九年级数学上册 第二十五章　图形的相似 单元测试卷（冀教版 2024年秋）

九年级数学上册第二十五章　图形的相似单元测试卷（冀教版2024年秋）一、选择题(每题3分，共36分)1．(母题：教材P64大家谈谈)下列长度的各组线段成比例的是(　　)A．4cm，2cm，1cm，3cmB．1cm，2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．1cm，2cm，2cm，4cm2．如图，可以判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(　　)A．∠A＝∠A′B．＝且∠A＝∠C′C．＝且∠A＝∠A′D．以上条件都不对3．[2024·石家庄第二十七中学期中]两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足＝，则称点P是线段AB的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是(　　)A．12－4B．4＋4C．4－4D．24．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩短后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)5．(母题：教材P81习题T3)如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是(　　)18 6．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的(　　)A．B．C．D．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是(　　)A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCD位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似8．如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，则该古城墙的高度是(　　)A．6米B．8米C．18米D．24米18 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)A．2B．2.4C．2.5D．2.2510．(母题：教材P102复习题C组T1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC等于(　　)A．9∶4B．9∶2C．3∶4D．3∶211．如图，在△ABC中，点D,E分别是边AC,AB的中点，BD与CE相交于点O,连接DE.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(　　)A．1B．2C．12－6D．6－6二、填空题(每题3分，共12分)13．[2023·甘孜州]若＝2，则＝________.18 14．[2022·嘉兴]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为________．15．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则ADAC的值为________．16．[2023·呼和浩特]如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝________，MH＝________.三、解答题(第17～22题每题10分，第23题12分，共72分)17．(母题：教材P94例)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．18．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．(1)求证：△ABC∽△ACD．(2)若AD＝2，AB＝5，求AC的长．18 19．[2024·沧州泊头市期中]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B，C三点的坐标分别是A(－1，0)，B(0，3)，C(－2，2)．(1)以点O为位似中心，在网格第四象限中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2；(2)A1的坐标是________，C1的坐标是________；(3)△ABC与△A1B1C1对应高的比为________．20．[2024·石家庄第四十一中月考]如图，在平面直角坐标系中，点C(－3，0)，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足＋＝0.18 (1)求点A、点B的坐标；(2)若点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段CB由C向B运动(到达点B处停止)，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，要从一块直角三角形的白铁皮余料上截出一块矩形EFHD白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2∶1，且较长边在BC上，点H，F分别在AB，AC上，则所截矩形的长和宽各是多少厘米？18 22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果点E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？18 23．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，S1＋S2＝S3是否成立？请说明理由．18 答案一、1．D　2．C　3．A　4．A　5．D6．C【点拨】∵△ABC被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，∴AE＝EF＝BF，EH∥FG∥BC．∴EH∶FG∶BC＝1∶2∶3.设EH＝a，△AEH的高为h，则FG＝2a，△AFG的高为2h，BC＝3a，△ABC的高为3h，∴图中阴影部分的面积S＝S△AGF－S△AEH＝×2a×2h－×a×h＝ah，S△ABC＝×3a×3h＝ah.∴＝＝，即图中阴影部分的面积是△ABC面积的.7．B8．B【点拨】由题意知∠APB＝∠CPD．又∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°.∴Rt△ABP∽Rt△CDP.∴＝.∵AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，∴CD＝＝＝8(米)．故选B．9．B【点拨】由矩形ABCD的性质得AD∥BC，∠A＝90°，AD＝BC＝3，∴∠AEB＝∠CBF.∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°＝∠A．∴△ABE∽△FCB．∴＝.∵E是AD的中点，∴AE＝AD＝1.5.∴在Rt△ABE中，BE＝＝2.5.∴＝，解得FC＝2.4.10．D【点拨】易证△ACD∽△CBD，18 ∴＝.∵CD⊥AB，∴＝＝＝.∴＝.11．B【点拨】∵点D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC且＝.故②正确．∵DE∥BC，∴△ODE∽△OBC．∴＝＝＝.∴＝＝.故①，③错误．∵＝＝，∴＝.故④正确．故选B．12．D【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD∶AB＝AG∶AC．又∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC．∴∠ADG＝∠B．∴DG∥BC．又∵AM⊥BC，∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，GF＝DG＝6.∴FH⊥BC．18 ∵AB＝AC＝18，BC＝12，AM⊥BC，∴BM＝BC＝6.∴在Rt△ABM中，AM＝＝12.∵△ADG∽△ABC，∴＝，即＝.∴AN＝6.∴MN＝AM－AN＝6.易得四边形NGHM是矩形，∴GH＝MN＝6.∴FH＝GH－GF＝6－6.故选D．二、13．114．cm【点拨】由题意得DE＝1cm，BC＝3cm.在Rt△ABC中，∠A＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB．在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋32＝4AB2.∴AB＝cm.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴＝，即＝.∴BD＝cm.15．【点拨】∵BC＝AB＝3BD，∴＝＝.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA．∴＝＝.∴AD∶AC＝.16．2；【点拨】∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∴∠BAD＝∠CDA＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC＝CD＝2，AB∥CD，AD∥BC．18 ∵点E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝.∵BF⊥AH，∴∠AHF＝90°＝∠BAD．∴∠DAE＝90°－∠AFH＝∠ABF.∴△AFB≌△DEA．∴AF＝DE＝.∴在Rt△ABF中，BF＝＝5.∵S△ABF＝AB·AF＝BF·AH，∴2×＝5AH.∴AH＝2.∵AB∥CD，AD∥BC，∴△AGF∽△CGB，△AMB∽△CME.∴＝＝，＝＝2.在Rt△ABC中，AC＝＝2，∴AG＝AC＝，AM＝AC＝.∴GH＝＝.如图，过点M作MN⊥AE，交AE于点N，则GH∥MN，18 ∴△AHG∽△ANM.∴＝＝＝.∴AN＝2AH＝4，MN＝2GH＝.∴HN＝AN－AH＝2.∴在Rt△HNM中，MH＝＝.三、17．【解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°，x∶7＝12∶6，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°，x＝14.18．(1)【证明】∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD．(2)【解】由(1)知△ABC∽△ACD，∴＝.∵AD＝2，AB＝5，∴＝.∴AC＝(负值已舍去)．19．【解】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)(2，0)；(4，－4)(3)1218 20．【解】(1)∵＋＝0，∴OB2－3＝0，OA－1＝0.∴OB＝，OA＝1.∵点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A(1，0)，B(0，)．(2)∵C(－3，0)，∴OC＝3.∴AC＝4，BC＝＝2.∵OA＝1，OB＝，∠AOB＝90°，∴AB＝＝2.∴AB2＋BC2＝22＋(2)2＝16＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.由题意，得CP＝t，则BP＝2－t，∴S＝BP·AB＝×(2－t)×2＝2－t(0≤t≤2)．(3)存在点P使以A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似．P(－3，0)或P.【点拨】由(2)可知∠ABC＝90°＝∠AOB．①当△AOB∽△ABP时，则＝，即＝，∴BP＝2＝BC．∴点P与点C重合，即P(－3，0)．②当△AOB∽△PBA时，则＝，即＝，∴BP＝.∴2－t＝，解得t＝.∴CP＝.如图，过点P作PE⊥x轴，则PE∥OB，18 ∴△CEP∽△COB．∴＝＝，即＝＝.∴CE＝2，PE＝.∴OE＝OC－CE＝1.∴P.综上，P(－3，0)或P.21．【解】如图，过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N，则∠BNA＝90°.18 ∵∠BAC＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，∴∠BNA＝∠BAC，BC＝＝20cm.又∵∠B＝∠B，∴△ABN∽△CBA．∴＝.∴AN＝＝cm.∵四边形EFHD是矩形，∴HF∥ED．∴AM⊥HF，△AHF∽△ABC，∴＝.设EF＝xcm，则易得MN＝xcm，∴AM＝cm.由截出的矩形的长与宽的比为2∶1，可知HF＝2xcm，∴＝，解得x＝.∴2x＝.故所截矩形的长为cm，宽为cm.22．【解】(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，∴CE＝12－2t.∵△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，18 ∴CE＝CF.∴12－2t＝4t，解得t＝2.∴当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝24，∠ECF＝∠ADC＝90°.根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则＝，∴＝，解得t＝3，即当t＝3时，△EFC∽△ACD；②若△FEC∽△ACD，则＝，∴＝，解得t＝1.2，即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD．综上，当t为3或1.2时，以E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．23．(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF.(2)【证明】∵四边形AEHG是正方形，∴∠AEH＝90°.∴∠QEC＋∠AED＝90°.又∵∠AED＋∠EAD＝90°，∴∠QEC＝∠EAD．∵∠C＝∠ADE＝90°，∴△ECQ∽△ADE.∴＝.∵E是CD的中点，CD＝AD，∴EC＝DE＝AD．∴＝.∴＝.∵DE＝CF，∴＝＝，18 即Q是CF的中点．(3)【解】S1＋S2＝S3成立．理由：∵△ECQ∽△ADE，∴＝.∵DE＝CE，∴＝.∵∠C＝∠AEQ＝90°，∴△ECQ∽△AEQ.∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE.∴＝，＝.∴＋＝＋＝.在Rt△AEQ中，由勾股定理得EQ2＋AE2＝AQ2，∴＋＝1，即S1＋S2＝S3.18