人教版九年级数学上册 第二十二章　二次函数 单元测试卷（2024年秋）

人教版九年级数学上册第二十二章　二次函数单元测试卷（2024年秋）一、选择题(每题3分，共30分)1．下列关于x的函数一定为二次函数的是(　　)A．y＝2x＋1B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝－5x2－3D．y＝x3＋x＋12．把二次函数y＝2x2－8x＋3用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式时，应为(　　)A．y＝2(x－2)2＋5B．y＝2(x－2)2－1C．y＝2(x－2)2－5D．y＝2(x－2)2＋73．[2023丽水]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，则球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　)A．5B．10C．1D．24．抛物线y＝2x2－4x＋c经过三点(－4，y1)，(－2，y2)，，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y25．已知二次函数y＝x2－4x＋2，当－1≤x≤1时，y的最小值为(　　)A．－3B．－2C．－1D．76．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝－x2＋2x－1经过平移可以与抛物线y＝－x2互相重合，那么这个平移是(　　)A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位19 7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是(　　)8．如图，九(1)班同学准备用8m长的围栏，在本班劳动实践基地内围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，他们能围出的最大面积是(　　)A．4m2B．(10－10)m2C．8m2D．(20－20)m219 (第8题)(第9题)(第10题)19 9．[2023眉山]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，下列四个结论：①abc＜0；②4a－2b＋c＜0；③3a＋c＝0；④当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0．其中正确结论的个数为(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个10．[2023南通]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A－C－B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图②所示，则a－b的值为(　　)A．54B．52C．50D．48二、填空题(每题3分，共18分)11．[2023哈尔滨]抛物线y＝－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是________．12．二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________．13．已知二次函数y＝x2－(m＋1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．14．如图是某公园一座抛物线形拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y＝－x2，在正常水位时水面宽AB＝30m，当水位上升5m时，则水面宽CD＝________m．19 (第14题)(第15题)　19 (第16题)15．[2023娄底]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝________．16．[2023成都]在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋4(0≤x≤8)如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”(即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差)，L为a到b时x的值的“极宽”(即b与a的差值)，则当L＝7时，W的取值范围是________．三、解答题(共72分)17．(6分)已知函数y＝m(m＋2)x2＋mx＋m＋1．(1)当m为何值时，此函数是一次函数？19 (2)当m为何值时，此函数是二次函数？18．(8分)已知抛物线y＝－x2＋4x＋5．(1)用配方法将y＝－x2＋4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．19．(10分)[2024广州期中]如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交点为D，求S△BCD．19 20．(10分)[2023兰州]一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．(1)求y关于x的函数解析式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB．19 21．(12分)[2023鞍山]网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数解析式．(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？19 22．(12分)[2023乐山节选]已知(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线C1：y＝－x2＋bx(b为常数)上的两点，当x1＋x2＝0时，总有y1＝y2．(1)求b的值；(2)将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝－(x－m)2＋1(m＞0)．当0≤x≤2时，若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围．19 23．(14分)[2023巴中]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)和B(0，3)，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN＋MN有最大值，并求出最大值；(3)若点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．19 答案一、1．C　2．C　3．D　4．B5．C【点拨】由题意得二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－＝2．∴当x＜2时，y随x的增大而减小．∵－1≤x≤1，∴当x＝1时，二次函数y＝x2－4x＋2有最小值，最小值为12－4×1＋2＝－1．6．C【点拨】由y＝－x2＋2x－1得y＝－(x－1)2．∵抛物线y＝－(x－1)2的顶点为(1，0)，抛物线y＝－x2的顶点为(0，0)，从(1，0)到(0，0)是向左平移了1个单位，∴抛物线y＝－x2＋2x－1向左平移1个单位得到抛物线y＝－x2．7．C【点拨】先确定一个基础函数图象，再根据这个基础函数图象确定待定系数的取值范围，然后再看求出的待定系数的取值范围是否满足另一个函数图象．8．C【点拨】设等腰三角形菜地的面积为Sm2．如图①，当底边靠墙时，过点A作AD⊥BC于点D．∵用8m长的围栏围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，∴腰长为8÷2＝4(m)．∴S＝×4×AD＝2AD．当AD和腰长相等时，此时为等腰直角三角形，S取得最大值，此时S＝8，即等腰三角形菜地的最大面积为8m2．19 　如图②，当一条腰靠墙时，过点B作BD⊥AC于点D，设AB＝AC＝xm，则BC＝(8－x)m，∴S＝<＝≤8．∴当一条腰靠墙时，围出的等腰三角形菜地的最大面积一定小于8m2．综上可得，能围出的最大面积是8m2．9．D【点拨】∵二次函数图象开口向上，且与y轴交于y轴负半轴，∴a＞0，c＜0．∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；19 ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为(－3，0)，∴当x＝－2时，y＜0，∴4a－2b＋c＜0，故②正确；∵当x＝1时，y＝0，∴a＋b＋c＝0．∵b＝2a，∴a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0，故③正确；由函数图象易知当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0，故④正确．10．B【点拨】∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB＝25．当x＝10时，点D在线段AC上，则AD＝10，∴CD＝15－10＝5．在Rt△CDB中，由勾股定理得BD2＝CD2＋BC2＝52＋202＝425．设AE＝z，则BE＝25－z，∴BE2＝(25－z)2＝z2－50z＋625．在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2＝AD2－AE2＝100－z2，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD2＝DE2＋BE2，即425＝100－z2＋z2－50z＋625，解得z＝6，∴DE＝8，BE＝19．∴a＝S△BDE＝×19×8＝76．当x＝25时，点D在线段BC上，则CD＝25－15＝10，∴BD＝20－10＝10．设BE＝q，则AE＝25－q，∴AE2＝(25－q)2＝625－50q＋q2．连接AD，在Rt△CDA中，由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝152＋102＝325．在Rt△BDE中，由勾股定理得DE2＝BD2－BE2＝100－q2．在Rt△DEA中，由勾股定理得AD2＝DE2＋AE2，即325＝100－q2＋625－50q＋q2，解得q＝8，∴BE＝8，DE＝6．∴b＝S△BDE＝×6×8＝24．∴a－b＝76－24＝52．二、11．(0，2)　12．113．m≤1【点拨】∵y＝x2－(m＋1)x＋1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－＝．∵当x>1时，y随x的增大而增大，∴≤1，解得m≤1．14．2015．4【点拨】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2．∵当x＝0时，y＝c，∴C(0，c)．∵CD∥x轴，∴C，D关于直线x＝2对称，∴19 D(4，c)．∴CD＝4－0＝4．16．4≤W≤【点拨】根据题意得y＝－x2＋x＋4＝－(x－3)2＋，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为．∵L＝7，即b与a的差值为7，∴b＝a＋7．∵0≤a＜b≤8，∴0≤a＜a＋7≤8．∴0≤a≤1．∴7≤a＋7≤8．∵－<0，∴当a≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤a＋7时，y随x的增大而减小．∴当x＝3时，y有最大值，最大值为；当x＝a＋7时，y有最小值，最小值为－(a＋4)2＋．∴W＝－[－(a＋4)2＋]＝(a＋4)2，则其对称轴为直线a＝－4．∴当0≤a≤1时，W随a的增大而增大．∴当a＝0时，W有最小值，最小值为4；当a＝1时，W有最大值，最大值为．综上所述，4≤W≤．三、17．【解】(1)∵函数y＝m(m＋2)x2＋mx＋m＋1是一次函数，∴m(m＋2)＝0且m≠0，解得m＝－2．(2)∵函数y＝m(m＋2)x2＋mx＋m＋1是二次函数，∴m(m＋2)≠0，∴m≠－2且m≠0．18．【解】(1)y＝－x2＋4x＋5＝－x2＋4x－4＋4＋5＝－(x－2)2＋9．(2)∵y＝－(x－2)2＋9，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，9)．19．【解】(1)∵抛物线的顶点为C(1，9)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋9．∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，∴a(4－1)2＋9＝0，解得a＝－1．∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋9＝－x2＋2x＋8．19 (2)过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形OBCE为梯形．∵抛物线与y轴交点为D，∴易得D(0，8)．∴OD＝8．∵B(4，0)，C(1，9)，∴CE＝1，OE＝9，OB＝4．∴DE＝OE－OD＝1．∴S△BCD＝S梯形OBCE－S△CED－S△OBD＝×(1＋4)×9－×1×1－×4×8＝6．20．【解】(1)由题意得抛物线的对称轴为直线x＝1，经过点(0，10)，(3，7)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则解得∴y关于x的函数解析式为y＝－x2＋2x＋10．(2)令y＝0，则－x2＋2x＋10＝0，解得x1＝1＋，x2＝1－(负值舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB为(1＋)m．21．【解】(1)设y与x的函数解析式为y＝kx＋b．将点(8，2200)和点(14，1600)的坐标代入，得解得∴y与x的函数解析式为y＝－100x＋3000．(2)设销售这种荔枝日获利w元，根据题意，得w＝(x－6－2)(－100x＋3000)＝－100x2＋3800x－24000＝－100(x－19)2＋12100．∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝19．∴当x<19时，y随x的增大而增大．∵销售价格不高于18元/kg，∴当x＝18时，w取得最大值，最大值为12000，即当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．22．【解】(1)由题意知y1＝－x12＋bx1，y2＝－x22＋bx2．19 ∵当x1＋x2＝0时，总有y1＝y2，∴当x1＋x2＝0时，－x12＋bx1＝－x22＋bx2，整理得(x1－x2)(x1＋x2－4b)＝0．∵x1≠x2，∴x1－x2≠0．∴x1＋x2－4b＝0．∴b＝0．(2)由(1)知抛物线C1的解析式为y＝－x2，将x＝0代入，得y＝0，将x＝2代入，得y＝－1．如图①，当抛物线C2过点(0，0)时，将点(0，0)的坐标代入y＝－(x－m)2＋1，得－m2＋1＝0，解得m＝2或m＝－2(舍去)．19 如图②，当抛物线C2过点(2，－1)时，将点(2，－1)的坐标代入y＝－(x－m)2＋1，得－(2－m)2＋1＝－1，解得m＝2＋2或m＝2－2(舍去)．综上所述，m的取值范围为2≤m≤2＋2．23．【解】(1)∵抛物线的顶点的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵抛物线经过点A(－1，0)，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)．将(－1，0)，(3，0)，(0，3)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．(2)由题意知0<m<3，易知点M(m，－m2＋2m＋3)，点N(m，0)，则MN＝－m2＋2m＋3，AN＝m＋1，∴AN＋MN＝m＋1＋(－m2＋2m＋3)＝－m2＋3m＋4＝－＋．∵－1＜0，且0＜m＜3，19 ∴当m＝时，AN＋MN有最大值，最大值为．(3)能构成．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴该抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y＝－x2＋4．将x＝代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－＋2×＋3＝，∴点M的坐标为．假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点Q的坐标为(n，－n2＋4)．∵点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴上一动点，∴点P的横坐标为1．①当AM为对角线时，则对角线AM，PQ互相平分，∴＝，解得n＝－，∴点Q的坐标为；②当AP为对角线时，则对角线AP，MQ互相平分，∴＝，解得n＝－，∴点Q的坐标为；③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，∴＝，解得n＝，∴点Q的坐标为．综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为或或．19