高考数学方法技巧第11讲 导数的几何意义应用（解析版）

第11讲导数的几何意义应用【高考地位】导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解.导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小．类型一求在某点的切线方程万能模板内容使用场景在某点的切线方程解题模板第一步计算函数的在曲线上该点处的导函数；第二步运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率；第三步得出结论.【例1】【天壹名校大联盟高三6月大联考】曲线在点处的切线方程为（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】第一步，计算函数的在曲线上该点处的导函数：，第二步，运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率：切线斜率为，第三步，得出结论：切线方程为，即.故选：D.【点睛】本题考查过函数上一点处切线方程的求解，注意导数的求解以及点斜式的应用即可.,【变式演练1】已知曲线在处的切线方程为，则（）A．，B．，C．，D．，【来源】贵州省贵阳市第一中学高三下学期高考适应性月考卷（六）数学（文）试题【答案】C【分析】求得，根据题意得到，求得的值，再将切点坐标代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为曲线在处的切线方程为，可得，解得，将切点坐标为带入切线方程，即，解得.故选：C.【变式演练2】【普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）】曲线在处的切线与直线相互垂直，则（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】【分析】先求导，可得曲线在处的切线斜率为，再根据直线垂直关系可得结果.【详解】曲线在处的切线斜率为由切线与直线相互垂直可得,解得故选：A【点睛】本题考查导数几何意义以及直线垂直关系，属于基础题.【变式演练3】【伯乐马模拟考试（二）】已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出切点和切线的斜率即得解.【详解】因为，所以，联立可解得，所以，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，所以所求的切线方程为.故选：C【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【变式演练4】【陕西省西安市高三下学期第三次质量检测】函数的图象在点,处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.【详解】，则，则倾斜角为．故选：B．【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.【变式演练5】【河南省名校联盟高三下学期6月联考】设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.【详解】，，，，，.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.,，.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.【变式演练6】【江苏省南京市玄武高级中学高三下学期最后一卷】已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】求导函数，确定其值域，即可求出的取值范围．【详解】，，,，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题．类型二过点求曲线的切线方程万能模板内容使用场景过点求曲线的切线方程解题模板第一步设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数；第二步充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系；第三步利用方程的思想即可得出结论.,例2若直线是曲线的一条切线，则______．【答案】【解析】第一步，设出切点的坐标为并求出函数在切点处的导数：设切点为，，所以第二步，充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系：则将①代入②得，即，第三步，利用方程的思想即可得出结论：∴或，考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【变式演练7】过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（）A．eB．1C．D．【来源】重庆市巴蜀中学高三适应性（九）数学试题【答案】B【分析】设出切点，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点，由，得，所以，∴曲线在点处的切线方程为，,又过（0，0），∴，解得，∴切点，纵坐标为1．故选：B．【变式演练8】（多选）已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（）A．－2B．4C．0D．6【来源】辽宁省高三临门一卷（一）数学试题【答案】AD【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围.【详解】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.【变式演练9】【广西南宁三中下学期期末考试】已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设函数上任意一点，得到切线方程为.再根据图像过点，所以，令，等价于函数g(x)有三个零点，分析即得解.【详解】设函数上任意一点，,在点处的切线方程为，即.若过点，则依题意，方程有三个不等实根.令，，得，.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.因此的极小值为，极大值为.若有三个不等实根，故.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.类型三共切线问题万能模板内容使用场景两个曲线的公切线问题解题模板第一步分别设出两个曲线上切点的坐标为，,并求出函数和在切点处的导数；第二步充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系，如斜率相等（尤其两点的斜率）和点既在曲线上又在曲线上；第三步利用方程的思想即可得出结论.例3．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.【答案】,【解析】第一步：设与和的切点分别为第二步：由导数的几何意义可得，得，第三步：由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得.【变式演练10】已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】重庆市高三高考数学第三次联合诊断检测试题【答案】D【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．【详解】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，，两点处的切线方程分别为和，故，即.故选：D.【变式演练11】【江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷】已知函数，，若曲线与在处有相同的切线，则函数的最小值为________.【答案】0【解析】,【分析】首先对函数和求导，代入，求得切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用两直线重合得到方程组，求得，利用导数研究的单调性，确定出最小值，得到结果.【详解】因为，，有，，所以，且，所以在处的切线方程为，即，在处的切线方程为，即，因为两条切线相同，所以有，解得，所以，，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在时单调递增，所以在处取得最小值，且，故答案为：0.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有曲线在某个点处的切线方程的求解，利用导数研究函数的最值，属于中档题目.【反馈练习】1．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（）A．B．C．e2D．【来源】全国高三高考数学（文）演练试卷（一）,【答案】C【分析】首先利用导数的几何意义得到切线为，设的切点为，从而得到，代入切线得到切点为，再代入即可得到答案.【详解】，，所以切点.，，切线，即.设的切点为，，，所以.将代入切线得：，的切点为，将代入得：，解得.故选：C2．设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A．B．C．D．【来源】云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.【详解】，，，，，又为与公共点，，，解得：，.,故选：D.3．【普通高等学校招生伯乐马押题考试（三）】已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由函数的图像关于原点对称，得出，再由得出函数的最小正周期为，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数的最小正周期为，由此可得选项.【详解】因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以，因为，，两式相减可得，，故，故；因为，故所求切线方程为，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.4．【高考全国卷考前冲刺演练】已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．1C．3D．4【答案】D【解析】【分析】,先求导，再计算出和，解方程即可.【详解】，由题意，得，，解得，，从而，故选：D．【点睛】本题考查由导数的几何意义求解参数，属于基础题5．【高考命题专家押题卷】已知函数与在交点处有公共的切线，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分别对函数求导，设出切点横坐标，然后利用函数在该点处函数值相等及导数相等即可求得的值.【详解】由于函数与的导函数分别为：，．设切点的横坐标为，则，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查通过导数的几何意义求参数的值，考查了学生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养．6．【陕西省西安市高三下学期第二次质量检测】已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7．【浙江省高三新高考模拟试题心态卷】已知正数、、满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用换元法将不等式组进行转化，然后利用线性规划的知识结合导数的几何意义求出切线的斜率，数形结合可得出的取值范围.【详解】正数、、满足，，所以，，，即，设，，则不等式等价于，代数式的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，令，作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：,由图象可知，当直线与曲线相切时，最小.对函数求导得，设切点坐标为，则切线方程为，由于该切线过原点，则，可得，此时，.联立，解得，可得点，由图象可知，，即.因此，的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划求代数式的取值范围，利用换元法将不等式组转化为线性规划问题是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.8．【内蒙古开鲁县第一中学下学期期末考试】设点P是曲线上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A．B．C．D．,【答案】A【解析】【分析】先判断直线与曲线的位置关系，然后求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直的距离公式可求得结果.【详解】解：令，则，易知，所以曲线的图象在直线的上方．，令，得或，因为，所以点P到直线的距离的最小值．故选：A【点睛】此题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法和导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于基础题.9．【湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟（一）】已知函数，若方程有3个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】本题将零点问题转化为两个基本函数的交点问题，再利用相切求解即可.【详解】,当直线与曲线相切时，设切点为，则切线斜率，所以，即，解得.又当时，.所以：（1）当时，有1个实数根，此时有1个实数根，不满足题意；（2）当时，有2个实数根，此时有1个实数根，满足题意；（3）当时，无实数根，此时最多有2个实数根，不满足题意.综上得，故选：D.10．【安徽省六安市第一中学下学期期中】已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，,，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.11．【福建省高三考前冲刺适应性模拟卷（三）】已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先求出两条切线各自的斜率，再根据它们垂直得到的关系，将表示为的函数后利用导数可求的取值范围.【详解】令，，则，，所以，，因为，故，所以，因为，故.又，令，则，,当时，为减函数，故，所以在上恒成立，故在上为减函数，所以，又当时，，所以的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的值域的求法，注意函数图象在某点处的切线的斜率就是函数在该点横坐标处的导数，另外，求函数的值域时不仅要依据函数的单调性，而且还要考虑函数的图象有无水平的渐近线.12．【云南师范大学附属中学高三适应性月考】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（）A．B．C．8D．18【答案】C【解析】【分析】根据题意可得点在曲线上，点在曲线上，由的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方，利用导数求出曲线上点到直线的距离即可求解.【详解】，∴，，∴点在曲线上，,点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方.曲线平行于直线的切线，∵，令，解得或（舍去），∴切点为，该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，故的最小值为，故选：C.【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值，考查了转化与化归的思想，属于中档题.13．【甘肃省兰州市西北师大附中6月高三诊断考试】已知点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，若存在使得成立，则的值为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】【分析】由点在直线上，得到两点间距离最近等价于函数的图象在点处的切线的斜率为2，得到过点的直线与直线的垂直，即可求解.【详解】由题意，当函数的图象上点处的切线与函数平行时，此时函数的图象上点处的切线的斜率与函数的斜率相等，又由，所以，即，解得，从而，即，又由点到直线的距离为，,所以过点的直线与直线的垂直，设点，则，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式和两直线位置关系的应用，其中解答中充分利用图象上的点到直线的距离最短时为过点的切线与该直线平行这一特性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【重庆市南开中学高三高考模拟】若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】【分析】由直线与曲线相交，斜率为1且与曲线相切的直线与直线的距离为，由此可求得．【详解】由题意直线与曲线相交，设曲线的斜率为的切线的切点为为，由得，，，所以切线方程为，由得或，在切线的左侧，与曲线无公共点，舍去，所以．故选：A．【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，考查导数的几何意义，解题关键是问题的转化，转化为曲线上斜率为1的切线与直线的距离为，由此可得结论．,15．【山东省潍坊市五县高三高考热身训练考前押题】已知函数，则函数在处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可.【详解】由已知得且，，则切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.16．【金科大联考高三5月质量检测】曲线过原点的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】求出导函数，设切点为，写出切线方程，由切线过原点求出值，得切线方程．【详解】设切点为，，，所求切线方程为，代入点可得，得，所求切线方程为，整理得.故答案为：．【点睛】,本题考查导数的几何意义，解题时要注意在求曲线在某点处的切线还是求过某点的切线，在某点处切线，该点是切线，该点导数值即为切线斜率，而过某点的切线，则需设出切点坐标，写出切线方程，由切线所过点求出切点坐标后得结论．17．【四川省资阳市高三模拟考试】已知函数，且对恒成立，则曲线在点处的切线的斜率为______.【答案】17【解析】【分析】依题意可得，求出，再求出函数的导函数，求出其在处的导数值，即可得解；【详解】因为，所以当时，取得最小值，即，因为，所以所求切线的斜率为.故答案为：17【点睛】本题考查导数的几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.18.【福建省三明市高三（6月份）】设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为_______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，进而可得，由导数的几何意义可得，从而得解；【详解】,解：因为所以所以又因为曲线在处的切线与直线平行，所以故答案为：【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．19．【湖南省长沙市雅礼中学高三下学期5月质量检测】已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为________.【答案】.【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当时，，根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为函数为奇函数，所以，因为当时，，所以当时，，所以，，所以曲线在点处的切线斜率为.故答案为：.【点睛】本题考查了由奇函数求解析式，考查了导数的几何意义，属于基础题.20．【宁夏银川唐徕回民中学度高三年级10月月考】已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是______.【答案】,【解析】试题分析：因为，所以；由题意得恒成立，即恒成立，则，解得.考点：导数的几何意义、一元二次不等式.21．函数在点处的切线的方程为___________.【来源】重庆市南开中学高三上学期7月考试数学试题【答案】【分析】求出函数的导函数，再求出并借助导数的几何意义即可得解.【详解】依题意，，于是得，所以所求切线方程为，即.故答案为：22．曲线在点处的切线方程为____________.【来源】江西省九江市高三三模数学（理）试题【答案】【分析】根据导数的几何意义求切点处的斜率，由解析式求切点坐标，写出切线方程即可.【详解】由题设知：，∴，而，∴在点处的切线方程为：.故答案为：.23．设函数，则曲线在点处的切线方程为___________.【来源】湖南省新高考高三下学期考前押题《最后一卷》数学试题,【答案】【分析】对求导，切线的斜率为，根据点斜式即可得切线方程.【详解】由题意得，切点为，，所以，所以过点的切线方程为：，即.故答案为：.24．曲线在点处的切线经过坐标原点，则___________.【来源】全国高三高考数学（文）预测试题【答案】【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】由，则，所以，所以，化简整理可得.故答案为：25．曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【来源】安徽省合肥市第八中学高三下学期高考模拟最后一卷文科数学试题【答案】【分析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．,【详解】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：26．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.【来源】重庆市康德卷高三下学期模拟6数学试题【答案】1【分析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.【详解】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：127．若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．【来源】黑龙江省佳木斯市第一中学高三下学期三模数学（理）试题【答案】（0，2e]【分析】设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到，然后转化为﹣＝alnx2﹣a，，然后参变分离得到a＝4x2﹣4x2lnx，进而构造函数求值域即可.【详解】解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y,＝2x1x﹣x12+1，对于y＝alnx+1，y′＝，所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+alnx2，所以，即有﹣＝alnx2﹣a，由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，记f(x)＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），当x＜时，f′(x)＞0，即f(x)在（0，）上单调递增，当x＞时，f′(x)＜0，即f(x)在（，+∞）上单调递减，所以f(x)max＝f（）＝2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，所以0＜a≤2e．故答案为：（0，2e]．28．【山东省济宁市嘉祥县第一中学高三第9次模拟考试】已知函数.（1）若曲线与直线在处相切.①求的值；②求证：当时，；（2）当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）①②见解析（2）【解析】【分析】（1）①求出导函数，由可求得，再由可求得，从而得；②引入函数，利用导数求函数的最小值（需二次求导确定），确定最小值是，从而证得不等式成立；（2）不等式分离参数得，原题等价于时，有解.求出的最小值即可得，为此先证明不等式,，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最值得出结论．应用刚证的不等式可得结论．【详解】解：（1）①因为，所以.因为曲线与直线在处相切，所以，所以.所以，所以.又切点在直线上，所以，所以，所以②由①知，可设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，由，所以，所以存在，使得，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以当时，，故当时，(3）先证.构造函数，则.故当时，，在上递增，当时，，在上递减，,所以，即又当，且时，等价于故原题等价于时，有解.因为（当时取等号），所以.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略：1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即对于恒成立，应求的最小值；若存在，使得成立，应求的最大值.应特别关注等号是否成立问题．29．【福建省漳州市、南平市高三高考数学（理科）二模】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）首先写出函数定义域为，求得，对的范围进行讨论，从而确定出的符号，确定出函数的单调性；（2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线的方程为，即，也可以写成，根据两条直线是同一条直线，得到,，且，对式子进行整理可以得到，构造函数，利用导数研究该函数的单调性及最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到，进一步可以得到，构造函数，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果.【详解】（1）定义域为，因为，若，则，所以在单调递增，若，则当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．（2）证法一：证明：对于曲线，，直线的方程为，即，即①．对于曲线，因为，所以所以，直线的方程为，即，即②．因为①与②表示同一条直线，所以③，,且④，④÷③，得，所以．令，，由（1）知，在单调递增又∴有唯一零点，且当时，，，当时，，，所以在上递增，在上递减，所以，又，即，所以，所以，所以，又，所以．证法二：,证明：因为，所以直线的斜率为，因为，所以，所以，所以直线的斜率为，所以，所以，又因为，所以，所以，令，所以，所以在单调递增，又因为，，所以存在，使得，且当时，，当时，，所以在递减，在递增，因为，所以在递减，所以当时，，,所以在内无零点，因为是的零点且，所以．【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究函数图象的切线，利用导数研究函数的最值和零点问题，属于难题.30．已知函数（1）若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线l的方程；（2）证明：．（参考数据：）【来源】重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试（三）数学试题【答案】（1）或；（2）证明见解析.【分析】(1)利用函数在某一点处的导数值即为函数在该点处切线的斜率来求解；(2)通过结论构造新函数加以证明，构造函数，求导函数，分析导函数的符号，得出所构造函数的单调性，从而得出最值，不等式可得证.【详解】（1），，则函数在点处的切线方程为：，即，函数在点处的切线方程为：，即，因为直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，所以，将代入得，即，所以或，若，则，此时直线l的方程为：；,若，则，则此时直线l的方程为：，综上得：或.（2）设，则，令，解得，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，设，则，令，则，令，得，所以存在使得满足在和上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，且，因为在上单调递减，所以，所以，所以，即，即.【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.