第27讲 平面向量的数量积（解析版）

第27讲平面向量的数量积1、向量的数量积(内积)对于两个非零向量与，我们把数量叫做和的数量积(或内积)，记作，即。2、两个向量内积有如下重要性质(1)如果是单位向量，则()．(2)(3)或(4)．(5)题型一：平面向量数量积的定义1．（江西景德镇一中高一期中（理））在中，若，则此三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【答案】A【详解】∵，∴，∴是钝角，则△ABC是钝角三角形.故选：A.2．（北京东城·）若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】方向相同大小相等的向量是相等向量，但是不一定方向相同，故A错误；，为的夹角，因为，所以，所以不一定等于1，故B错误；方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；因为都是单位向量，所以，所以，故D正确，故选：D.3．（上海）下列等式正确的是（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】D【详解】对A，，故A错误；对B，由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；对C，，故C错误，对D，向量的数量积为数，故正确.故选：D.4．（全国）下列命题正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：由可以得到，但是由得不到，当时，故B错误；对于C：若则或，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D5．（全国高一课时练习）下列命题正确的个数是①；②；③；④A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】由两相反向量的和为零向量知①正确；由于两向量的数量积结果为一实数知②错误，正确结果应为0；由向量的减法运算法则，③错；由向量数乘的意义知，④错，即正确的个数是，故选A.6．（浙江高一单元测试）设、、是非零向量，则下列说法中正确是A．B．C．若，则D．若，则【答案】D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【详解】由题意得，对于A中，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以不正确；对于B中，时，此时，而，所以不正确；对于C中，若，而此时与不一定是相等向量，所以不正确；对于D中，因为、、是非零向量，若，则是正确.故选：D.题型二：平面向量数量积的意义1．（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】向量在向量上的射影为，故选：D2．（四川成都外国语学校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，则为（）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【详解】解：设两个向量的夹角为，由题意已知，，向量在方向上投影是4，则，所以；故选：A.3．（河北巨鹿中学高一月考）已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】D【详解】解：因为，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，所以在上的投影向量为，故选：D4．（浙江绍兴·）已知向量，，则在方向上的投影是（）A．-1B．0C．1D．3【答案】D【详解】在方向上的投影为.故选：D5．（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（）A．(2，﹣2)B．(，)C．(，)D．(，)【答案】B【点睛】向量在方向上的投影，因为投影向量与方向相同，，所以向量在方向上的投影向量为.故选：B6．（全国高二课时练习）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（）A．2B．C．D．4【答案】C【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ，在的方向上的投影向量为：，所以在的方向上的投影向量的模长为，故选：C.7．（湖北）已知向量，，与同向的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】在方向上的投影为，又是与方向相同的单位向量，在方向上的投影向量为故选：D题型三：模1．（嘉峪关市第一中学高二期末（文））已知向量，的夹角为60°，，，则（）A．1B．C．D．2【答案】D【详解】∵向量，的夹角为60°，且，，∴，∴.故选：D．2．（全国）已知为单位向量，且，，则（）A．3B．5C．10D．14【答案】D【详解】因为为单位向量，所以，.故选：D3．（梁河县第一中学高二月考）已知＝4，＝8，与的夹角为120°，则＝（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】A【详解】.故选：A4．（河西·天津实验中学）平面向量与的夹角为60°，，则等于（）A．B．2C．4D．12【答案】B【详解】因为，所以，因为向量与的夹角为60°，所以，所以，故选：B5．（海口中学高三月考）已知，则（）A．B．2C．D．3【答案】A【详解】，所以.故选：A6．（遵义市第三中学高一期中）已知向量，，满足，，．则（）A．4B．C．6D．8【答案】B【详解】因为，，，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以，故选：B7．（泾县中学高一月考）设向量，均为单位向量，且满足，则（）A．B．13C．4D．5【答案】A【详解】因为，所以所以.故选：A8．（湖南）已知向量，的夹角为，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由，得，因为向量，的夹角为，，所以，所以，解得，故选：A9．（陕西汉中·高三月考（理））若单位向量满足，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：因为为单位向量，所以，所以,所以，故选：C.10．（酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量满足，则微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （）A．3B．C．7D．【答案】B【详解】∵向量满足，，，，，故选：B11．（全国高三模拟预测（理））平面向量与的夹角为，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知，，.故选:B.12．（西藏拉萨中学高三月考（文））已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，则（）A．1B．C．D．【答案】B【详解】由已知可得，，则，所以，则.故选：B.13．（全国高三月考）已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（）A．B．2C．4D．【答案】B【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 因为，所以，又平面向量与的夹角为60°，==故选：B14．（威远中学校高一月考（文））已知，满足：，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】，所以，．故选：D．题型四：平行与垂直关系1．（广东惠州·高一期中）已知向量，，且，则（）A．B．2C．D．1【答案】C【详解】由题知，向量，，若，则，.故选：C.2．（厦门市湖滨中学）已知向量，，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意得，所以，因为，所以，所以，得.故选:A3．（沙坪坝·重庆八中高三月考）已知向量，，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由条件，，所以，从而.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：D4．（贵州凯里一中高二期末（文））若，则（）A．B．1C．D．2【答案】C【详解】故选：C5．（全国高一课时练习）已知向量，，且，那么t等于（）A．-4B．-1C．1D．4【答案】A【详解】因为，，且，所以即，解得故选：A6．（四川射洪中学高三月考（文））已知，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，解得故选：C7．（湖南高二月考）向量，若，则（）A．3B．C．12D．【答案】A【详解】由于，所以，解得.故选：A题型五：夹角1．（全国）为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】A【详解】设向量的夹角为θ，则.故选：A.2．（云南省南涧县第一中学高一月考）设向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，，所以.故选：A.3．（山西临汾·）设，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：因为，所以，，，设向量与的夹角，所以，又，所以与的夹角为．故选：．4．（浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知，则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【答案】D【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 依题意.故选：D5．（江苏江都·高一期中）已知向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】,所以，故选：B.6．（山东菏泽·高一期末）设向量，，若，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【详解】解：因为向量，，，所以，解得，所以，则，设与的夹角为，则，因为，所以，即，故选：B7．（全国高三专题练习（文））已知非零向量，若，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ∵，∴t=4，∴，又，∴.设与的夹角为θ，则，因为，所以.故选：A．8．（全国高三专题练习（理））设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由向量，，因为向量与的夹角为锐角，则且，解得且，即的取值范围为.故选：.C.9．（嫩江市第一中学校高一期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，，所以，所以.设与的夹角为，则.因为，所以.故选：B微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 10．（河南南阳·高二期末（理））已知向量，，则“”是“为钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若为钝角，则且与不共线，即，即且，所以“”是“为钝角”的必要不充分条件.故选：B.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538