九年级数学上册 第二十二章　二次函数 单元测试卷（人教版 2024年秋）

九年级数学上册第二十二章　二次函数单元测试卷（人教版2024年秋）一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1.（2023上海嘉定区一模)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是(　　)A．y＝(a＋2)x2＋1B．y＝＋1C．y＝(x＋2)(x＋1)－x2D．y＝2x2＋3x2．已知二次函数y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是(　　)A．图象的开口向上B．图象与x轴没有交点C．图象的顶点坐标为(2，1)D．当x>1时，y随x的增大而增大3．若二次函数y＝2(x－1)2的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　)A．P点B．Q点C．M点D．N点(第3题)　　　　　4.（2023大连)已知二次函数y＝x2－2x－1，当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　)A．－2B．－1C．0D．25.（2023武汉月考)将抛物线y＝(x－2)2－4向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝(x－3)2－7，则a，b的值是(　　)A．1，－3B．1，2C．1，3D．－2，－36．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c>n的解集为(　　)A．x>－1B．x<3C．x<－1或x>3D．－1<x<3(第6题)　　　　　(第7题)12 7.在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋x＋1的一部分(如图所示，水平地面为x轴，单位：m)，则下列说法不正确的是(　　)A．出球点A离点O的距离是1mB．羽毛球横向飞出的最远距离是3mC．羽毛球最高达到mD．当羽毛球横向飞出m时，可到达最高点8.（2024苏州月考)抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ax＋k一定经过(　　)A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限9．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)．有下列结论：①abc＞0；②若点(－2，y1)和(－0.5，y2)均在抛物线上，则y1＜y2；③5a－b＋c＝0；④4a＋c＞0.其中正确的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)10．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数y＝(4a＋2)x2＋(9－6a)x－4a＋4(a为常数)的图象与x轴的交点有整点，则这样的整数a有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11.（2024荣德原创)若原点是抛物线y＝ax2＋(a－2)x12 的顶点，则抛物线的开口向________．12．已知二次函数y＝3(x＋1)2－m的图象上有三点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为__________．13．二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为(－1，2)，那么它的解析式为________．(第14题)　　　　(第16题)14．如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝________m时，羊圈的面积最大．15．已知抛物线y＝x2＋kx－1经过(－2，n)和(4，n)两点，P为x轴上方抛物线上一点．(1)k＝________；(2)若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的纵坐标为________．16.“水门礼”仪式因两辆或两辆以上的消防车在飞机两侧喷射水雾时，会出现一个“水门”状的效果而得名．这一项仪式极具象征意义，寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪．在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面________米．三、解答题(本题有7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)17．(8分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.(1)求a的值；(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．12 18．(8分)如图，抛物线y＝(x＋1)2＋k与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的对称轴及k值；(2)求点A和点B的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得PB＋PC的值最小，求点P的坐标．19．(8分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2＋4mx－5m.(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；(2)当m＞0时，过A(0，2)点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C，D两点(点C在点D左侧)，C，D横坐标分别为x1，x2，且x2－x1＝8，求抛物线的解析式．20．(10分)（2024扬州月考)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，12 B(4，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；(2)求△BCP的面积．21．(10分)（2023温州)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？22．(10分)苹果园有苹果树60棵，现准备多种一些苹果树提高苹果产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵苹果树时，果园内的每棵苹果树平均产量为75kg.在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x(x12 ＞0且x为整数)棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系为一次函数，且满足如图所示的图象．(1)图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少________kg；(2)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大总产量是多少？23．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK＋PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．12 答案一、1.D　2.D　3.B　4.D　5.A　6.C　7.B　8.D9.C　点拨：由图象可得a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确，符合题意；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，∴该函数图象的对称轴为直线x＝＝－1，∴x＝－0.5和x＝－1.5对应的函数值相等，当x＜－1时，y随x的增大而增大，∴若点(－2，y1)和(－0.5，y2)均在抛物线上，则y1＜y2，故②正确，符合题意；∵对称轴是直线x＝－1，∴－＝－1，∴b＝2a.∵点(1，0)在该函数图象上，∴a＋b＋c＝0，∴a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0，∴5a－b＋c＝5a－2a＋c＝3a＋c＝0，故③正确，符合题意；∵a＋b＋c＝0，a＜0，∴2a＋b＋c＜0，∴2a＋2a＋c＜0，即4a＋c＜0，故④错误，不符合题意；故选C.10．C　二、11.上　12.y3<y1<y213．y＝6(x＋1)2＋2或y＝－10(x＋1)2＋214．1515．(1)－2　(2)2点思路：由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－2x－1.设P(m，m2－2m－1)，分别把点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离表示出来，列出方程分情况求解即可．16．19　点拨：由题意可知A(－40，4)，B(40，4)，H(0，20)，设抛物线的解析式为y＝ax2＋20，将A(－40，4)的坐标代入解析式，得4＝1600a＋20，解得a＝－，∴y＝－x2＋20.∵消防车同时后退10米，12 ∴抛物线y＝－x2＋20向左平移后的抛物线解析式为y＝－(x＋10)2＋20.令x＝0，则y＝19，即此时两条水柱相遇点H′距地面19米．三、17.解：(1)由二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)知，图象与x轴的交点坐标是(1，0)和(a，0)．∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，解得a＝3.(2)由(1)知a＝3，则该二次函数的解析式是y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3.∵平移后的图象经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的解析式是y＝x2－4x.18．解：(1)抛物线y＝(x＋1)2＋k的对称轴为直线x＝－1，把C(0，－3)的坐标代入y＝(x＋1)2＋k，得－3＝1＋k，解得k＝－4.(2)对于y＝(x＋1)2－4，令y＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得x1＝1，x2＝－3.∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(1，0)．(3)连接AC，交对称轴于点P，连接PB，如图，易知此时PB＋PC的值最小．设直线AC的解析式为y＝mx＋b，把A(－3，0)，C(0，－3)的坐标代入y＝mx＋b，得解得∴直线AC的解析式为y＝－x－3，12 当x＝－1时，y＝1－3＝－2，∴P点的坐标为(－1，－2)．19．解：(1)令y＝0，得mx2＋4mx－5m＝0，∴m(x2＋4x－5)＝0，∵m为二次函数的二次项系数，∴m≠0，∴x2＋4x－5＝0，∴x＝－5或x＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－5，0)和(1，0)，∴抛物线与x轴两交点间的距离为1－(－5)＝6.(2)∵直线l过点(0，2)且平行于x轴，∴直线l的解析式为y＝2，在y＝mx2＋4mx－5m中令y＝2，得2＝mx2＋4mx－5m，∴mx2＋4mx－5m－2＝0，∴x1＋x2＝－4，x1x2＝－5－，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16＋20＋，∵x2－x1＝8，∴(x1－x2)2＝64，∴36＋＝64，∴m＝，∴y＝x2＋x－.20．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－3x－4.顶点P的坐标为；(2)如图，连接OP，由y＝x2－3x－4可知C的坐标为(0，－4)．12 又∵B(4，0)，P，∴S△OPC＝×4×＝3，S△BOP＝×4×＝，S△BOC＝×4×4＝8，∴S△BPC＝S△OPC＋S△BOP－S△BOC＝3＋－8＝.21．解：(1)易知抛物线的顶点坐标为(2，3)．∴设抛物线的函数解析式为y＝a(x－2)2＋3，把点A(8，0)的坐标代入，得36a＋3＝0，解得a＝－，∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－2)2＋3.当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44，∴球不能射进球门．(2)设小明带球向正后方移动mm，则移动后的抛物线的解析式为y＝－(x－2－m)2＋3，把点(0，2.25)的坐标代入，得2.25＝－×(0－2－m)2＋3，解得m＝－5(舍去)或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．22．解：(1)增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg；(2)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b.把分别代入上式，得解得12 ∴y与x之间的函数解析式为y＝－x＋80，自变量x的取值范围是0<x≤80，且x为整数．(3)w＝(60＋x)＝－x2＋50x＋4800.∵－<0，∴当x＝－＝50时，w最大值＝6050.答：当增种果树50棵时，果园的总产量w(kg)最大，最大总产量是6050kg.23．解：(1)根据题意得解得∴该抛物线的函数解析式为y＝x2－x－2.(2)∵A(0，－2)，B(4，0)，∴直线AB的解析式为y＝x－2，设P(0＜m＜4)，则K，∴PK＋PD＝(m－m2＋m)＋＝－m2＋m＋2＝－(m－)2＋，∵－＜0，∴当m＝时，PK＋PD有最大值，此时P.12 (3)存在．如图，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，连接AM1，BM2，易知抛物线的对称轴为直线x＝1.设M1(1，n)，则AM12＝n2＋4n＋5，BM12＝n2＋9，由AB2＋BM12＝AM12，可得22＋42＋n2＋9＝n2＋4n＋5，解得n＝6，∴M1(1，6)，∴直线BM1的解析式为y＝－2x＋8.∵AM2⊥AB，BM1⊥AB，∴AM2∥BM1，又∵AM2经过A(0，－2)，∴直线AM2的解析式为y＝－2x－2，∴当x＝1时，y＝－2×1－2＝－4，∴M2(1，－4)，综上所述，M的坐标为(1，6)或(1，－4)．12