人教版八年级数学上册 第十五章　分式 单元测试卷（2024年秋）

人教版八年级数学上册第十五章　分式单元测试卷（2024年秋）一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列分式中，是最简分式的是(　　)　A.xy2x2B.x－1x2－1C.x＋yxD.1－xx－12.[母题教材P145练习T1]在标准状态下气体分子间的平均距离为0.00033m，将0.00033用科学记数法应表示为(　　)　A.3.3×10－4B.33×10－3C.3.3×10－3D.33×10－43.如果把分式3yx＋y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值(　　)　A.不变B.扩大2倍C.扩大4倍D.缩小2倍4.[2024成都武侯区模拟]已知x＝1是分式方程2ax+3a－x＝34的解，则a的值为(　　)　A.－1B.1C.3D.－35.[2023唐山一模]若□x＋y÷xy2－x2运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是(　　)　A.y－xB.y＋xC.2xD.1x6.化简(x－1＋y－1)(x＋y)－1的结果是(　　)　A.xyB.1xyC.1x2y2D.1x2＋y27.[新趋势跨学科]相机成像的原理公式为1f＝1u＋1v(u≠f，v≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.下列用f，u表示v正确的是(　　)　A.v＝u－ffuB.v＝fuf－uC.v＝f－ufuD.v＝fuu－f8.如图，下面的计算过程中，开始出现错误的一步是(　　)8 　A.①B.②C.③D.④9.[2024德阳旌阳区二模]若5x－7x2－4x－5＝Ax+1＋Bx－5，则A，B的值为(　　)A.A＝3，B＝－2B.A＝2，B＝3C.A＝3，B＝2D.A＝－2，B＝310.[2024东莞期末]设p＝aa+1－bb+1，q＝1a+1－1b+1，则p，q的关系是(　　)A.p＝qB.p＞qC.p＋q＝0D.p＜q二、填空题(每小题3分，共15分)11.计算：2－1＋(π－1)0＝　　　　.12.[母题教材P134习题T13]若分式a2－4a+2的值为零，则a的值是　　　　.13.A，B两地相距120km，甲骑摩托车，乙驾驶小汽车，同时从A地出发去B地.已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍，乙中途休息了0.5h还比甲早到0.4h，则小汽车的速度为　　　　km/h.14.[2024常德期末]若关于x的分式方程2xx－1－1＝mx－1无解，则m＝　　　　.15.[新视角规律探索题]如图，将形状大小完全相同的“〇”按照一定的规律摆放，记图①中的“〇”的个数为a1，图②中的“〇”的个数为a2，图③中的“〇”的个数为a3，…，以此类推，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an的值是　　　　(n为正整数).8 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)[母题教材P152练习]解方程：(1)4－xx－3＋13－x＝1；　　　　　　(2)x+1x－1－6x2－1＝1.17.(9分)先化简，再求值：a2－9a2+6a+9÷1－3a，其中a＝2.18.(9分)[2023长春]随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？19.(9分)(1)化简：a－1a÷a2－2a+1a2.(2)把(1)中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当a＞1时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由.20.(9分)已知关于x的方程xx－3－2＝k3－x.8 (1)当k＝3时，求x的值；(2)若原方程的解是正数.求k的取值范围.21.(9分)[情境题游戏活动]小明和小强一起做分式的游戏，如图所示.他们面前各有三张牌(互相可以看到对方的牌)，两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜.为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数.(1)小明组成的分式中值最大的分式是　　　　，小强组成的分式中值最大的分式是　　　　；(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明.22.(11分)[2024鄂州华容区期末]阅读下面材料，解答下面的问题.解方程：x－1x－4xx－1＝0.解：设y＝x－1x，则原方程化为y－4y＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－4y＝0的解.当y＝2时，x－1x＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，x－1x＝－2，解得x＝13.经检验，x1＝－1，x2＝13都是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x1＝－1，x2＝13.8 上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：(1)若在方程x－14x－xx－1＝0中，设y＝x－1x，则原方程可化为　　　　；(2)若在方程x－1x+1－4x+4x－1＝0中，设y＝x－1x+1，则原方程可化为　　　　；(3)仿照上述方法解方程：x－1x＋2－3x－1－1＝0.23.(11分)“五一”劳动节期间，某公司计划购买A，B两种型号的保温杯发给公司员工，已知每个A型保温杯的售价比B型保温杯的售价少10元，用1200元购买A型保温杯的个数是用1000元购买B型保温杯个数的32.请解答下列问题：(1)A，B两种型号的保温杯每个进价各是多少元？(2)若该公司购买B型保温杯比A型保温杯的个数少9个，且A型保温杯不少于38个，购买A，B两种型号保温杯的总费用不超过3150元，请你求出该公司有哪几种购买方案.(3)为奖励公司的模范工作者，公司准备购买甲、乙两种奖品(两种奖品都要购买)，所花费的金额与(2)中最少的费用相同，已知甲种奖品每个270元，乙种奖品每个240元，求出购买甲、乙两种奖品的个数.8 答案一、1.C　2.A　3.A　4.D　5.C　6.B　7.D　8.B　9.B　10.C二、11.32　12.2　13.80　14.2　15.nn+1三、16.【解】（1）去分母，得4－x－1＝x－3.解得x＝3.检验：当x＝3时，x－3＝0，∴x＝3不是原分式方程的解.∴原分式方程无解.（2）去分母，得（x＋1）2－6＝x2－1.解得x＝2.检验：当x＝2时，（x＋1）（x－1）≠0，∴原分式方程的解为x＝2.17.【解】a2－9a2+6a+9÷1－3a＝（a+3)(a－3）（a+3）2÷a－3a＝a－3a+3·aa－3＝aa+3，当a＝2时，原式＝22+3＝25.18.【解】设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得3000x－30001.5x＝5，解得x＝200.经检验，x＝200是原分式方程的根，且符合题意.答：原计划平均每天制作200个摆件.19.【解】（1）a－1a÷a2－2a+1a2＝a－1a·a2（a－1）2＝aa－1.（2）当a＞1时，B的值与A的值相比变小了.理由如下：B－A＝a+1a－aa－1＝a2－1－a2a（a－1）＝－1a（a－1）.当a＞1时，a（a－1）＞0，∴－1a（a－1）＜0.∴B＜A.8 ∴当a＞1时，B的值与A的值相比变小了.20.【解】（1）当k＝3时，方程为xx－3－2＝33－x，两边同乘以（x－3），得x－2（x－3）＝－3，解得x＝9.经检验，x＝9是原分式方程的解.∴x的值为9.（2）xx－3－2＝k3－x，两边同乘以（x－3），得x－2（x－3）＝－k，解得x＝6＋k.∵原方程的解是正数，∴6＋k＞0.∴k＞－6.∵x≠3，∴6＋k≠3.∴k≠－3.∴k＞－6且k≠－3.21.【解】（1）x+3x+1；x－1x－3（2）小强说的有道理，理由如下：x－1x－3－x+3x+1＝（x－1)(x+1）（x－3)(x+1）－（x+3)(x－3）（x+1)(x－3）＝8（x+1)(x－3）.当x是大于3的正整数时，（x＋1）（x－3）＞0，∴8（x+1)(x－3）＞0.∴x－1x－3＞x+3x+1.故小强说的有道理.22.【解】（1）y4－1y＝0（2）y－4y＝0（3）原方程可化为x－1x+2－x+2x－1＝0，设y＝x－1x+2，则上式化为y－1y＝0，方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1.经检验，y＝±1都是方程y－1y＝0的解.当y＝1时，x－1x+2＝1，该方程无解；当y＝－1时，x－1x+2＝－1，解得x＝－12.经检验，x＝－12是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x＝－12.8 23.【解】（1）设每个A型保温杯的进价是x元，则每个B型保温杯的进价是（x＋10）元，根据题意，得1200x＝1000x+10×32，解得x＝40.经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴x＋10＝40＋10＝50.答：每个A型保温杯的进价是40元，每个B型保温杯的进价是50元.（2）设购买y个A型保温杯，则购买（y－9）个B型保温杯，根据题意，得y≥38，40y+50（y－9）≤3150，解得38≤y≤40.∵y为正整数，∴y可以为38，39，40.∴该公司共有3种购买方案如下：方案1：购买38个A型保温杯，29个B型保温杯；方案2：购买39个A型保温杯，30个B型保温杯；方案3：购买40个A型保温杯，31个B型保温杯.（3）易知（2）中选择购买方案1所需费用最少，最少为40×38＋50×29＝2970（元）.设购买m个甲种奖品，n个乙种奖品，根据题意，得270m＋240n＝2970，∴m＝11－89n.∵m，n均为正整数，∴m=3，n=9.∴购买3个甲种奖品，9个乙种奖品.8