直线与圆的方程及位置关系（原卷版）

直线与圆的方程及位置关系考纲解析Ø掌握两点间的距离公式，掌握线段中点的坐标公式并会应用于对称问题Ø理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，会求直线的斜率Ø掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程，能够根据条件求出直线的方程Ø掌握求两条相交直线交点的方法Ø理解两条直线平行和垂直的条件，能根据直线的方程判断两条直线的位置关系Ø会求点到直线的距离及两条平行线之间的距离Ø掌握圆的标准方程，理解确定圆的条件，能根据条件求出圆的标准方程Ø了解圆的一般方程的特点，会利用一般方程求出圆心坐标和半径Ø理解直线与圆的位置关系的判定，会求圆的切线方程和相交弦长考点预测Ø中点坐标公式及该公式在对称问题中的应用Ø直线的点斜式、斜截式、一般式方程的综合应用Ø与直线平行、垂直的直线方程的求法Ø点到直线的距离公式Ø利用圆的方程及直线与圆的位置关系求切线方程和相交弦长考点导航²考点1直线的倾斜角和斜率²考点2求直线的方程²考点3应用公式²考点4点与圆的关系及圆的条件²考点5圆的方程²考点6直线与圆相交问题²考点7直线与圆相切问题²考点8直线与圆相离问题²考点9求动点轨迹方程 要点自测（一）直线直线的倾斜角和斜率倾斜角的定义：直线l在x轴的部分与x轴所成的角α，称为直线l的倾斜角.直线倾斜角的范围：.图示：斜率的概念：当直线l倾斜角α≠时，将倾斜角α正切值做直线l的斜率记作：k=tanα.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k=.直线的方程名称已知条件方程说明点斜式直线上l上一点P(x0,y0)直线的斜率k不能表示垂直于x轴的直线斜截式直线的斜率k直线在y轴上的截距b不能表示垂直于x轴的直线截距式在x轴上的截距a，在y轴上的截距b.不能表示过原点和平行于坐标轴的直线一般式Ax+By+C=0A，B不能同时为0直线的位置关系位置关系斜截式方程：l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2一般式方程：l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0平行A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1垂直A1A2+B1B2=0相交A1B2≠A2B1重合A1B2=A2B1且B1C2=B2C1相关公式两点间的距离公式|AB|=______________________.两点间的中点公式x0=______，y0=______.点到直线的距离公式d=____________.两平行线间的距离公式d=____________.(二)圆圆的定义平面内的点的轨迹叫做圆，定点是圆心，定长是半径.圆的方程（1）标准方程圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为____________________； （2）一般方程圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0.通过配方可化为：①当且仅当D2+E2-4F0时，表示一个圆，圆心为__________，半径为_____________；②当且仅当D2+E2-4F0时，表示一个点，(-D2,-E2)③当D2+E2-4F0时，_________________.（三）直线与圆的位置关系位置关系判断方法经常考查的问题解决方法图示几何法代数法相交d<r△>0(1)求弦长利用垂径定理及勾股定理：｜AB｜=.(2)求弦中点坐标联立直线与圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理求出x中=______，或y中=______.注意：求出x中或y中后，代入直线方程，即可求出中点的完整坐标.相切d=r△=0(1)过圆上一点求切线方程切线与直线PC垂直，可得出切线斜率.圆的切线方程为：(2)过圆外一点求切线方程过圆外一点的切线有_____条：设圆外一点为P(x0,y0)①设直线斜率存在，直线方程为y-y0=k(x-x0)②利用圆心(a,b)到直线y-y0=k(x-x0)的距离d=r，求出k.注意：当k值算出只有一个时，说明另一条直线斜率不存在，直接写出即可. 相离d>r△<0求圆上点到直线的最大或最小距离①最大距离：|AD|=__________；②最小距离：|BD|=__________；考点突破考点1直线的倾斜角和斜率v【例1】(1)直线过点(-2,3)和(2,-3)，倾斜角为α，则tan2α=________；(2)已知直线经过A(1,0)，B(2,1)两点，则直线AB的倾斜角为_______.【答案】(1)；(2)α=45°.【解析】(1)∵tanα=k==，∴tan2α==；(2)∵tanα=k==1，又∵α∈[0°,180°)，所以α=45°.【突破训练】(1)已知直线经过A(1,1)，B(2,4)两点，则直线AB的斜率为__________；(2)直线的斜率k∈[-1,1]，则倾斜角的范围是_________________.考点2求直线的方程v【例2】求适合下列条件的直线方程：(1)斜率为3，且过点(0,2)；(2)过点P(-1,2)，且倾斜角为60°；(3)倾斜角为135°，且在y轴上的截距为-4；(4)经过点M(0,4)，N(5,0).【答案】(1)3x-y+2=0；(2)x-y+2+=0；(3)x+y+4=0；(4)4x+5y-20=0.【解析】(1)利用点斜式：y-2=3(x-0)，即3x-y+2=0；(2)因为直线倾斜角为60°，则k=tan60°=，利用点斜式：y-2=(x+1)，即x-y+2+=0；(3)因为直线倾斜角为135°，则k=tan135°=-1，利用斜截式：y=-x-4，即x+y+4=0；(4)由题可知，直线在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为4，利用截距式： ，即4x+5y-20=0.【突破训练】求下列直线的方程：(1)过点P(3,4)，且倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍，则直线方程为_________；(2)经过原点和点A(-3,1)，则直线方程为________________.v【例3】求下列直线方程：(1)过直线x+y=2与x-y=0的交点，且斜率k=的直线方程是____________;(2)过点P(3,4)且与直线3x-2y-7=0垂直的直线方程为_________________；(3)过点P(1,2)且与直线x-3y+1=0平行的直线方程为_________________；【答案】(1)x-2y+1=0；(2)2x+3y-18=0；(3)x-3y+5=0.【解析】(1)联立，解得，即交点坐标为(1,1)，又因为斜率k=，所以直线方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0；(2)∵直线3x-2y-7=0的斜率为，则所求直线斜率为，所以直线方程为y-4=(x-3)，即2x+3y-18=0；(3)由题可设所求直线方程为x-3y+m=0，将点P(1,2)代入，得m=5，则所求直线方程为x-3y+5=0.【突破训练】求下列直线的方程：(1)如果直线l与直线3y-2=0相交于点A(3,)，且夹角为45°，则直线l的方程为_______________；(2)直线l过点A(2,3)且在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为___________；(3)直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，△AOB的面积为12，求直线l的方程；考点3应用公式 v【例4】(1)若点M(a,6)到直线3x-4y=2的距离小于4，则a的取值范围是________；(2)求两平行线y=2x与2x-y+5=0之间的距离为_________；(3)已知点A(-1,8)，B(3,-4)，则｜AB｜=_________；(4)点P(-5,1)关于直线l：3x-y-4=0的对称点Q的坐标为__________.【答案】(1)2<a<；(2)；(3)；(4)Q(7,-3).【解析】(1)由题可得，d=<4，解得2<a<；(2)平行线y=2x与2x-y+5=0之间的距离d==；(3)｜AB｜==；(4)设点Q(x,y)，则PQ的中点在直线3x-y-4=0上，即()在直线上，代入得①，又PQ所在直线与已知直线垂直，所以斜率之积为-1，所以②，联立①和②得，x=7，y=-3，即Q(7,-3).【突破训练】(1)已知点A(1,3)，B(-5,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为______________；(2)已知平行线l1：3x+2y-6=0与l2：6x+4y-3=0，求与它们距离相等的点的轨迹方程.考点4点与圆的关系及圆的条件v【例5】(1)已知圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=4，判断下面的点在圆内、圆上、还是圆外?①点A(1,1)在_______；②点B(0,1)在_______；③点C(0,3)在_______. (2)方程x2+y2+(1-m)x+1=0表示圆，则m的取值范围是_______________；(3)已知圆x2+y2+2x-4y-a=0的半径为3，则a的值为________；【答案】(1)①圆上；②圆内；③圆外；(2)m<-1或m>3；(3)a=4.【解析】(1)①∵(1+1)2+(1-1)2=4，∴点A(1,1)在圆上；②∵(0+1)2+(1-1)2<4，∴点B(0,1)在圆内；③∵(0+1)2+(3-1)2>4，∴点C(0,3)在圆外.(2)由题可知，(1-m)2-4>0，解得m<-1或m>3；(3)由题可知，，解得a=4.【突破训练】(1)方程x2+y2+4kx-2y+5k=0表示圆，则k的取值范围是_______________；(2)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3,4)，点P的坐标为(5,8)，则点P的位置为_____________；(3)圆x2+y2+Dx+Ey-4=0圆心为(-1,2)，则圆的半径为___________.考点5圆的方程v【例6】写出下列各圆的方程(1)经过点P(5,1)，圆心在O(8,-3)的圆的方程为_________________________；(2)经过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为_________________________；(3)已知点P(1,-4)，Q(3,2)，以PQ为直径的圆的方程为_______________________；(4)半径是3，圆心在y轴上，且和直线y=4相切的圆的方程为_____________________；【答案】(1)(x-8)2+(y+3)2=25；(2)x2+y2-8x+6y=0；(3)(x-2)2+(y+1)2=5；(4)x2+(y+1)2=9或x2+(y-7)2=9.【解析】(1)设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2，将P(5,1)代入，得(5-8)2+(1+3)2=r2，解得r=5，所以圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25；(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)代入，得，解得，故圆的方程为x2+y2-8x+6y=0；(3)设圆心为O(a,b)，则a==2，b==-1，所以圆心为O(2,-1)，又因为|PQ|=，所以圆的半径为，所以，以PQ为直径的圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5； (4)设圆心坐标为(0,b)，则|b-4|=3，得b=7或b=-1，所以所求圆的方程为x2+(y+1)2=9或x2+(y-7)2=9.【突破训练】(1)过两点A(3,1)，B(-1,3)，且它的圆心在直线3x-2y-2=0上，求圆的方程；(2)圆心为(-1,2)，且过两直线x+2y+3=0与x-y-3=0的交点，求圆的标准方程；(3)以(1,3)为圆心，且与直线3x-4y-6=0的相切，求圆的标准方程；(4)与x轴相切于点(5,0)，并在y轴上截取的弦长为10，写出圆的标准方程.考点6直线与圆相交问题v【例7】(1)直线3x-4y+6=0与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系是______________；(2)圆(x-2)2+(y+2)2=2截直线x-y-5=0的弦长为____________；(3)直线x-y=2与圆(x-4)2+y2=4相交，则所得的弦中点坐标为___________；【答案】(1)直线与圆相交且过圆心；(2)；(3)(2,1).【解析】(1)圆心(2,3)在直线3x-4y+6=0上，所以直线与圆相交且过圆心；(2)圆心(2,-2)到直线x-y-5=0的距离d=，圆半径为，则所求弦长=2=；(3)联立，得x2-6x+8=0，设两交点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，弦中点坐标为(x0,y0)，则x1+x2=6，所以x0==3，则y0=x0-2=1，即弦中点坐标为(2,1)；【突破训练】(1)直线y-2x+4=0与圆x2+y2-4x+2y+2=0的位置关系是______________；(2)过圆点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为__________；(3)若点P(2,-1)为圆C：(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为___________； 考点7直线与圆相切问题v【例8】(1)直线3x+4y+k=0与圆(x-3)2+y2=4相切，则k的值为____________；(2)已知圆O为坐标原点，点M在x轴正半轴上，若直线MA与圆x2+y2=2相切于点A，且|AO|=|AM|，则点M的横坐标为___________.(3)过圆(x+1)2+(y-3)2=5上一点P(0,1)的切线方程为____________；(4)过圆外一点M(2,3)作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线，则切线方程为__________；【答案】(1)k=1或-19；(2)M(2,0)；(3)x-2y+2=0；(4)3x-4y+6=0或x-2=0.【解析】(1)由题可知，圆心(3,0)到直线3x+4y+k=0的距离d=，解得k=1或-19；(2)圆x2+y2=2是以原点为圆心，以为半径的圆，如图所示：因为AM与圆O相切于点A，所以AO⊥AM，|AO|=，又因为|AO|=|AM|，所以MO=|AO|=2，所以M(2,0)；(3)圆(x+1)2+(y-3)2=5的圆心为C(-1,3)，则kCP=，所以所求切线斜率为，得切线方程为y-1=(x-0)，即x-2y+2=0；(4)化圆方程为x2+y2-2x-2y+1=0，得圆心坐标C(1,1)，①当切线斜率存在时，设切线方程为y-3=k(x-2)，整理得kx-y+3-2k=0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得：k=，所以切线方程为y-3=(x-2)，即3x-4y+6=0②当斜率不存在时，切线为x=2，满足题意故答案为：3x-4y+6=0或x-2=0.【突破训练】(1)经过点P(1,2)与圆x2+y2=5相切的直线方程为________________；(2)与直线2x+y-1=0平行，且与圆(x-2)2+(y+1)2=5相切的直线方程是__________;考点8直线与圆相离问题 v【例9】圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为___________.【答案】4.【解析】圆心(0,0)到直线3x+4y+25=0的距离d=，圆半径r=1，所以圆上点到直线距离的最小值为d-r=5-1=4.【突破训练】圆x2+y2-2y=3上的点到直线x-y-5=0的距离的最大值为____________.考点9求动点轨迹方程v【例10】(1)动点M到y轴的距离等于它到F(5,0)的距离相等，则点M的轨迹方程为_____________；(2)到定点F(2,2)的距离等于它到直线x+y=1的距离的点的轨迹为_______________.【答案】(1)；(2)(x-2)2+(y-2)2=.【解析】(1)设动点M的坐标为(x,y)，由题可得，化简得；(2)设动点的坐标为(x,y)，由题可得，化简得(x-2)2+(y-2)2=.【突破训练】与两定点A(-3,1),B(5,-3)等距离的点轨迹为______________________.模拟演练一、是非选择题(对的选“A”，错的选“B”)1.点A(12，10)，B(3，1)，C(7,6)在一条直线上……………………………………………………………（AB）2.直线与直线平行…………………………………………………………（AB）3.直线被圆所截的弦长等于…………………………………………（AB）4.直线3x-4y－9=0与5x+3y+14=0的交点坐标是(1，3)………………………………………………（AB） 5.方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆，则m<2……………………………………………………………（AB）二、选择题6.圆的圆心M，半径分别是（）A.B.C.D.7.过点(2，-1)和点(a，2)的直线方程为（）A.B.C.或D.8.过点P(2，-3)且与直线平行的直线方程为（）A.B.C.D.9.如果圆关于直线对称，则（）A.D=2EB.E=2DC.E+2D=0D.D=E10.若为圆弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.B.C.D.三、填空题11.若直线l的倾斜角为，在x轴上的截距为-2，则直线l的方程为_________________.12.过点引圆的切线，则切线方程为_________________.13.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是_________________.14.已知点，直线的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则直线的斜率为____________.15.已知过点P(6,-4)的直线被圆x2+y2=20截得弦长为，则此直线的方程为_________________.四、解答题16.若直线x-2y-2k=0与两个坐标轴围成的三角形面积不大于l，试求实数k的取值范围.17.已知：两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合. 18.已知：直线l1：y=12x+b和l2：y=12x+b+8关于点(4,6)对称，求b的值.19.已知直线x+2y-3=0交圆x2+y2+x-6y+F=0于点P、Q，O为原点，问F为何值时OP⊥OQ.20.已知圆C：x2+y2-2y-4=0，直线l：mx-y+1-m=0.(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|=32，求直线l的方程.