高考数学重难点题型归纳第1讲 幂指对三角函数值比较大小（解析版）

第1讲幂指对三角函数值比较大小10类【题型一】临界值比较：0、1临界【典例分析】设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对数函数的单调性和对数的运算可得到，；根据指数函数的单调性得到，从而可得出答案.【详解】因为，所以；因为，所以；又，所以.故选：B.【变式演练】1.已知，则a，b，c的大小关系为（）A．a&gt;b&gt;cB．b&gt;a&gt;cC．c&gt;a&gt;bD．a&gt;c&gt;b【答案】A【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得.【详解】∵，，，&there4;.故选：A.2.若，则a，b，c，d的大小关系为（）A．a<b<c<db．d<b<c<ac．b<d<c<ad．d<c<b<a【答案】c【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；解：，，即，；因为，所以，即，即，又,，所以，即，即，故选：c3.的大小关系是（）a.b.c.d.【答案】a试题分析：，而，对于所以，故选a【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知，则a，b，c的大小关系为（）a．b．c．d．【答案】b【分析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故选：b【变式演练】1.已知，，，则大小关系为（）a．b．c．d．【答案】a【分析】根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.【详解】，，，因为，所以，即，,因为，，，所以，所以，即，所以.故选：a.2.已知，则a，b，c的大小关系为（）a．b．c．d．【答案】a【分析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】∵，∴，∵，，∴，，故，所以．故选：a．3.若，则的大小关系是（）a．b．c．d．【答案】b【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.【详解】解：因为函数是减函数，所以，又函数在上是增函数，所以，所以，即，，所以.故选：b.【题型三】差比法与商比法【典例分析】已知实数满足，则的关系是（）a．b．c．d．【答案】c,【分析】利用幂函数的性质知，利用对数的运算性质及作差法可得，再构造，根据指数的性质判断其符号，即可知的大小.【详解】；，；，；，∴，综上，.故选：c【变式演练】1.已知，，，则（）a．b．c．d．【答案】b【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小.【详解】，即，∵，∴综上，.故选：b2.已知，则（）a．b．c．d．【答案】c,【详解】因为，又，，所以，即3.已知，则2，，的大小关系是（）a．b．c．d．【答案】d【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.【详解】，，∴；又∴，∴.故选：d.【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（>b&gt;cB．c&gt;a&gt;bC．c&gt;b&gt;aD．b&gt;c&gt;a【答案】D对a,b,c同除6&pi;，转化为ln22,ln33,ln&pi;&pi;之间的比较，构造函数fx=lnxx，利用导数研究函数的单调性，得到答案.【详解】a6&pi;=ln22,b6&pi;=ln33,c6&pi;=ln&pi;&pi;∵6&pi;&gt;0，&there4;a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,ln&pi;&pi;的大小比较．设fx=lnxx，则f&#39;x=1&minus;lnxx2，当x=e时，f&#39;x=0，当x&gt;e时，f&#39;x&lt;0，当0<x<e时，f'x>0&there4;fx在e,+&infin;上单调递减，∵e&lt;3&lt;&pi;&lt;4&there4;ln33&gt;ln&pi;&pi;&gt;ln44=ln22，&there4;b&gt;c&gt;a，故选：D．2.以下四个数中，最大的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，令，则，所以时，，&there4;在上递减，又由，&there4;，则，,即，故选：B．3.下列命题为真命题的个数是(　　)①ln3&lt;3ln2；&nbsp;&nbsp;&nbsp;②ln&pi;&lt;&pi;e；&nbsp;&nbsp;&nbsp;③215&lt;15；&nbsp;&nbsp;④3eln2&lt;42A．1B．2C．3D．4【答案】C本题首先可以构造函数f(x)=lnxx，然后通过导数计算出函数f(x)=lnxx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f(x)=lnxx的单调性即可比较出大小。【详解】构造函数f(x)=lnxx，导数为f&#39;(x)=1&minus;lnxx2，当0<x<e时，f'(x)>0，f(x)递增，x&gt;e时，f&#39;(x)&lt;0，f(x)递减，可得当x=e时f(x)取得最大值1e。ln3&lt;3ln2&hArr;2ln3&lt;3ln2&hArr;ln33<ln22，由3<2<e可得f(3)<f(2)，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<lnee，由e<π<e，可得f(e)<f(π)，故②错误；由f16<f15可推导出ln1616<ln1515，即4ln24<ln1515，ln2<ln1515，所以ln22<ln1515，可得f2<f15，故③正确；3eln2<42⇔ln88<22e<1e，由f(x)的最大值为1e，故④正确，综上所述，故选c。【题型六】构造函数综合【典例分析】已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）a．a＜b＜2b．b＜a＜2c．2＜a＜bd．2＜b＜a【答案】d【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：,，又，&there4;，则a&gt;b.又∵，&there4;a&gt;b&gt;2.故选：D.【变式演练】1.若（），则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由，可得，令，则在上单调递增，且，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.2.已知，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不确定【答案】C【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，由，得，即故选：C3.已知，，，则大小关系为（）,A．B．C．D．【答案】A【分析】根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.【详解】，，，因为，所以，即，因为，，，所以，所以，即，所以.故选：A.【题型七】放缩（难点）【典例分析】若，，，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.【详解】解：由题意，，，，即，，，而，所以，，而，即，又，，而，则，即，同理，，，而，则，即，综上得：，,【变式演练】1.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分别求出a、b、c的范围，即可得到答案.【详解】，即，，即，.所以.故选：C2.设a=log43，b=log52，c=log85，则（　　）A．a<b<cb．b<c<ac．b<a<cd．c<a<b【答案】b【详解】即a>c&gt;b3.已知，，，，则下列大小关系正确的为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的性质进行比较即可．【详解】。。&there4;a＞d＞b＞c，故选：D【题型八】函数奇偶性和单调性等综合【典例分析】,已知为R上的奇函数，，若在区间上单调递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断为偶函数，且在上为增函数，又，根据单调性即可判断.【详解】定义域为R，为奇函数，，所以为偶函数，又在区间上单调递减，故在上为增函数，又，，所以，故选：B.【变式演练】1.已知函数，若，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性确定，再由函数的单调性即可求解.【详解】因为，，，所以由知，函数在上单调递增，所以故选：A2.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.,【详解】解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数，不妨令，则，所以是偶函数，则，因为当时，成立，所以在上单调递减，又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增，则，，，因为，，，所以，所以，故选：D.3.已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分析得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，．当时，为增函数，所以，，因此，．故选：D.【题型九】三角函数值比较大小【典例分析】三个数，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】,诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．【详解】，．∵，，，&there4;．又∵在上是增函数，&there4;．故选：C．【变式演练】1.已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据比较b，c的大小关系，构造函数比较a，b的大小关系，即可得解.【详解】，所以，构造函数，，，所以，，必有，，所以所以，即所以单调递减，所以即，所以故选：A2.设，若，则与的大小关系为（）A．B．C．D．以上均不对【答案】D【分析】设，，由题意，利用诱导公式可得，而，，可得，或，分类讨论即可求解．【详解】解：设，，,因为，，所以，，，又因为，所以，而，，因此，或，所以（1）当时，，，因此，（2）当时，，，因此：①当时，，则，②当时，，则，③当时，，则．故选：D．3.，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在上的单调性判断即可.【详解】因为,所以,可得,因为,所以,可得,因为,又因为,由正弦函数在上的单调性知,，即.故选:A【题型十】数值逼近【典例分析】,已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.【详解】设，，令，解得.，，为减函数，，，为增函数.所以，即，当且仅当时取等号.所以.故，即.设，，令，解得.，，为增函数，，，为减函数.所以，即，当且仅当时取等号.所以.所以，又因为，所以.又因为，所以，即，综上.故选：B【变式演练】1.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】对于a，b的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a，c或b，c的比较通过作差法来进行比较【详解】，故；，故；，,令，（），则因为，所以，，，故恒成立，在上单调递增，所以，故综上：故选：C2.设，，．则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+&infin;)上单调递减，所以,即,即b</x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x></b<cb．b<c<ac．b<a<cd．c<a<b【答案】b【详解】即a></ln22，由3<2<e可得f(3)<f(2)，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<lnee，由e<π<e，可得f(e)<f(π)，故②错误；由f16<f15可推导出ln1616<ln1515，即4ln24<ln1515，ln2<ln1515，所以ln22<ln1515，可得f2<f15，故③正确；3eln2<42⇔ln88<22e<1e，由f(x)的最大值为1e，故④正确，综上所述，故选c。【题型六】构造函数综合【典例分析】已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）a．a＜b＜2b．b＜a＜2c．2＜a＜bd．2＜b＜a【答案】d【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a></x<e时，f'(x)></x<e时，f'x></b<c<db．d<b<c<ac．b<d<c<ad．d<c<b<a【答案】c【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；解：，，即，；因为，所以，即，即，又,，所以，即，即，故选：c3.的大小关系是（）a.b.c.d.【答案】a试题分析：，而，对于所以，故选a【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知，则a，b，c的大小关系为（）a．b．c．d．【答案】b【分析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故选：b【变式演练】1.已知，，，则大小关系为（）a．b．c．d．【答案】a【分析】根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.【详解】，，，因为，所以，即，,因为，，，所以，所以，即，所以.故选：a.2.已知，则a，b，c的大小关系为（）a．b．c．d．【答案】a【分析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】∵，∴，∵，，∴，，故，所以．故选：a．3.若，则的大小关系是（）a．b．c．d．【答案】b【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.【详解】解：因为函数是减函数，所以，又函数在上是增函数，所以，所以，即，，所以.故选：b.【题型三】差比法与商比法【典例分析】已知实数满足，则的关系是（）a．b．c．d．【答案】c,【分析】利用幂函数的性质知，利用对数的运算性质及作差法可得，再构造，根据指数的性质判断其符号，即可知的大小.【详解】；，；，；，∴，综上，.故选：c【变式演练】1.已知，，，则（）a．b．c．d．【答案】b【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小.【详解】，即，∵，∴综上，.故选：b2.已知，则（）a．b．c．d．【答案】c,【详解】因为，又，，所以，即3.已知，则2，，的大小关系是（）a．b．c．d．【答案】d【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.【详解】，，∴；又∴，∴.故选：d.【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（>