拓展：第3课时 导数中的函数构造问题学历案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

班级：______________姓名：_____________组号：______________古蔺县金兰高级中学高二数学学历案课题拓展：第3课时导数中的函数构造问题学习目标1.了解导数中几种常见的构造函数的形式；2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.题型一：利用f(x)与x构造例1　已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)A．(0,1)B．(2，＋∞)C．(1,2)D．(1，＋∞)思考：把本例中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)<xf′(x)”，解不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)．训练1　已知函数f(x)＝xlnx＋x(x－a)2(a∈R)．若存在x∈，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(，＋∞)D．(3，＋∞)2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(　　)A．bf(b)≤af(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤bf(b)D．af(b)≤bf(a)用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有:(1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝____________．(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝____________．(3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝_______________.(4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝_____________．(5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝__________.题型二：利用f(x)与ex构造例2　已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　)A．e－2023f(－2023)<f(0)，e2023f(2023)>f(0)B．e－2023f(－2023)<f(0)，e2023f(2023)<f(0)C．e－2023f(－2023)>f(0)，e2023f(2023)>f(0)D．e－2023f(－2023)>f(0)，e2023f(2023)<f(0)思考：把本例中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2023f(－2023)和f(0)的大小． 训练2　(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　　)A．f(ln2)<2f(0)B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0)D．f(2)>e2f(0)2．若函数y＝f(x)的定义域为R，对于∀x∈R，f′(x)<f(x)，且f(x＋1)为偶函数，f(2)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　)A．(2，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，2)f(x)与ex构造常见的形式：(1)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝____________．(2)对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝_______________.题型三：利用f(x)与sinx，cosx构造例3　(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cosx＋f(x)sinx<0，则下列判断中正确的是(　　)A．f <f B．f >0C．f >f D．f >f 训练3　已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sinx>f(x)cosx(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)A．f >－f B.f <－f C.f >2f D.f <f 2．设函数f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cosx－f(x)sinx>0，若a＝f ，b＝0，c＝－f ，则a，b，c的大小关系是______________．3．已知函数f(x)＝(x∈R),求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x.课后作业1、认真梳理本节课的知识脉络，形成知识导图.2、完成每日一题练习.