∥ODGQ,=OD∴四边形GQOD是平行四边形.∴OQ∥DG.OQ⊄平面PADGD,⊂平面PAD,∴OQ∥平面PAD.(2)DQ⊥平面PBCBC,⊂平面PBC∴⊥DQBC.又底面是边长为2的正方形,∴⊥DCBC,,DQ∩=∴⊥DCDBC平面DCQ.学科网(北京)股份有限公司
OQ⊂平面DCQ,∴⊥BCOQ.又CQ⊂平面DCQ,∴⊥BCCQ.PB=∴=26,QB6,BC=∴=2,QC2.底面是边长为2的正方形,∴=∴=∴=DB22,DQ2DQCQ,O为CD中点,∴⊥OQDC.又BC⊥OQDC,,∩=∴⊥BCCOQ平面ABCD.取AB中点E,以OEOCOQ,,所在直线分别为xyz,,轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz,则OQABDP(0,0,0,)(0,0,1,)(2,1,0,−)(2,1,0,)(0,1,0,−)(−−2,1,2)所以AP=(−=4,0,2,)AD(−=2,0,0,)AQ(−2,1,1),设平面PAD法向量为m=(xyz,,),mAP⋅=−+=420xz则∴=m(0,1,0)mAD⋅=−=20x设平面QAD法向量为n=(xyz,,),nAQ⋅=−++=20xyz则∴=n(0,1,1−)nAD⋅=−=20xmn⋅2cos,mn>==mn⋅2又二面角P−−ADQ范围为(0,π),π所以二面角P−−ADQ的大小为.4学科网(北京)股份有限公司
c=1a=2,xy2222218.解:(1)由题意可得:abc−=,解得b=3,所以椭圆的方程为:+=1;4333c=1+=122ab4(2)依题意,AB(−2,0,)(2,0),设MxyNxy(11,,,)(22),直线BM斜率为kBM.若直线MN的斜率为0,则点MN,关于y轴对称,必有kk12+=0,不合题意.所以直线MN的斜率必不为0,设其方程为x=+tymm(≠±2),223xy+=412,222与椭圆C的方程联立得(3t+4)y+6tmy+−=3m120,x=tym+,6tmyy+=−,12222+34t所以Δ=483(tm+−4)>0,且2因为Mxy(11,)是椭圆上一点,满足3m−12yy=.12234t+2x2231−1xy112+=1,所以yyy11143,43kk1⋅=⋅=BM22==−xxx+−−224x−4411113−3yy12则kk12=−=2,即kkBM⋅=2.因为kkBM⋅=24kBM8(xx12−−22)()yyyy1212==22(ty1+−m2)(ty2+−m2)tyy12+−tm(2)(y1++−y2)(m2)23m−12234t2+34(m−)32(m+)3=22=2==−,tm(3−12)62tmm2(−)4(mm−−2)4(2)82−+−(m2)2234tt++34222432所以m=−,此时Δ=483tt+−=4483+>0,3992故直线MN恒过x轴上一定点D−,0.3学科网(北京)股份有限公司
64tmtyy+=−=,12223434tt++因此3m2−1232,所以SS12−=yy==−.122234t+33(t+4)1212yy−−−−−22yy−−−.1212232383232243t+(34t+−)22239839=−=yy12(y1+−y2)4yy12=2=23334t+3(34t2+)8314=2−2334t+93(t2+4)118342令x=∈0,,SS−=−+xx212344t+391186当2=即t=0时,SS12−取得最大值.344t+9834286∴−=SS−xx+∈0,12399xx19.解:(1)当a=0时,fx()=−=2,xef′(x)−21(x+)e.fe′(1)=−∴4.曲线yfx=()在点(1,f(1))处的切线方程为y=−4ex(−−=−+12)e4ex2.e112xx(2)当a=时,fx()=e−2xe,定义域为(−+∞∞,)222xxxxfxe′()=−+=2(xeeex1)(−−22,)xx令Fx()=−−e22x,则Fxe′()=−2,当x∈−(∞,ln2,)Fx′()<0;当x∈+(ln2,∞),Fx′()>0;所以Fx()在(−∞,ln2)递减,在(ln2,+∞)上递增,Fx()min=F(ln2)=−22ln22−=−2ln2<012F(−=>1)0,Fe(2)=−>60e学科网(北京)股份有限公司
存在x1∈−(1,ln2)使得Fx(1)=0,存在x2∈(ln2,2)使得Fx(2)=0,xx∈−(∞,1)时,F(xf)>0,′(xf)>0,(x)单调递增;xxx∈(12,)时,F(xf)<0,′(xf)<0,(x)单调递减;xx∈+(1,∞)时,F(xf)>0,′(xf)>0,(x)单调递增;1所以a=时,fx()有一个极大值,一个极小值.22xxxx(3)f′(x)=2212ae−(x+)e=eae(−−x1),21111a+由∀∈xR,fx()+≤0,f(0)+=+=a≤0,得a<0,aaaax令gxa()=−−e1x,则gx()在R上递减,xxxx<0时,e∈(0,1,e)a∈(a,0,)∴gxa()=−−>−−ex1ax1,−1则∴ga(−>−−−=1)aa(110)又g(−=10)ae<,∃∈−−xa(1,1)使得gx()=0,即gx()=aex0−−=x100000且当xx∈−(∞,0)时,gx()>0即fx′()>0;当xx00∈+(,∞)时,gx()<0即fx′()<0,()−∞,x递增,在(x,+∞)递减,∴==fx()fx()ae2xx00−2xe,∴fx在(0)0max00x0x0+1由gx()=ae−−=x10,a=,00xe0ex0(111−++xx)()1xx00由fx()+≤0得(x+−+≤1e)002xe0即≤0,max00ax+1x+1002由x0+<10得xx00−≤∴−11,2≤<−1,x+1x+1−x0a=,∴设hx()=(−2≤<−x1),则hx′()=>0,ex0exex12−2可知hx()在−2,1)上递增,hxh()≥−=(2)=−(12,)ehxh()<−=(10)−2e学科网(北京)股份有限公司
2实数a的取值范围是(1−2)e,0).学科网(北京)股份有限公司
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