2024年新八年级数学开学摸底考试卷02（人教版）

新八年级开学摸底考试卷（全国通用，人教版）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：七年级下整册+八年级上册第一章4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在实数0，13，1，−2中，最小的数是（    ）A．0B．1C．13D．−22．点P1,−2023处在平面直角坐标系的象限是（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．则∠1的度数为（    ）A．50°B．60°C．70°D．80°4．若某三角形的三边长分别为5，12，x，则x可以是（）A．5B．7C．13D．175．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）A．16B．18C．20D．226．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是  （    ）23 A．对重庆市居民日平均用水量的调查B．对一批LED节能灯使用寿命的调查C．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查D．对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查7．已知x=2y=1是方程2x−ay=3的一个解，那么a的值是（）A．1B．3C．−3D．−18．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为−1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为（    ）A．3−1B．3+1C．−3+1D．39．请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（   ）A．4x+y=6004x−y=1000B．4(x+y)=6004(x−y)=1000C．4x+y=10004x−y=600D．4(x+y)=10004(x−y)=60010．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（　　）A．90°B．180°C．120°D．270°11．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a∗b=ab−2a．例如，2∗4=2×4−2×2=4，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组3∗x<6x∗3≥m有3个整数解，则m的取值范围是（     ）A．0<m<1B．0<m≤1C．0≤m<1D．0≤m≤112．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠A=∠ABC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠A=∠D；④2∠BEC−∠A=180°，其中所有正确结论的序号是（   ）23 A．①②B．③④C．①②④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．比较大小：23．14．如图，运动会上，小刚以直线AB为起跳线，两脚后端落在点P处，测得PA=5.6m，PB=5.15m，则小刚的真实成绩为m．15．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB＝3，EF＝5，则AC＝．16．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是边形．17．如图a是长方形纸带，∠DEF=27°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．18．如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：|3−2|+(5+1)(5−1)．23 20．解下列方程组：2x+5y=254x+3y=15．21．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，完成下列问题：(1)请写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出三角形ABC的面积；(3)若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．22．某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如图两幅不完整的统计图，请你根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查活动的样本容量是　　．（2）图2中E的圆心角度数为　　度，并补全图1的频数分布直方图．（3）该校有800名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于70min的人数．23．如图，AD平分∠BAC，∠CAD=∠CDA．23 (1)求证：AB∥CD(2)当AB⊥BD且∠C=60°时，求∠ADB的度数．24．紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元，购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．（1）问桂花树香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．25．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足3x−y=52x+3y=7，求x−4y和7x+5y的值．小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x−4y和7x+5y的值；小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x−y=5①，2x+3y=7②，由①﹣②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19；李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：(1)已知二元一次方程组2x+y=4x+2y=5，则x−y=，x+y=；(2)请说明在关于x，y的方程组x+3y=4−ax−5y=3a中，无论a为何值，x+y的值始终不变；(3)八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）26．问题背景：小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C=180°的理由；尝试应用：如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；请完成：（2）当α=60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；拓展创新：如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB，m+2n=1，EF交AG于点G；请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE23 的度数（写出解答过程）．23 新八年级开学摸底考试卷（全国通用，人教版）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试范围：七年级下整册+八年级上册第一章4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在实数0，13，1，−2中，最小的数是（    ）A．0B．1C．13D．−2【答案】D【分析】本题考查实数的大小比较，根据实数大小比较的方法求解即可．【详解】解：∵−2<0<13<1，∴最小的数是−2，故选：D．2．点P1,−2023处在平面直角坐标系的象限是（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．【详解】解：∵1>0，−2023<0，∴点P1,−2023所在的象限是第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+；第二象限−,+；第三象限−,−；第四象限+,−，根据各象限内点的坐标特征解答．3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．则∠1的度数为（    ）23 A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．由三角形内角和定理可得∠C=70°，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，∴∠C=180°−∠BAC−∠B=70°,∵AD∥BC，∴∠1=∠C=70°．故选：C．4．若某三角形的三边长分别为5，12，x，则x可以是（）A．5B．7C．13D．17【答案】C【分析】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．已知三角形的两边长分别为5和12，根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围．【详解】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得12−5<x<12+5，即7<x<17．只有13符合不等式．故选：C．5．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（　　）A．16B．18C．20D．2223 【答案】D【分析】利用三角形的周长公式先求解AD+CD=12,再证明BD=CD,再利用周长公式进行计算即可．【详解】解：∵AC＝8，△ACD的周长为20，∴AD+CD=20−8=12,∵点D是BC边上的中点，∴BD=CD,∵AB＝10，∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=10+AD+CD=10+12=22．故选：D.【点睛】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点的含义”是解本题的关键．6．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是  （    ）A．对重庆市居民日平均用水量的调查B．对一批LED节能灯使用寿命的调查C．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查D．对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查【答案】D【详解】普查适用于范围较小，事件较短的一些事件，或者是精确度要求非常高的事件.本题中A、B、C三个选项都不适合普查，只适合做抽样调查.故选D．7．已知x=2y=1是方程2x−ay=3的一个解，那么a的值是（）A．1B．3C．−3D．−1【答案】A【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把x=2y=1代入方程得：4−a=3，解得：a=1，故选：A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．8．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为−1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为（    ）23 A．3−1B．3+1C．−3+1D．3【答案】A【分析】先根据正方形的面积求出边长，再根据两点间的距离公式进行求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为3，∴AD=3，∴AE=AD=3，设E点表示的数为x，则：x−−1=3，由图可知：x−−1=x+1，∴x=3−1；故选A．【点睛】本题考查在数轴上表示无理数，以及数轴上两点间的距离．熟练掌握数轴上表示无理数的方法以及数轴上两点间的距离公式是解题的关键．9．请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（   ）A．4x+y=6004x−y=1000B．4(x+y)=6004(x−y)=1000C．4x+y=10004x−y=600D．4(x+y)=10004(x−y)=600【答案】D【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可．【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组为：4(x+y)=10004(x−y)=600；故选D．10．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（　　）23   A．90°B．180°C．120°D．270°【答案】B【分析】如图：根据平行线的性质可得∠4+∠5=180°，然后根据多边形的外角和即可解答．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠4+∠5=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=180°．故选：B．  【点睛】本题主要考查了平行线的性质、多边形的外角和等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键．11．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a∗b=ab−2a．例如，2∗4=2×4−2×2=4，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组3∗x<6x∗3≥m有3个整数解，则m的取值范围是（     ）A．0<m<1B．0<m≤1C．0≤m<1D．0≤m≤1【答案】B【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可．【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为：3x−6<63x−2x≥m，解得：m≤x<4，∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3，∴0<m≤1故选：B．12．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠A=∠ABC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠A=∠D；④2∠BEC−∠A=180°23 ，其中所有正确结论的序号是（   ）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用角平分线的定义可得∠ACD=∠DCF，再利用平行线的性质可得∠A=∠ACD，∠ABC=∠DCF，从而利用等量代换可得∠A=∠ABC，即可判断①；利用角平分线的定义可得∠ABE=∠EBC=12∠ABC，∠ACE=∠BCE=12∠ACB，然后利用三角形内角和定理以及等量代换可得∠BEC=90°+12∠A，从而可得2∠BEC=180°+∠A，进而可得2∠BEC−∠A=180°，即可判断④；再利用等量代换可得∠ABD=12∠A，从而可得∠BEC=90°+∠ABD，即可判断②；再利用平行线的性质可得∠ABD=∠D，从而可得∠D=12∠A，即可判断③，即可解答．【详解】解：∵CD平分∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∠ABC=∠DCF，∴∠A=∠ABC，故①正确；∵BE，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC，∠ACE=∠BCE=12∠ACB，∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°−(12∠ABC+12∠ACB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12(180°−∠A)=180°−90°+12∠A=90°+12∠A，∴2∠BEC=180°+∠A，∴2∠BEC−∠A=180°，故④正确；∵∠A=∠ABC，23 ∴∠ABD=12∠A，∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正确；∵AB∥CD，∴∠ABD=∠D，∴∠D=12∠A，故③不正确；所以，上列结论，其中所以正确结论的序号是①②④，故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．比较大小：23．【答案】＜【分析】因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大．【详解】解：∵22＝2，32＝9，2＜9，又∵2＞0，3＞0，∴2＜3．故答案为：＜．【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．14．如图，运动会上，小刚以直线AB为起跳线，两脚后端落在点P处，测得PA=5.6m，PB=5.15m，则小刚的真实成绩为m．    【答案】5.15【分析】根据垂线段最短即可得出结论.【详解】解：∵小刚的真实成绩为点P到直线AB的距离，∴小刚的真实成绩为5.15m，故答案为：5.15.【点睛】本题考查的是垂线段最短，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键.15．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB＝3，EF＝5，则AC＝．23 【答案】4【分析】根据全等三角形对应边相等求出BC的长度，然后利用△ABC的周长即可求出AC的长．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，EF＝5，∴BC＝EF＝5，∵△ABC的周长为12，AB＝3，∴AC＝12﹣5﹣3＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．16．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是边形．【答案】十二【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．可以转化为方程的问题来解决．【详解】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：n−2×180°=5×360°，解得n=12．故答案为：十二．17．如图a是长方形纸带，∠DEF=27°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是．  【答案】99°/99度【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质，由题意得，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DEF=∠BFE=27°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠FEG=27°，利用三角形外角的性质求得∠FGC=54°，再根据平行线的性质得∠GFD=126°，由折叠的性质得∠CFG=126°，再利用∠CFE=∠CFG−∠BFE求解即可．【详解】解：由题意得，AD∥BC，∴在a图中，∠DEF=∠BFE=27°，由折叠的性质得，在b图中，∠DEF=∠FEG=27°，∴∠FGC=∠FEG+∠BFE=54°，∵FD∥GC，∴∠GFD=180°−∠FGC=126°，23 由折叠的性质得，在c图中，∠CFG=126°，∴∠CFE=∠CFG−∠BFE=126°−27°=99°，故答案为：99°．18．如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是．【答案】5:4【分析】本题考查正方形的周长面积公式，整式的加减法，列代数式，表示出两个正方形边长之间的数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长，得到方程组解出a、b，即可求出正方形A、B的边长之比．【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，长方形②的宽为b，长为a+b；长方形①的长为2b+a+b=a+3b，宽为a+3b−a+b=2b，∵长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，2b+2a+b=132a+3b+2×2b=25，解得：a=52b=2，则正方形A、B的边长之比是a:b=52:2=5:4故答案为：5:4．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：|3−2|+(5+1)(5−1)．【答案】6−3【分析】由绝对值的意义，平方差公式进行化简，然后计算二次根式的加减运算，即可得到答案．【详解】解：原式=2−3+(5−1)        =2−3+4            =6−3【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，绝对值的意义，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．23 20．解下列方程组：2x+5y=254x+3y=15．【答案】x=0y=5【分析】根据二元一次方程组的加减或代入消元法直接进行求解即可．【详解】解：2x+5y=25①4x+3y=15②，①×2﹣②得：7y＝35，所以y＝5．代入①得：2x+25＝25，所以x＝0．所以原方程组的解为x=0y=5．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求法，熟练掌握代入消元和加减消元是解题的关键．21．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，完成下列问题：(1)请写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出三角形ABC的面积；(3)若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；【答案】(1)A(−2,−2)，B(3,1)，C(0,2)(2)7(3)作图见解析部分，A1(−3,0)，B1(2,3)，C1(−1,4)【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．【详解】（1）解：根据图形可得：A(−2,−2)，B(3,1)，C(0,2)；23 （2）解：由图可得：三角形ABC的面积=4×5−12×1×3−12×2×4−12×3×5=7；（3）解：如图，△A1B1C1即为所求．A1(−3,0)，B1(2,3)，C1(−1,4)．【点睛】本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积．22．某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如图两幅不完整的统计图，请你根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查活动的样本容量是　　．（2）图2中E的圆心角度数为　　度，并补全图1的频数分布直方图．（3）该校有800名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于70min的人数．【答案】（1）50；（2）14.4，图见解析；（3）288人【分析】（1）根据A组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查活动的样本容量；（2）根据E组的人数和（1）中的结果，可以计算出图2中E的圆心角度数，再计算出C组的频数，即可补全图1的频数分布直方图；（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校学生平均每天的课外阅读时间不少于70min的人数．【详解】解：（1）本次调查活动的样本容量是4÷8%＝50，故答案为：50；23 （2）图2中E的圆心角度数为：360°×250＝14.4°，阅读时间为C的学生有：50﹣4﹣8﹣16﹣2＝20，补全的频数分布直方图如图所示，故答案为：14.4；（3）800×16+25＝288（人），    答：该校学生平均每天的课外阅读时间不少于70min的有288人．【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．如图，AD平分∠BAC，∠CAD=∠CDA．  (1)求证：AB∥CD(2)当AB⊥BD且∠C=60°时，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30∘【分析】（1）根据角平分线的定义和已知条件得到∠BAD=∠CDA，即可证明AB∥CD；（2）由平行线的性质得到∠BAC=120°，CD⊥BD，则∠BDC=90°，再由角平分的定义和已知条件求出∠CDA=60°，则∠ADB=∠CDB−∠CDA=30°．【详解】（1）证明∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵∠CAD=∠CDA，∴∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD；23 （2）解：∵∠C=60°，AB∥CD，AB⊥BD∴∠BAC=180°−∠C=120°，CD⊥BD，∴∠BDC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60°，∴∠CAD=∠CDA=60°，∴∠ADB=∠CDB−∠CDA=30°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．24．紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元，购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．（1）问桂花树香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．【答案】(1)桂花树每颗60元，香樟树每颗80元;(2)所以有三种方案：桂花树58颗，香樟树92颗;桂花树59颗，香樟树91颗;桂花树60颗，香樟树90颗【详解】（1）设桂花树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可．（2）设购买桂花树a棵，表示出香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．　解：（1）设桂花树每颗x元，香樟树每颗y元．{2x+3y=603x+2y=340；{x=60y=80答：桂花树每颗60元，香樟树每颗80元（2）设桂花树a颗，则香樟树(150−a)颗．{60a+80(150−a)≤10840150−a≥1.5a；解得：58≤a≤60所以有三种方案：桂花树58颗，香樟树92颗桂花树59颗，香樟树91颗桂花树60颗，香樟树90颗“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．25．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y23 满足3x−y=52x+3y=7，求x−4y和7x+5y的值．小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x−4y和7x+5y的值；小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x−y=5①，2x+3y=7②，由①﹣②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19；李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：(1)已知二元一次方程组2x+y=4x+2y=5，则x−y=，x+y=；(2)请说明在关于x，y的方程组x+3y=4−ax−5y=3a中，无论a为何值，x+y的值始终不变；(3)八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）【答案】(1)−1，3(2)理由见解析(3)70元【分析】（1）将两个方程相加或相减，即可求解；（2）利用加减消元法即可求出x+y为固定值，不受a的影响；（3）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解．【详解】（1）解：∵2x+y=4①x+2y=5②∴①+②得，3x+3y=9，∴x+y=3．∴①−②得，x−y=−1．故答案为：−1，3．（2）解：∵x+3y=4−a①x−5y=3a②，∴①×3+②得，4x+4y=12，∴x+y=3．∴无论a为何值，x+y的值始终不变．（3）解：设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，根据题意得：3x+5y+z=21①4x+7y+z=28②∴①×30−②×20得，10x+10y+10z=70，23 ∴购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．故答案为：70元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想．26．问题背景：小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C=180°的理由；尝试应用：如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；请完成：（2）当α=60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；拓展创新：如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB，m+2n=1，EF交AG于点G；请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．  【答案】问题背景：见解析；尝试应用：60°或120°；拓展创新：n=13时，∠AGE为定值，∠AGE=120°+13α【分析】问题背景：（1）根据平行线的性质可得结论；尝试应用：（2）分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；拓展创新：（3）由∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n=1经过整理可得结论．【详解】解：问题背景：（1）∵EF∥BC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°；尝试应用：（2）当点E在点O的上方时，23   ，∵α=60°，∴∠AOE=120°，∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，∴∠EAB=2∠1，∠AEC=2∠3，由三角形外角的性质可得：∠AEC=∠EAB+120°，∠3=∠1+∠AGE，∴2∠AGE=120°，即∠AGE=60°，当点E在点O的下方时，如图2−1中，可得∠AGE=180°−∠GAE+∠GEA=180°−12∠OAE+∠OEA=120°，  综上所述，∠AGE=60°或120°；拓展创新：（3）由题意得，∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB，∠EAB+∠AEO=α，由外角的性质可得：∠AEF=∠AGE+∠EAG，∠AEC=∠AOE+∠EAB=180°−α+∠EAB，∴n−1∠AEC=∠AGE−180°−α+m−1∠EAB，∵m+2n=1，∴m=1−2n，∴∠AGE=n180°−α+3n−1∠EAB，当3n−1=0时，即n=13时，∠AGE为定值，∠AGE=13180°−α=60°−13α，23 当点E在线段CO的延长线上时，若AG与EF在直线AE异侧，如图：  由题意得，∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB，∠EAB+∠AEC=180°−α，由外角的性质可得：∠AEF=∠AGE+∠EAG，∠AEC=180°−∠AOE−∠EAB=180°−α−∠EAB，∴n−1∠AEC=∠AGE−180°−α+m+1∠EAB，∵m+2n=1，∴m=1−2n，且m、n均为正数，∴∠AGE=n180°−α+n−1∠EAB，当n−1=0时，即n=1时，1−2n=−1，故舍去．若AG与EF在直线AE同侧，如图：  由题意得∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB，∠EAB+∠AEC=180°−α，由三角形内角和可得：∠AEF=180°−∠EAG−∠AGE，∠AEC=180°−∠AOE−∠EAB=180°−α−∠EAB，∴n−1∠AEC=α−∠AGE+1−m∠EAB，∵m+2n=1，∴m=1−2n，∴∠AGE=nα−180°+180°+3n−1∠EAB，当3n−1=0时，即n=13时，∠AGE为定值，∠AGE=13α−180°+180°=120°+13α．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义与性质、三角形的内角和定理与角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解此题关键．23