广东珠海一中2024年高二下学期期中考试数学模拟卷

2023-2024学年高二数学下学期期中考试模拟卷017．已知定义在(0,+∞)上的函数fx()满足xf′(x)−<fx()0，其中fx′()是函数fx()的导函数.若（考试时间：120分钟试卷满分：150分）2fm(−2020)>−(m2020)f(2)，则实数m的取值范围为注意事项：A．(0,2020)B．(2020,+∞)C．(2022,+∞)D．(2020,2022)1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。−2x8．已知函数fxxm()=(−e)，曲线yfx=()上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线yx=平行，3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。则实数m的取值范围是（）4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。−2−2一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题A．(1e,1−)B．(−−1e,1−)目要求的．−2−2C．(−e,0)D．(1,1e+)1．在等差数列{an}中，若a2+2a6+a10＝120，则a3+a9等于（）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全A．30B．40C．60D．80部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.2．6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（）9．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，SS67<，且SS78>，则（）A．36种B．72种C．144种D．720种A．在数列{an}中，a1最大B．在数列{an}中，a3或a4最大3．已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和.若aaSS31−=3,4=52，则a2的值为（）C．SS3=10D．当n≥8时，an<0A．2B．4C．±2D．±47224．若曲线y=++lnxx1在点(1,2)处的切线与直线xay+−=10垂直，则实数a的值为（）10．在−x的展开式中，下列说法正确的是（）xA．－4B．－3C．4D．3A．不存在常数项B．第4项和第5项二项式系数最大65．(231x−−)21的展开式中，含−2项的系数为（）C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为128xx11．定义域和值域均为[,]−aa的函数yfx=()和ygx=()的图象如图所示，其中abc>>>0，给出下列四个结论正确A．430B．435C．245D．240结论的是（）6．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）1116115A．B．C．D．120917643第1页共8页◎第2页共8页学科网（北京）股份有限公司 的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则PX(=0)=，EX()=.f(12+∆−xf)(1−∆x)15．已知函数fx()=ax−lnx，且lim=3，则函数fx()在(1,f(1))处的切线方程是.∆→x0∆x16．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第12个数与第13个数的比为1:2.A．方程fgx()=0有且仅有三个解B．方程gfx()=0有且仅有三个解C．方程ffx()=0有且仅有九个解D．方程ggx()=0有且仅有一个解四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{an}中，a1=1且a1，a2，a5构成公比不为1的等比数列12．在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得（Ⅰ）求等差数列{an}的公差d；2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（）1（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Snaann+11A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是；44B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是；18．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的40%，35%，25%，并且各11车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从该厂这批产品中任取一件．1C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是；4(1)求取到次品的概率；4D．该同学随机选择选项，能得分的概率是.15(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1，则an=.14．“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客第3页共8页◎第4页共8页 19．已知函数fx()=⋅+2axlnx3b（a、b为实数）的图象在点(1,f(1))处的切线方程为yx=+1．(1)求实数a、b的值；(2)求函数fx()的单调区间和极值．20．已知数列{an}满足a1=1，an−−11−=an2aann（n≥2且nN∈）．1（1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；ann2（2）若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．an第5页共8页◎第6页共8页学科网（北京）股份有限公司 21．珠海某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1．为了购买该品牌的粉笔，校总务老师设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件Bi（i＝0，1，2）．(1)求PAB(0)，PAB(1)，PAB(2)；(2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列．22．已知函数,.(1)求函数Gx()=fxgx()−()的极值；(2)若恒成立,求实数的值；(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明.第7页共8页◎第8页共8页 参考答案：1．C【分析】根据等差数列下标的性质进行求解即可.【详解】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10＝4a6＝120，∴a6＝30∵a3+a9＝2a6＝60故选：C．2．C【分析】利用捆绑法可求不同的排法.3【详解】甲、乙、丙三人在一起，有A63=种不同的排法，4把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有A4=24种不同的排法，故共有624144×=种，故选：C.3．C【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和列出等式即可求解.【详解】由aa31−=3可得：等比数列{an}的公比q≠1.42aq11(11−−)aq()2SS42=5，化简得=×5，整理得15+=q，11−−qq∴=±q22又a311−=−=aaqa13，答案第1页，共13页学科网（北京）股份有限公司 ∴=a1，1∴==±aaq2.21故选：C.4．D【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.21【详解】因为y=++lnxx1，所以yx′=+2，x当x=1时，y3，2所以曲线y=++lnxx1在点(1,2)处的切线的斜率等于3，1所以直线xay+−=10的斜率等于−，311即−=−，解得a=3，a3故选:D.5．B66621121【分析】(2x−−=−+−3)1(4xx1291)，求出1−展开式的通项，再令x的指xxx数分别为−−−4,3,2，进而可得出答案.662112【详解】(2x−−=−+−3)1(4xx1291)，xx6k1k1kkk−1−展开式的通项为T=−=C(−1C)xk,=0,1,2,3,4,5,6，k+166xx令−=−k4，则k=4，令−=−k3，则k=3，令−=−k2，则k=2，443232−2所以x项的系数为4×−(1C)6+−(12)×−(1C)66+×−9(1C)=435.答案第2页，共13页 故选：B.6．C【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.111【详解】恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有CCC533=××=53345种，21恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有CC52=×=10220种，3恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有C5=10种，恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种，因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为452010176+++=个，至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有10111+=个基本事件，11所以至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率P=.76故选：C.7．Dfx()【分析】引入新函数gx()=，求导后确定gx()的单调性，由单调性解不等式．xfx()xfx′()−fx()【详解】设gx()=，则gx′()=，∵xf′(x)−<fx()0且x>0，∴gx′()0<，2xx∴gx()在(0,+∞)上单调递减，fm(−2020)f(2)不等式2fm(−2020)>−(m2020)f(2)可化为>，即gm(−>2020)g(2)，m−20202∴0<−m2020<2，∴2020<<m2022．故选：D．fx()【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数gx()=，然后利用x已知条件确定单调性后求解不等式．8．A答案第3页，共13页学科网（北京）股份有限公司 −2x−2x【分析】求导fxm′()=−−(12ex)，问题转化为mx−=−112e()有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果.−−22xx【详解】fxxm()=(−e,)∴fxm′()=−−(12ex)，−2x−2x令mx−−(12e)=1，得mx−=−112e()，−2x−2x设gx()=(12e−x)，则gx()=4(x−1e)，x>1时，gx′()>0；x<1时，gx′()<0，所以gx()在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，−2∴≥=gxg()(1e)−，当x→+∞,0gx()→，−2x由题意，mx−=−112e()有两个不同的解，−2x即ym=−1与yx=(12e−)的图像有两个不同的交点，−2−2∴−e<m−<10，解得1e−<<m1，−2所以实数m的取值范围是(1e,1−).故选：A.【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．9．AD【解析】由已知得到aa78><0,0,进而得到d<0,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为ad1+=60，可知不一定成立，从而判定C错误.【详解】由已知得：aa78><0,0,答案第4页，共13页 结合等差数列的性质可知，d<0,该等差数列是单调递减的数列，∴A正确，B错误，D正确，SS=,等价于SS−=0,即aa++…+a=0,等价于aa+=0，即ad+=60,31010345104101这在已知条件中是没有的，故C错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.10．ABC【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.7−rr2rr7−−rrr27【详解】因为展开式的通项公式为Tx=C(−=)2⋅(−1C)⋅⋅x，r+177x7由270r−=，得r=(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；2展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；由通项公式可得r为偶数时，系数才有可能取到最大值，−−735由T1=128xT,3=672xT,57=280,xT=14x，可知第3项的系数最大，故C正确；7令x=1，得所有项的系数和为(211−=)，故D错误；故选：ABC.11．AD【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.【详解】由abc>>>0可得−<−<−<abc0，对于A，fgx()=0，结合yfx=()图象可得gx()=−b，gx()=0或gxb()=，结合ygx=()的图象可得，gx()=−b，gx()=0，gxb()=各有一个解，即方程fgx()=0答案第5页，共13页学科网（北京）股份有限公司 有且仅有三个解，A正确；对于B，gfx()=0，结合ygx=()图象可得fxb()=，结合yfx=()的图象可得，fxb()=有一个解，即方程gfx()=0有且仅有一个解，B错误；对于C，ffx()=0，结合yfx=()图象可得fx()=−b，fx()=0或fxb()=，又fx()=0有3个解，fx()=−b，fxb()=各有一个解，即方程ffx()=0有且仅有五个解，C错误；对于D，ggx()=0，结合ygx=()图象可得gxb()=，又gxb()=有一个解，即方程ggx()=0有且仅有一个解，D正确.故选：AD.12．BC【分析】列出所有情况，根据选项结合古典概型公式即可得到答案.【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为A，B，C，D.随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD.随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为ABC，ABD，ACD，BCD.随机选四个选项，共有1个基本事件，即ABCD.3对A，仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误.4对B，随机至少选择二个选项，能得分的情况有ABACBCABC,,,，共4种，44能得分的概率是=，故B正确.641++111对C，仅随机选三个选项，能得分的情况只有ABC，则概率是，故C正确.4331++7对D，随机选择选项，能得分的概率是=，故D错误.4641+++15答案第6页，共13页 故选：BC.3,n=113．2,nn≥2【分析】当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-1，从而求解【详解】解:当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.1=n此时，当n=1时，2n=2≠3.3,n=1所以an=2,nn≥23,n=1故答案为：2,nn≥2【点睛】本题考查数列Sn与an的关系，要注意aSSnnn=−−1成立的条件n≥2.2514．93【解析】根据题意得X可以取得0，2，3分别求得各情况下的概率，即可求数学期望.3A623【详解】PX(=0)===2727931PX(=3)==279122PX(==−−=21)9932215EX()=×+×+×=023939325故答案为：；.9315．yx=+1【分析】根据极限的性质及导数的定义可求得f′(1)，从而可求得a，再根据导数的几何意答案第7页，共13页学科网（北京）股份有限公司 义即可得解.f(1+2Δxf)−−(1Δx)f(1+2Δxfx)−(1-Δ)【详解】解：由lim=3lim=3，得f′(1=1)，Δxx→→0ΔxxΔ03Δ1而fxa′()=−，所以a==2,fx()2x−=ln,xf(1)2，x所以切线方程为yx−=−21，即yx=+1.故答案为：yx=+1.16．35∗【分析】假设第nn(∈N)中从左至右第12个数与第13个数的比为1:2，根据题意可得出关于n的等式，进而可解得正整数n的值.∗【详解】假设第nn(∈N)中从左至右第12个数与第13个数的比为1:2，1112第n行从左到右第12个数为Cn，第13个数为Cn，n!11C111!⋅−(nn11!)12!⋅−(12!)121n则12=，即===，解得n=35.Cn2n!11!⋅−(n11!)n−11212!⋅−(n12!)故答案为：35.17．（1）d=2或d=0(舍).n（2）Sn=.21n+【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式求出an，由等比中项的性质列出方程，求出d的值；1（Ⅱ）由（Ⅰ）求出an，代入bn=化简，由裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．aann+1【详解】:（Ⅰ）∵an=11+−dn()，2且a2=aa15，答案第8页，共13页 2∴(1十dd)=×+114()，解得d=2或d=0(舍).（Ⅱ）∵annn=+−=−12(121)，11111∴bn===−.aann+1(212122121n−+)(n)n−+n1111111111n∴Sn=×−+−+−++11−=−=.233557212122121nn−+nn++【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中c间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，aann+1c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一11项的裂项求和，如或.(nn++13)()nn(+2)18．(1)0.03920145(2)，，393939【分析】（1）考虑到次品可能来源于三个车间，根据全概率公式即可求得答案；（2）根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】（1）设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品，则PA()=0.40,()PB=0.35,()PC=0.25,PDA(|)=0.05,(PDB|)=0.04,(PDC|)=0.02,故取到次品的概率为PD()=×+×+×=0.40.050.350.040.250.020.039.（2）若取到的是次品，则：PAPDA()(|)0.0220此次品由甲车间生产的概率为：==;PD()0.03939PBPDB()(|)0.01414此次品由乙车间生产的概率为：==;PD()0.03939答案第9页，共13页学科网（北京）股份有限公司 PCPDC()(|)0.0055此次品由丙车间生产的概率为：==;PD()0.039391a=219．(1)2b=31111(2)减区间为0,，增区间为,+∞，极小值为f=−+2，无极大值.eeee【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于a、b的方程组，即可得出实数a、b的值；（2）利用导数分析函数fx()的单调性，结合极值的定义可得结果.【详解】（1）解：因为fx()=⋅+2axlnx3b，该函数的定义域为(0,+∞)，fxa′()=2(1ln+x)，因为函数fx()=⋅+2axlnx3b（a、b为实数）的图象在点(1,f(1))处的切线方程为yx=+1，1a=fa′(121)==2则，解得.fb(132)==b=23（2）解：由（1）可得fxxx()=ln+2，该函数的定义域为(0,+∞)，fx′()=1ln+x，1由fx′()=0可得x=，列表如下：e11x0,1,eeef−0+f减极小值增答案第10页，共13页 1111所以，函数fx()的减区间为0,，增区间为,+∞，极小值为f=−+2，无极大eeee值.1n+120．（1）证明过程详见解析，an=；（2）Snn=−⋅+(23)2621n−111【分析】（1）对题目所给等式两边除以aann−1，化简得−=2，由此证得是等差aann−1an数列，并求得其通项公式，进而求得{an}的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得{bn}的前n项和Sn.111【详解】（1）由an−−11−=an2aann两边除以aann−1，化简得−=2，则数列为等差aann−1an111数列.其首项为1，公差为2，故=21n−，所以an=.a1an21n−n23n（2）由于bnn=−⋅(21)2，所以Snn=×+×+×++−×123252(21)2，234n+12Sn=×+×+×++−×123252(21)2，两式相减得n23nn+1−=×+×+++−−×Sn122(222)(21)2，nn+1化简得Snn=−⋅+(23)26.【点睛】本小题主要考查已知递推关系求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.41221．(1)PAB(0)=1，PAB(1)=，PAB(2)=519(2)答案见解析【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可由组合数计算求解，（2）根据全概率公式求解概率，即可求解.答案第11页，共13页学科网（北京）股份有限公司 44C4C121918【详解】（1）由已知PAB(0)=1，PAB(1)=4=，PAB(2)=4=C5C192020（2）X可能的取值为0，1，2，44313CC877CCC70191819218所以PX(=0)=0.70.2+×+0.1×=，PX(=1)=0.2×+0.1×=，4444CC950CC9502020202022CC3218PX(=2)=0.1×=，4C95020所以随机变量X的分布列为：X01287703959595P22．（1）；（2）；(3)见解析．【详解】试题分析：（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出极值；（2）构造函数，又，则只需hxh()≥(1)恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得2211的取值范围，Fx()222=−+xxmxln2，由根与系数可知mxx=−+222及范围为<<x2，4222代入上式得Fx()222222=−+−xx(x2x)lnx，利用导函数求的最小值即可．试题解析：（1）的定义域是，.,故当x=1时，G（x）的极小值为0.（2）令，则，答案第12页，共13页 所以hx()0≥，即hxh()≥(1)恒成立的必要条件是h′(1)=0，a又hx′()21=−−x，由ha′(1)=21−−=0得：a=1．x221xx−−当a=1时，由hx′()=知hx()min=(1)h=0，x故hx()≥>0(x0)，即恒成立．（3）由，得．有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，1即：，解得0<<m．8211由Fx′()02=，得mxx=−+222，其中0<<<<xx12.4222所以Fx()222222=−+−xx(x2x)lnx．设，得，所以，即．考点：（1)利用导求函数的极值、最值；（2）一元二方程根的分布；（3）构造函数解决与不等式有关问题．答案第13页，共13页学科网（北京）股份有限公司