第8章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（14题型）（解析版）

第8章：向量的数量积与三角恒等变换【题型一：平面向量数量积的计算】 例1．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知，则等于（）A．10B．C．3D．【答案】B【解析】由向量，可得，所以.故选：B.变式1-1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）如图：在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，且，则．【答案】【解析】在中，由，得，即，则，由分别为的中点，得为的重心，则，而，所以.变式1-2．（23-24高一下·重庆万州·月考）下面给出的关系式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对：由可得，而，故A说法正确；对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误；对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以不一定成立，故C说法错误；对D：因为，故，故D说法正确.故选：AD.变式1-3．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为．【答案】【解析】在边长为2的在中，取的中点，连接并取其中点，连接，则，于是，当且仅当点与点重合时取等号，所以的最小值为.变式1-4．（23-24高一下·湖南·开学考试）（多选）如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（）A．若为线段的中点，则B．的最大值为 C．的最小值为0D．的最小值为4【答案】AB【解析】对于A，因为为线段的中点，为线段的中点，所以，，，两式相加化简得，正确；如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，设，设，由知，因为，所以，解得，所以，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以的最大值为，的最小值为，故选项B正确，C错误；因为，，所以，因为，所以当时，有最小值为，故选项D错误.故选：AB【题型二：平面向量的投影问题】例2．（23-24高一下·广东深圳·月考）设为单位向量，，当的夹角为时，在 上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由设为单位向量，，当的夹角为时，所以在上的投影向量为.故选：A．变式2-1．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.变式2-2．（23-24高三下·上海闵行·月考）已知向量，则在方向上的投影向量为.【答案】【解析】在方向上的投影向量为变式2-3．（23-24高一下·山东烟台·月考）已知，，且，则在上的投影向量为【答案】【解析】设，由可知①， 而，所以由可得②，由①②可得，解得，则，所以或者，又，则向量在上的投影向量是.变式2-4．（23-24高一下·山西临汾·月考）（多选）已知，与同向的单位向量为，与同向的单位向量为，下列有关投影向量叙述正确的是（）A．在方向上的投影向量为B．在方向上的投影向量为C．在方向上的投影向量为D．在方向上的投影向量为【答案】AC【解析】在方向上的投影向量为，故A正确，B错误在方向上的投影向量为，故C正确，D错误.故选：AC【题型三：平面向量的夹角问题】例3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为．【答案】【解析】向量在上的投影向量为，则由题可知，又，则， ∵．变式3-1．（23-24高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A.变式3-2．（23-24高一下·重庆·月考）设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意是两个单位向量，且，所以，解得，由，所以.故选：C.变式3-3．（22-23高一下·山东临沂·月考）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】非零向量与满足，平方得，即，则，由，平方得，得，即，则，，设向量与夹角为， 则向量与夹角的余弦值，，，故选：．变式3-4．（22-23高三上·江苏南通·月考）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，所以且，解得且，所以的取值范围为.【题型四：平面向量的模长问题】例4．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量与的夹角为，，，则．【答案】【解析】∵，∴.变式4-1．（23-24高三·全国·练习）已知向量满足，，则．【答案】【解析】由，得，有，则． 变式4-2．（23-24高一下·河北廊坊·月考）已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】因为，所以；因此.故选：A变式4-3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知|，，若，则.【答案】3【解析】方法一：∵，所以是以为直角顶点的直角三角形.∴.方法二：，所以，所以.变式4-4．（22-23高一下·重庆·月考）已知向量满足，，则的取值范围是.【答案】【解析】向量满足，由，得，即，则，当且仅当同向共线时等号成立，整理得，解得，因此，所以的取值范围是. 【题型五：平面向量垂直问题】例5．（23-24高一下·云南红河·开学考试）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，对于AB，，则，故A正确，B错误；对于C，，，则，则，故C正确；对于D，，显然，则，故不成立，故D错误.故选：AC.变式5-1．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量，，，若，则（）A．B．C．6D．【答案】A【解析】根据题意，，又，所以，即，解得.故选：A变式5-2．（23-24高三上·浙江金华·期末）（多选）设平面向量，，（）A．若，则B．若，则C．，D．，使【答案】ABC 【解析】A：当时，，故A正确；B：若，，，所以，所以，故B正确；C：，故C正确；D：若，则，等式不成立，故D错误.故选：ABC变式5-3．（22-23高一下·河南洛阳·月考）已知向量．（1）求证：；（2）若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）．，故.（2）显然，，故可得，即，，，所以当时，取得最小值．【题型六：两角和与差的三角公式】 例6．（23-24高一下·江苏连云港·月考）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选：B变式6-1．（22-23高一上·广东云浮·期末）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D.变式6-2．（23-24高一下·江苏常州·月考）（   ）A．1B．C．3D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B变式6-3．（23-24高一下·上海闵行·月考）若，则.【答案】【解析】.变式6-4．（22-23高一下·江苏徐州·月考）已知，则的值为． 【答案】【解析】因为，所以，即，两式相加得，所以.【题型七：倍角公式与半角公式】例7．（23-24高一下·云南昆明·月考）已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】．故选：A．变式7-1．（23-24高一下·山东济宁·月考）若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，因，故，故.故选：B 变式7-2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，解得或，又，当时；当时；综上可得.故选：D变式7-3．（22-23高一下·山东聊城·月考）已知，则．【答案】【解析】依题意，．变式7-4．（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】已知为锐角，若，则，所以.故选：A.【题型八：和差化积与积化和差】例8．（23-24高三上·江西萍乡·期中）求值：.【答案】【解析】，，代入原式得.变式8-1．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角，满足，，则（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】由得，进而，则所以，则.故选：A. 变式8-2．（22-23高二上·贵州·开学考试）设，，则．【答案】【解析】，．变式8-3．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知．（1）利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）或3【解析】（1），可得；（2）因为，所以，则，解得或3．变式8-4．（2023高二·安徽·竞赛）．【答案】1【解析】方法一：， ，同理得，，令，以上三式相乘有：．方法二：令．令，，，令，．【题型九：三角恒等变换给角求值问题】例9．（23-24高一下·江苏扬州·月考）等于（）A．B．C．D． 【答案】D【解析】因为，故选：D.变式9-1．（22-23高二上·贵州六盘水·月考）的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原式.故选：A变式9-2．（22-23高一下·山西朔州·月考）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式.故选：D.变式9-3．（22-23高一下·云南楚雄·期末）若，则.【答案】【解析】【题型十：三角恒等变换给值求值问题】 例10．（23-24高一下·全国·单元测试）已知是第一象限角，且，则的值为（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是第一象限角，所以，所以，所以.故选：B.变式10-1．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则.【答案】【解析】.变式10-2．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，所以.故选：C变式10-3．（22-23高一下·湖北宜昌·期中）已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以， 所以．（2）因为，所以，所以．变式10-4．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知都是锐角，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为与都是锐角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因为，，，所以，解得：(负值舍去).【题型十一：三角恒等变换给值求角问题】例11．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A．B．C．D．【答案】A【解析】角，由得，则，又因为在上单调递增，则，而，同理有，所以，且，得.故选：A.变式11-1．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，又因为，，所以，所以因为，所以，所以，所以当为奇数时，，，当为偶数时，，， 因为，所以，因为，所以.故选：C.变式11-2．（22-23高三上·宁夏银川·月考）已知，，，，则（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故选：C变式11-3．（23-24高三下·山东泰安·月考）设，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，且，所以，则故选：A．变式11-4．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知，. （1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，解得，所以.（2）因为，则，则，可得，所以则，又因为，则，所以.【题型十二：三角恒等变换化简证明】例12．（2024高一上·全国·专题练习）已知，化简．【答案】0【解析】由，得，，所以． 变式12-1．（22-23高一下·甘肃兰州·期末）化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得.（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得.变式12-2．（22-23高一下·四川眉山·期中）化简求值：（1）；（2）化简证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，所以.（2）证明：因为，所以变式12-3．（23-24高一下·全国·课时练习）化简：（1）；（2）.【答案】（1）1；（2） 【解析】（1）.（2）.变式12-4．（22-23高一下·上海奉贤·月考）（1）证明恒等式：（2）化简：【答案】（1）证明过程见解析；（2）【解析】（1）得证. （2）【题型十三：三角形中的三角恒等变换】例13．（22-23高一下·甘肃兰州·期中）在中，若，则此三角形为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】因为，所以，，又所以，即.故选：A.变式13-1．（22-23高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】C【解析】因为，所以，因为，则又，所以,所以所以.又为△ABC的内角，所以.所以，故△ABC为等腰三角形.故选：C. 变式13-2．（22-23高一下·河南郑州·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【答案】C【解析】由知，，∴＝，，，，∴，∵在△ABC中，，∴，∵，∴，即△ABC为直角三角形．故选：C．变式13-3．（2023高一·全国·专题练习）在中，若，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角恒等变换得，又，则，即，所以，，所以，则为等腰三角形.故选：B【题型十四：三角恒等变换的实际应用】例14．（22-23高三上·湖北襄阳·期中）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，， 甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（）A．10cmB．C．D．【答案】B【解析】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示设，则，，由，，得，则，，，当，即时，OB取得最大值，此时故选：B.变式14-1．（22-23高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．（1）当时，求梯形BCNM的面积S； （2）求的周长l的最小值，并求此时角的值．【答案】（1）；（2）当时，.【解析】（1），，（2）由（1）可知，，，令，则，即当，即时，.变式14-2．（22-23高一下·山东济宁·月考）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）， （2）当时，矩形的面积最大，最大值为【解析】（1）由题可知，，在中，，，，在中，，，，．（2），，当，即时，，故当时，矩形的面积最大，最大值为．变式14-3．（22-23高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．（1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；（2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．【答案】（1）；（2）米 【解析】（1）由题知，，，则，在中，，在中，，所以．（2）如图，作，垂足为，设，则，，因为，所以，，在中，，在中，，所以，当且仅当即时，最大，所以当米时，射门角度最大．