北师版八年级数学上册 第五章 二元一次方程组（单元综合测试卷）

第五章二元一次方程组（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列属于二元一次方程组的是（    ）A．B．C．D．2．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ）A．B．C．D．3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ）A．要消去x，可以将B．要消去y，可以将C．要消去x，可以将D．要消去y，可以将4．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ）．A．6B．7C．8D．95．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（    ）A．B．C．D．6．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ）A．，6B．2，6C．2，D．，7．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象、，如图所示，他解的这个方程组是（    ）A．B．C．D．8．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（    ）A．B．C．D．9．若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为（    ）A．6B．0C．D．10．已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ） A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．若方程是二元一次方程，则，．12．把二元一次方程中的用含的式子表示为．13．如果方程组的解中x与y的值相等，那么a的值是．14．若方程组无解，则a的值为15．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为．16．方程组的解是，请你写出方程组的解．17．已知直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，设直线与直线的交点为P，若，则m的值为．18．如果无理数值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们则称无理数的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则． 三、解答题（本大题共10小题，共66分）19．解方程组（1）    ；                    （2）．20．解方程组：（1）        （2）21．解下列方程组：（1）        （2）22．小明同学解方程组的过程如下：解：①×2，得2x﹣6y＝2③③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7﹣7y＝﹣5，y＝；把y＝代入①，得x﹣3×＝1，x＝所以这个方程组的解是你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．23．已知方程组和有相同的解，求的值．24．解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值． 25．已知关于x、y的方程组．(1)请写出方程x＋2y＝6的所有正整数解．(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值．(3)当m每取一个值时，2x﹣2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．26．如图，直线和直线相交于点．  (1)求m的值；(2)观察图象，直接写出关于x，y的方程组的解．27．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组，则______，______；(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 28．如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接．(1)求直线的函数解析式；(2)求、与轴所围成的三角形的面积；(3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值；(4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 第五章二元一次方程组（单元重点综合测试）班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列属于二元一次方程组的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.【解析】解：A．未知数的最高次是2，所以不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；B．有三个未知数，所以不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；C．是二元一次方程，故此选项符合题意；D．含有分式方程，所以不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义．熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．2．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把各项中与的值代入方程检验即可．【解析】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解，故选：D．3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ）A．要消去x，可以将B．要消去y，可以将C．要消去x，可以将D．要消去y，可以将【答案】C【分析】利用加减消元法判断即可．【解析】解：利用加减消元法解方程组，要消元x，则或；要消去y，则，故选：C．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ）．A．6B．7C．8D．9【答案】D【分析】由可得：，再由，关于k的方程，即可求解．【解析】解：，由得：， 即，∵，∴，解得：，故选：D．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键．5．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据直线解析式求出点C坐标，根据两函数交点坐标与方程组的解得关系即可求解．【解析】将代入得：，解得：，∴方程组的解是，故选B．【点睛】本题考查两函数的交点坐标与方程组的解的关系，掌握两函数的交点坐标与方程组的解是解题关键．6．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ）A．，6B．2，6C．2，D．，【答案】A【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b 的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值.【解析】把代入方程②中得解得把代入方程①中得解得故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键.7．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象、，如图所示，他解的这个方程组是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．【解析】解：由图可知：直线过，，设直线的解析式为：， ，解得：，因此直线的函数解析式为：；同理：直线过，，因此直线的函数解析式为：；因此所求的二元一次方程组为；故选：D．8．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题目中的等量关系列出二元一次方程组即可．【解析】解：设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为．故选：D．【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系．9．若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为（    ）A．6B．0C．D．【答案】D【分析】把m看做已知求得x=，由方程组的解为整数，确定出m的值即可． 【解析】解：，两式相加得（m+3）x=10，解得x=，∵m+3能被10整除，∴整数m=-13，-8，-5，-4，-2，-1，2，7，当m=-13，-5，-1，7时，y不是整数，则满足条件的所有m的值的和为-8-4-2+2=-12．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．10．已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法，折叠，勾股定理，过点作轴于，过点作轴于，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，然后求出点坐标，得到，设点的坐标为0,m，利用勾股定理可求出，由待定系数法即可求出所在直线解析式，求出点的坐标是解题的关键．【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，点为点在轴负半轴上的对应点， 把代入直线：得，，∴，∴，把代入直线：得，，∴，∴直线解析式为，∴点坐标为，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴设点的坐标为0,m，则，，∴，在中，， ∴，解得，∴，设所在直线解析式为，把、代入得，，解得，∴，故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．若方程是二元一次方程，则，．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答．【解析】解：根据题意得：，，故答案为：，．12．把二元一次方程中的用含的式子表示为．【答案】【分析】将看作已知数，求出即可．【解析】解：，， ，解得．故答案为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．13．如果方程组的解中x与y的值相等，那么a的值是．【答案】3【分析】把y＝x代入方程组，然后求出a的值即可．【解析】解：把y＝x代入方程组得：，解得：，则a的值是3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的概念是解答本题的关键．14．若方程组无解，则a的值为【答案】-6【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．【解析】解∶，①×3+②，得，∵方程组无解，∴a+6=0，∴a=-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目．15．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过 小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为．【答案】2050【分析】根据两人的全程的距离相同可得出，再由当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过时小刚追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．【解析】解：解：根据题意，得，解得：所以m故答案为：2050【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．16．方程组的解是，请你写出方程组的解．【答案】【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．【解析】解：方程组变形为，∵方程组的解为，∴，解得：，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 17．已知直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，设直线与直线的交点为P，若，则m的值为．【答案】2或6【分析】先根据直线平移的规律得到直线的解析式为，由此求出点P的坐标为，再根据得到，由此即可得到答案．【解析】解：∵直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，∴直线的解析式为，联立，解得，∴点P的坐标为，∵，∴，∴，解得或，∵，∴或6，故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移，两直线的交点坐标，两点之间的距离公式等，用含m的代数式表示出点P的坐标是解题的关键．18．如果无理数值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们则称无理数的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为 ．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则．【答案】或或【分析】本题考查无理数的估算，二元一次方程的解，熟练掌握无理数的估算及二元一次方程的解的定义是解题的关键．先利用和，是连续正整数确定的值范围，再利用为正整数，确定的值，代入求解即可．【解析】解：∵，是两个连续正整数，∴，∵，∴，∴，∴可以取至，∵其中是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，∴为正整数，∴，，，∴“博雅区间”为，，，当，时，，，所以；当，时，，，所以；当，时，，，所以；故答案为：或或．三、解答题（本大题共10小题，共66分）19．解方程组 （1）    ；                    （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意直接利用加减消元法解方程组即可得到答案；（2）由题意将方程化简后，利用代入消元法解方程组即可得到答案．【解析】解：（1），①+②可得，，解得，①-②可得，，解得，∴原方程组的解为：；（2）将方程组化简，得，由①得，，把③代入②，可得，解得，把代入③，可得，∴原方程组的解为：.【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．20．解方程组：（1）        （2） 【答案】（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组变形后，利用加减消元法求出解即可．【解析】解：（1），①+②×2得：12x=15，解得：x=，把x=代入①得：+6y=3，解得：y=，则方程组的解为；（2）整理得：，①-②得：6y=18，解得：y=，把y=代入②得：3x-6=18，解得：x=，则方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．解下列方程组：（1）        （2） 【答案】（1）    （2）【分析】（1）先标号利用加减消元法①+②得，（③-②）÷2得，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先标号利用加减消元法先消去z，再解x与y的二元方程组即可．【解析】解：（1），①+②得，（③-②）÷3得，④+⑤×2得4x=8，解得x=2，把x=2代入④得，把代入②得y=-3，∴；（2），①+③得，（②+③）÷5×3得，④-⑤得x=3，把x=3代入④得y=2，把x=3，y=2代入①得z=5，∴． 【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，掌握三元方程组消元转化二元方程组来解是解题关键．22．小明同学解方程组的过程如下：解：①×2，得2x﹣6y＝2③③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7﹣7y＝﹣5，y＝；把y＝代入①，得x﹣3×＝1，x＝所以这个方程组的解是你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．【答案】错误，正确过程见解析【分析】根据加减消元法求解即可．【解析】解：错误，①×2，得2x-6y=2③，③-②，得-6y+y=2-7，-5y=-5，y=1，把y=1代入①得x-3×1=1，x=4，所以这个方程组的解为．【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．23．已知方程组和有相同的解，求的值．【答案】【分析】根据已知条件列出方程组求解即可； 【解析】解：解方程组，解得，将，代入方程得，，则．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．24．解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值．【答案】4【分析】把把代入求出，把代入求出，然后求出值即可．【解析】解：∵小卢由于看错了系数a，∴把代入得：，解得：，∵小龙由于看错了系数b，∴把代入得：，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握方程组解的定义，准确计算．25．已知关于x、y的方程组．(1)请写出方程x＋2y＝6的所有正整数解． (2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值．(3)当m每取一个值时，2x﹣2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．【答案】(1)，(2)m(3)(4)﹣2或﹣4或﹣10或4【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；（3）方程变形后，确定出公共解即可；（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．(1)解：方程x+2y＝6的正整数解有：，．(2)解：由②，得x＝﹣y．将x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．解得y＝6．∴x＝﹣6．∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．解得，m．(3) 解：2x﹣2y+mx＝8变形得：（2+m）x﹣2y＝8，令x＝0，得y＝﹣4，∴无论m取何值，都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，∴公共解为；(4)解：，①+②得，3x+mx＝14，∴x，∵方程组有整数解，且m是整数，∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．当m＝﹣1时，x＝7，y，不符合题意；当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，符合题意；当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，符合题意；当m＝﹣5时，x＝﹣7，y，不符合题意，当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，符合题意，当m＝﹣17时，x＝﹣1，y，不符合题意；当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意，当m＝11时，x＝1，y，不符合题意，综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．26．如图，直线和直线相交于点．   (1)求m的值；(2)观察图象，直接写出关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，即可求出m的值；（2）根据一次函数图象得交点即可求解．【解析】（1）解：把代入得，，解得：，∴点A的坐标为；（2）由图象得，的解为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据函数的图象求解二元一次方程组的解．27．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______；(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？【答案】(1)－1；3(2)见解析(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元【分析】（1）①－②可求出，可求出；（2）证明为定值即可；（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可．【解析】（1）解：①－②得：，得：，等式两边同时除以3得：，故答案为：－1；3．（2）证明：得：，等式两边同时除以2得：，得：，等式两边同时除以2得：，因此不论a取什么实数，的值始终不变．（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元， 由题意得，得：，等式两边同时乘以2得：，得：，故，即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键．28．如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接．(1)求直线的函数解析式；(2)求、与轴所围成的三角形的面积；(3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值；(4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)1(3)或(4) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．（1）将点坐标代入求出，即可得到解析式；（2）根据解析式分别求出点、坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可；（3）当时，则，当，即，即可求解．（4）根据解析式分别求出线段和线段长，根据题意可得的取值范围．【解析】（1）解：将代入中得：，解得，∴直线的函数解析式为；（2）解：在中，当时，，在中，当时，，∴，∴；联立方程组，解得，∴的交点坐标为，∴与轴所围成的三角形的面积为；（3）解：∵与交于点，则，当，即，， 则或，解得或．即的值为或；（4）解：∵和，，设直线与和分别交于点和，在函数中，当时，，在函数中，当时，，，，∵，即线段向左平移2个单位开始有2个交点，，∴的范围为．故将线段向左平移个单位，若与直线同时有公共点，的取值范围为．