【新题型精编】2023-2024年高二下学期期中复习模拟试卷

【新题型精编】2023-2024年高二下学期期中复习模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024•衡阳模拟）已知是等比数列，且，，则　　A．B．C．1D．22．（5分）（2024•1月份模拟）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有　　A．20种B．16种C．12种D．8种3．（5分）（2024•宝鸡模拟）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为　　A．2B．C．D．34．（5分）（2024•延庆区一模）在的展开式中，的系数为　　A．40B．C．80D．5．（5分）（2023秋•浙江月考）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有　　A．3125B．1000C．1040D．10206．（5分）（2024•浙江开学）圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版第23页（共23页） 版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1）．如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是　　A．圆B．椭圆C．双曲性D．抛物线7．（5分）（2023秋•安徽月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则的取值范围是　　A．B．C．D．8．（5分）（2024•腾冲市校级开学）已知函数，其导函数记为，则　　A．B．0C．1D．2二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（6分）（2023秋•西湖区校级月考）已知随机事件，满足，，，则　　A．B．C．D．，相互独立10．（6分）（2024•市北区校级开学）等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是　　A．B．C．D．11．（6分）（2023秋•城厢区校级期末）已知函数，导函数第23页（共23页） 的极值点是函数的零点，则　　A．有且只有一个极值点B．有且只有一个零点C．若，则（a）（c）D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2024•鼓楼区开学）已知的展开式中的系数为240，则实数　　．13．（5分）（2024•赤峰一模）《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即2，5，8，11，，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为　　．14．（5分）（2023秋•青岛期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是　　．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（15分）（2024春•海门区校级月考）有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有类，这类元素中每类分别中，，，个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．（1）求上述个不尽相异的元素的全排列数；（2）由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”16．（15分）（2024•重庆模拟）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如图频率分布直方图．第23页（共23页） （1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率．（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏．规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包．第一个红包由群主发．根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望．17．（15分）（2024•和平区一模）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为点，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于两点，，证明：．18．（15分）（2024•广州一模）已知函数，．（1）求的单调区间和极小值；（2）证明：当，时，．19．（17分）（2023秋•天宁区校级期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”．第23页（共23页） （1）已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围．第23页（共23页） 【新题型精编】2023-2024年高二下学期期中复习模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024•衡阳模拟）已知是等比数列，且，，则　　A．B．C．1D．2【答案】【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可求解．【解答】解：因为是等比数列，且，，两式相除可得，，所以，所以．故选：．2．（5分）（2024•1月份模拟）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有　　A．20种B．16种C．12种D．8种【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果．【解答】解：因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，第23页（共23页） 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有种方法；由分类加法计数原理可知，一共有种排法．故选：．3．（5分）（2024•宝鸡模拟）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为　　A．2B．C．D．3【答案】【考点】双曲线的性质【分析】设，，，，则，，，然后利用点差法可得，的关系，再由双曲线性质即可求解．【解答】解：设，，，，则，，，由，两式相减可得，则，即，则，所以，．故选：．4．（5分）（2024•延庆区一模）在的展开式中，的系数为　　A．40B．C．80D．【答案】【考点】二项式定理【分析】利用二项式定理列式计算即可．【解答】解：在的展开式中，含的项为，的系数为．故选：．5．（5分）（2023秋•浙江月考）第23页（共23页） 五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有　　A．3125B．1000C．1040D．1020【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据不相邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可．【解答】解：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，故问题转化为如图，，，，五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，分为以下两类情况：第一类：，，三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂，，区域，从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上，则有种方法，第二步涂区域，由于，颜色不同，则有3种方法，第三步涂区域，由于，颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有种方法；第二类：，，三个区域涂两种不同的颜色，由于，不能涂同一色，则，涂一色，或，涂同一色，两种情况方法数相同，若，涂一色，第23页（共23页） 第一步涂，，区域，，可看成同一区域，且，区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有种方法，第二步涂区域，由于，颜色相同，则有4种方法，第三步涂区域，由于，颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有种方法；若，涂一色，与，涂一色的方法数相同，则共有种方法，由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种．故选：．6．（5分）（2024•浙江开学）圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1）．如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是　　A．圆B．椭圆C．双曲性D．抛物线【答案】第23页（共23页） 【考点】椭圆的性质【分析】由椭圆的定义及性质可得，然后结合圆的定义求解．【解答】解：如图，设切线与椭圆相切于点，过右焦点作于，延长与直线交于点，易知，由椭圆光学性质知，设，则，，在直角三角形中，因为，则，所以，又易得为的中点，故，由圆的定义可得点的轨迹是圆．故选：．第23页（共23页） 7．（5分）（2023秋•安徽月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则的取值范围是　　A．B．C．D．【答案】【考点】二项式定理【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解．【解答】解：的展开式的通项为，由题可知，解得．故选：．8．（5分）（2024•腾冲市校级开学）已知函数，其导函数记为，则　　A．B．0C．1D．2【答案】【考点】导数的运算【分析】根据给定条件，变形函数并求出，再探讨导函数的奇偶性作答．【解答】解：函数定义域为，令，则的定义域为，，又，故是奇函数，所以，故，所以．故选：．二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（6分）（2023秋•西湖区校级月考）已知随机事件，满足，，，则　　第23页（共23页） A．B．C．D．，相互独立【答案】【考点】条件概率与独立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【分析】由对立事件概率和为1，可先求出，，由判定事件的相互独立性，再结合相互独立事件同时发生概率公式与对条件概率的理解，逐一判断选项即可．【解答】解：由，，得，，得，即成立，则相互独立，故相互独立，相互独立，，相互独立，选项正确；，，则选项正确；又由，相互独立，则，故选项错误．故选：．10．（6分）（2024•市北区校级开学）等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是　　A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前项和【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确．【解答】解：根据题意可知数列为递增数列，，前9项的和最小，故正确，，故正确，第23页（共23页） ，故正确．，故不正确．故选：．11．（6分）（2023秋•城厢区校级期末）已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则　　A．有且只有一个极值点B．有且只有一个零点C．若，则（a）（c）D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切【答案】【考点】利用导数研究函数的极值【分析】根据题意，对原函数进行两次求导计算求得，得到函数，再分别就选项，中的相关量进行判断；对于项，判断应该与函数单调性有关，经计算得到（c），故只需运用单调性即可推得；对于项，要将过点的曲线切线条数问题转化为含切点坐标的方程的根的个数问题即可．【解答】解：由，可得，不妨取，则，则由，解得，依题意，，解得．此时，．对于项，因为，函数在上恒为增函数，则没有极值点，故项错误；第23页（共23页） 对于项，由项结论可知，函数在上恒为增函数，且，即有且只有一个零点，故项正确；对于项，由项，得，则（c），因函数在上恒为增函数，则由，即，可得（a）（c），即（a）（c），故项正确；对于项，不妨设切点为，，由，可得切线斜率为，则切线方程为，因为切线过原点，则有，整理得，解得或，即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故项错误．故选：．三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2024•鼓楼区开学）已知的展开式中的系数为240，则实数　　．【答案】．【考点】二项式定理【分析】直接利用二项式的展开式和项的配对求出结果．【解答】解：的展开式中无含项，含的项为，中含的项为，则．解得．故答案为：．13．（5分）（2024•赤峰一模）《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即2，5，8，11，，构成数列，记数列的前第23页（共23页） 项和为，则的最小值为　19　．【答案】19．【考点】数列的求和【分析】先根据可得数列是以2为首项，3为公差的等差数列，再计算出前项和的表达式并代入进行化简整理，然后运用均值不等式即可推导出的最小值．【解答】解：由题意可知，数列是以2为首项，3为公差的等差数列，，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为19．故答案为：19．14．（5分）（2023秋•青岛期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是　　．【答案】．【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】对成立，则对成立，且对第23页（共23页） 成立，即对成立，且对成立，令，，是减函数，是减函数，则（1）且（1）．【解答】解：在上单调递增，，对成立，且对成立，即对成立，且对成立，令，，则，，是减函数，是减函数，（1）且（1），的取值范围是．故答案为：．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（15分）（2024春•海门区校级月考）有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有类，这类元素中每类分别中，，，个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．（1）求上述个不尽相异的元素的全排列数；（2）由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（1）根据题意利用排列数的定义以及其运算方法，可得答案；（2）根据题意，利用（1）的公式，可得答案．【解答】解：（1）假定个不尽相异元素的所有排列数有第23页（共23页） 种，在每种排列中，如果把相同的元素，当成不相同的元素，则个元素的所有排列数可增加为种；另一方面，个不同的元素的全排列有种，即．即得个不尽相异元素的全排列数．（2）将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，10场比赛的结果是五胜三负二平，即是一个不尽相异元素的全排列，由（1）知，共有种可能情况．16．（15分）（2024•重庆模拟）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如图频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率．（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏．规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包．第一个红包由群主发．根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望．第23页（共23页） 【答案】（1）平均值9.05，众数2.5；（2）；（3），．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图【分析】（1）根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得，众数可根据定义从图中直接读取；（2）先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得；（3）由题意分析得到与的递推式，再根据其特征构造等比数列，求得的表达式；再设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，分析知服从两点分布，由此求得，因前轮中群主发红包的次数为，则，于是求即是求数列的前项和，计算即得．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：，众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；（3）由题意，，，由，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，第23页（共23页） 故服从两点分布：，，，2，，所以，由已知，则．17．（15分）（2024•和平区一模）在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为点，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于两点，，证明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解答【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合【分析】（Ⅰ）根据已知可得关于，，的方程组，求解即可；（Ⅱ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可得的中点的坐标，进而可得直线的方程，与椭圆方程联立，可得点，的坐标，分别计算，，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：依题意，，解得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：设直线的方程为，设点，，，，第23页（共23页） 联立，消去，整理得，△，即，即且，由韦达定理得，所以中点，所以直线方程为，设点在第二象限，联立方程组，解得，，所以，，所以．18．（15分）（2024•广州一模）已知函数，．（1）求的单调区间和极小值；（2）证明：当，时，．【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，，，，取极小值为1；（2）证明见详解．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极小值；第23页（共23页） （2）构造函数，证明函数在，时恒成立．【解答】解：（1），，当，，时，，当，，时，，所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，，，，当时，取极小值为．（2）证明：当，时，令，，令，，在，上单调递增，，，在，上单调递增，，证毕．19．（17分）（2023秋•天宁区校级期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”．（1）已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）实数的取值范围为．【考点】数列与不等式的综合第23页（共23页） 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，由，得对均成立，当时，当时，都成立，可求得，从而得数列的通项公式；（2）由题意数列为“数列”，可以求得数列的通项公式，分为两种情况，根据的通项公式表示数列，进而求解结论．【解答】解：定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”．（1）设等差数列的公差为，则，由，得．由题意得，对均成立，当时，上式成立．当时，，又，，，等差数列的通项公式为．（2）等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，可得，由于数列为“数列”，且为正整数，，．在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知，要对恒成立，只需．又，即．因为，，，，，．当，时，，因为，则．令，第23页（共23页） ；，数列为递增数列，即．若数列是“数列”，则对任意的都有，即对任意的恒成立，所以，即，解得．即实数的取值范围为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/522:33:24；用户：彼粒星；邮箱：orFmNt3ioZ7m9pIbCI01vF5XpREs@weixin.jyeoo.com；学号：40668998第23页（共23页）