专题11 圆锥曲线（4大易错点分析 解题模板 举一反三 易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）

专题11圆锥曲线易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹方程）求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：第一类：直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：第一步：建系：建立适当的坐标系第二步：设点：设轨迹上的任一点第三步：列式：列出有限制关系的几何等式第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．第二类：定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．第三类：相关点法求动点的轨迹方程如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 第四类：交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．例．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；变式1．在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.求曲线的方程；变式2．已知y轴右侧一动圆Q与圆P：相外切，与y轴相切.求动圆圆心Q的轨迹M的方程；变式3．已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程；1．已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．求动圆圆心的轨迹的方程． 2．在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；3．设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点．(1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；(2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；(3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程．4．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.说明是什么曲线，并求的方程；5．已知为圆：上任一点，，，，且满足.求动点的轨迹的方程；6．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．求点的轨迹的方程；7．已知圆，一动圆与直线相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点的直线l与曲线相交于两点，M是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线l，使得 ，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.8．圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于.求的轨迹的方程；9．已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且.求点Р的轨迹C的方程；10．在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程；易错点二：忽略了给定条件对e范围的限定（离心率的求算）求离心率范围的方法建立不等式法：技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.例．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．变式1．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（  ）A．B．C．D．2变式2．已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（    ）A．2或B．3或C．2D．3变式3．过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（    ）A．B．或C．D． 1．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A．B．C．D．2．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（    ）A．B．C．D．3．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．4．已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D． 5．双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．6．已知直线与双曲线交于两点，点是双曲线上与不同的一点，直线的斜率分别为，则当取得最小值时，该双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．7．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（    ）A．B．2C．D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的部分交于点，若双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．9．已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（    ）A．B．C．D． 10．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）知识点一、直线和圆锥曲线联立（设点设线联立化解韦达判别）（1）椭圆与直线相交于两点，设，，椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，（2）抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊地，当直线过焦点的时候，即，抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，知识点二、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，与C相离；与C相切；与C相交．注意：1.如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．2.直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．易错提醒：求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式的前提（判别式也存在隐含自变量的范围）例．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是．变式1．已知椭圆的左焦点为是C上的动点，点，若的最大值为6，则C的离心率为．变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为变式3．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为. 1．已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为．2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为．3．已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是.4．已知椭圆是椭圆上两点，线段的垂直平分线与轴交于，则的取值范围是.5．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，点A关于x轴，y轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边形ABDC的面积为S，则的取值范围为．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上异于左、右顶点的一点，外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则的最小值为.7．椭圆的左､右焦点分别为，离心率为为椭圆的左顶点，且，过原点的直线交椭圆于两点，则的取值范围为.8．已知为函数图象上第一象限内的一个动点，为坐标原点，则四边形的面积最大值为. 9．过椭圆左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则的取值范围是.10．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为.易错点四：意义不明导致定点问题错误（有关直线与圆锥曲线的定点与定值问题）1、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．2、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．易错提醒：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．例．椭圆的离心率，过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.变式1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于(1)求动点的轨迹的方程；(2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.变式2．在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，动点在 上的射影为，且满足.(1)记点的运动轨迹为，求的方程；(2)过点作斜率不为0的直线与交于两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：.变式3．已知点，在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.1．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线与直线分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程.(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.3．已知椭圆，其离心率为，直线被椭圆截得的弦长为．(1)求椭圆的标准方程． (2)圆的切线交椭圆于，两点，切点为，求证：是定值．4．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.(1)说明是什么曲线，并求的方程；(2)设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.5．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.6．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．7．已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．9．已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.10．已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．(1)求实数和的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．