2022-2023学年福建省 高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年福建省福州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）（2023春•仓山区校级期中）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2021春•成都期中）化简的结果等于　　A．B．C．D．3．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知，则　　A．2B．5C．6D．84．（5分）（2016•眉山模拟）如图，在中，点在边上，且．则　　A．B．C．D．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）5．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知向量，．若，则实数的值为　　．6．（5分）（2023春•金安区校级期中）一艘船在静水中的航行速度为，河水的流速为，则船的实际航行的速度（单位：取值范围　　．三、解答题（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）7．（2023春•万州区校级期中）已知复数是虚数单位）．（1）求复数的共轭复数和模；（2）若．求，的值．第23页（共23页） 8．（2023春•仓山区校级期中）在中，角、、所对的边分别为、、．若，，．（1）求角；（2）边上高的长．一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9．（5分）（2023春•仓山区校级期中）设，则的一个可能值是　　A．B．C．D．110．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知曲线，，则下面结论正确的是　　A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线11．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则　　A．B．C．D．12．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知边长为2的正方形内接于圆，点是正方形四条边上的动点，是圆的一条直径，则的取值范围是　　A．，B．C．，D．，第23页（共23页） 二、多选题（本题共4个小题，在每一小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分．）13．（3分）（2023春•叙州区校级期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为　　A．B．C．D．14．（3分）（2023春•仓山区校级期中）在中，若，，，则的值可以为　　A．1B．C．2D．15．（3分）（2023春•南岗区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是　　A．B．C．若，则的面积是D．若，则外接圆半径是16．（3分）（2023春•仓山区校级期中）给出下列命题，其中正确的选项有　　A．若非零向量，满足，则与的夹角为B．若非零向量，满足，则与共线且同向C．在中，若，则为等腰三角形D．若单位向量，的夹角为，则当取最小值时，三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分）17．（5分）（2023春•仓山区校级期中）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则　　．第23页（共23页） 18．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知函数，，若当时，总有，则实数的最小值为　　．四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（2023春•仓山区校级期中）已知，，．（1）若，夹角为，求；（2）设，若，求的值．20．（2023春•仓山区校级期中）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足____．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．21．（2023春•仓山区校级期中）如图，在中，点在边上，且，，．（1）若，求的值；（2）若边上点满足，，求．22．（2023春•韶关校级期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知是固定的，路宽．设灯柱高，．第23页（共23页） （1）经测量当，时，路灯发出锥形灯罩刚好覆盖，求；（2）因市政规划需要，道路要向右拓宽，求灯柱的高（用来表示）；（3）在（2）的条件下，若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．第23页（共23页） 2022-2023学年福建省福州高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）（2023春•仓山区校级期中）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】先求出，即可根据复数的几何意义，得出答案．【解答】解：由已知可得，，所以在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限．故选：．2．（5分）（2021春•成都期中）化简的结果等于　　A．B．C．D．【答案】【考点】平面向量的线性运算【分析】利用向量的线性运算法则求解．【解答】解：．故选：．3．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知，则　　A．2B．5C．6D．8【答案】【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】利用“齐次式”和条件可直接求出结果．【解答】解：因为，所以．第23页（共23页） 故选：．4．（5分）（2016•眉山模拟）如图，在中，点在边上，且．则　　A．B．C．D．【考点】：向量加减混合运算【分析】，可得，，代入，化简计算即可得出．【解答】解：，，又，，故选：．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）5．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知向量，．若，则实数的值为　8　．【答案】8．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；向量相等与共线【分析】根据向量的坐标运算，结合平行满足的坐标关系即可求解．【解答】解：由题意可知，由可得．故答案为：8．6．（5分）（2023春•金安区校级期中）一艘船在静水中的航行速度为第23页（共23页） ，河水的流速为，则船的实际航行的速度（单位：取值范围　，　．【考点】解三角形【分析】由向量的模的性质求解．【解答】解：由公式及等号成立的条件可知，一艘船在静水中的航行速度为，河水的流速为，当船速与水速方向相同时，船的实际航行的速度最大，为；当船速与水速方向相反时，船的实际航行的速度最小，为．故答案为：，．三、解答题（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）7．（2023春•万州区校级期中）已知复数是虚数单位）．（1）求复数的共轭复数和模；（2）若．求，的值．【答案】（1），．（2）．【考点】复数的运算；复数的模【分析】（1）根据已知条件，先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：（1），，．（2），，即，，解得，．8．（2023春•仓山区校级期中）在中，角、、所对的边分别为、、．若第23页（共23页） ，，．（1）求角；（2）边上高的长．【答案】（1）；（2）．【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形【分析】（1）由正弦定理计算，即可得出答案；（2）由（1）得，即可得到三角形为等腰三角形，再由等面积法计算，即可得出答案．【解答】解：（1），，，由正弦定理得，即，，又，则；（2）由（1）得，则，则，则，．一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9．（5分）（2023春•仓山区校级期中）设，则的一个可能值是　　A．B．C．D．1【答案】【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得，进而可求解．【解答】解：由于，又，所以，第23页（共23页） 所以，所以，，故选：．10．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知曲线，，则下面结论正确的是　　A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】【考点】函数的图象变换【分析】化简可得．然后根据图象的变换，逐项求出变换后的解析式，即可得出答案．【解答】解：因为，对于项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．向右平移个单位长度，得到，故项错误；对于项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．向左平移个单位长度，得到，故项错误；对于项，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到第23页（共23页） 的图象．向左平移个单位长度，得到，故项正确；对于项，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象．向左平移个单位长度，得到，故项错误．故选：．11．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则　　A．B．C．D．【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算；投影向量【分析】依题意可得是的中点，即可得到是以为直角顶点的直角三角形，过点向作垂线，垂足为，连接，即可得到，从而得到，再由锐角三角函数计算可得．【解答】解：因为，所以，即，所以，，三点共线且是的中点，因为是的外心，所以是圆的直径，故是以为直角顶点的直角三角形，过点向作垂线，垂足为，连接，如图所示：因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，而，第23页（共23页） 则，因为，所以．故选：．12．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知边长为2的正方形内接于圆，点是正方形四条边上的动点，是圆的一条直径，则的取值范围是　　A．，B．C．，D．，【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算【分析】由已知可求得，进而根据图象可推得，求出的范围，即可得出答案．【解答】解：设圆的半径为，则，所以，如图，根据向量加法的三角形法则可知，，且，所以．由已知可得，正方形上的点到点的距离，所以，所以．故选：．二、多选题（本题共4个小题，在每一小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分．）第23页（共23页） 13．（3分）（2023春•叙州区校级期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为　　A．B．C．D．【答案】【考点】虚数单位、复数；复数的运算【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，，求出或，结合，求出的值．【解答】解：由条件知，，，或，，，或．故选：．14．（3分）（2023春•仓山区校级期中）在中，若，，，则的值可以为　　A．1B．C．2D．【答案】【考点】正弦定理【分析】根据条件，利用余弦定理即可得到答案．【解答】解：因为，，，由余弦定理，得，即，解得或．故选：．15．（3分）（2023春•南岗区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是　　A．第23页（共23页） B．C．若，则的面积是D．若，则外接圆半径是【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理；余弦定理；解三角形【分析】根据题意，由正弦定理可判定错误；由余弦定理求得，结合向量的数量积的定义，可判定错误；由三角形的面积公式，可判定正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定错误．【解答】解：由题意，在中，满足，对于中，由正弦定理得，所以，所以不正确；对于中，设三边的长分别为，，，由余弦定理得，所以，所以错误；对于中，若，可得，可得，则，所以的面积为，所以正确；对于中，设三边的长分别为，，，由，即，可得，所以，设外接圆的半径为，则，所以，所以错误．故选：．16．（3分）（2023春•仓山区校级期中）给出下列命题，其中正确的选项有　　第23页（共23页） A．若非零向量，满足，则与的夹角为B．若非零向量，满足，则与共线且同向C．在中，若，则为等腰三角形D．若单位向量，的夹角为，则当取最小值时，【答案】【考点】向量的概念与向量的模；向量相等与共线；平面向量数量积的性质及其运算【分析】选项：根据得到以，，为三边的三角形为等边三角形，即可判断；选项：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；选项：根据题意可得向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形，选项：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；【解答】解：对于：非零向量，满足，则以，，为三边的三角形为等边三角形，所以与的夹角都为，故错误；对于：若使成立，即成立，则，即，所以与共线且同向，故正确；对于：由于表示向量方向上的单位向量，表示向量方向上的单位向量，第23页（共23页） 所以向量所在的直线为角的角平分线，因为，所以，故为等腰三角形，故正确；对于：因为单位向量、的夹角为，所以，所以时，取最小值，故错误．故选：．三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分）17．（5分）（2023春•仓山区校级期中）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则　　．【答案】．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】先根据三力平衡，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果．【解答】解：因为，，三个力处于平衡状态，所以，所以，所以．故答案为：．18．（5分）（2023春•仓山区校级期中）已知函数，，若当时，总有，则实数的最小值为　　．第23页（共23页） 【答案】．【考点】三角函数的最值【分析】由已知可推得，原不等式可化为．构造，根据余弦函数的单调性，即可得出实数的取值范围，即可得出答案．【解答】解：由已知可得，，由可得，，令，所以有，要使当时，恒成立，则在，上单调递增，即在，上单调递增，又在，上单调递增，所以由可得，，所以，所以实数的最小值为．故答案为：．四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（2023春•仓山区校级期中）已知，，．（1）若，夹角为，求；（2）设，若，求的值．【答案】（1）；（2）．【考点】两角和与差的三角函数；平面向量数量积的性质及其运算【分析】（1）根据数量积的定义求出，再根据第23页（共23页） 及数量积的运算律计算可得；（2）依题意可得，，将两式两边平方再相加即可得解．【解答】解：（1）因为，，所以，，又，夹角为，所以，所以；（2）因为，且，所以，，，所以，，所以，，所以，即，即，所以．20．（2023春•仓山区校级期中）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足____．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形【分析】（1）选①：由得到，利用正弦定理和三角形内角性质化简得到，求得，即可求解；第23页（共23页） 选②：由正弦定理和三角函数的性质得到，得到，即可求解；选③：由余弦定理求得，即可求解；（2）由余弦定理求得，结合基本不等式求得，结合面积公式，即可求解．【解答】解：（1）选①：因为，，由，可得，由正弦定理得：，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，因为，所以．选②：因为，由正弦定理得，又因为，可得，则，即，可得，因为，所以．选③：因为，可得，由余弦定理得，又因为，所以．（2）解：因为，且，由余弦定理知，即，可得，第23页（共23页） 又由，当且仅当时，等号成立，所以，所以的面积，即的面积的最大值为．21．（2023春•仓山区校级期中）如图，在中，点在边上，且，，．（1）若，求的值；（2）若边上点满足，，求．【答案】（1）；（2）．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算【分析】（1）根据正弦定理即可求解；（2）由正弦定理可得的值，进而根据向量的模长公式即可求解．【解答】解：（1）在中，点在边上，，，，，，，由正弦定理可得；（2）由（1）知，且为钝角三角形，由得，，第23页（共23页） ，所以，在中，由正弦定理得，解得，所以，，所以．22．（2023春•韶关校级期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知是固定的，路宽．设灯柱高，．（1）经测量当，时，路灯发出锥形灯罩刚好覆盖，求；（2）因市政规划需要，道路要向右拓宽，求灯柱的高（用来表示）；（3）在（2）的条件下，若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．【答案】（1）；第23页（共23页） （2）；（3），最小值为．【考点】根据实际问题选择函数类型；解三角形【分析】（1）由余弦定理求出，则发现为等边三角形可得解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值．【解答】解：（1）在中，当时，，所以，由余弦定理，所以，在中，又，，所以是等边三角形，即；（2），，，在中，由正弦定理得，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以；（3）在中，由正弦定理得，所以，所以；第23页（共23页） 所以，因为，所以，所以当，即时，取最小值，故关于的函数表达式为，最小值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/514:43:04；用户：彼粒星；邮箱：orFmNt3ioZ7m9pIbCI01vF5XpREs@weixin.jyeoo.com；学号：40668998第23页（共23页）