人教版九年级数学 第二十五章 概率初步综合题拓展训练（9考点48题）

第二十五章概率初步综合题拓展训练目录与链接考点一、列举法求概率……………………………………………………………………………2考点二、概率公式…………………………………………………………………………………7考点三、几何概率…………………………………………………………………………………15考点四、列表法求概率……………………………………………………………………………20考点五、树状图求概率……………………………………………………………………………26考点六、抽取放回与不放回问题…………………………………………………………………38考点七、游戏公平性………………………………………………………………………………41考点八、用频率估计概率…………………………………………………………………………45考点九、统计与概率的综合问题…………………………………………………………………5279 考点一、列举法求概率1．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（    ）A．B．C．D．2．向上抛掷质地均匀的骰子（如图），落地时向上的面点数为（的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于的不等式有不大于2的整数解的概率为（    ）A．B．C．D．3．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为．4．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率．5．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为．6．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：79 （注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．考点二、概率公式7．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　）A．B．C．D．8．现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（    ）A．B．C．D．9．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：79 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．10．如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．11．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；79 ①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；②转运板进311，托起车，载车出311；③转运板载车滑行至316前；④转运板进316，放车，空载出316，停在316前；⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车．停车位301…停车位311…升降台316…留空321…停车位330转运板滑行区                             转运板滑行区如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）(2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．12．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故79 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．考点三、几何概率13．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ）79 A．B．C．D．14．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．16．如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为．17．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．79 考点四、列表法求概率18．在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ）A．B．C．D．19．现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是（    ）A．B．C．D．20．在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为．组成的两位数是3的倍数的概率为．21．春节期间，有四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》热映，甲乙两名同学分别从这四部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为．22．暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩．(1)小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为；(2)小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率．23．在两个不透明的袋子甲、乙中各装有相同的三个小球，小球分别标有数字，现从甲中任意摸出一个小球，将上面的数字记为a；再从乙中任意摸出一个小球，将上面的数字记为b．(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；79 (2)求点在第四象限的概率．24．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．（1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率．考点五、树状图求概率25．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ）A．B．C．D．26．如图1，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（）和稀硫酸（），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（）和氢氧化钙溶液（）．(1)彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（）的概率为______．(2)下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（）”的概率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解．（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯化钙溶液）27．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．79 ③可得到．老师请同学们讨论说明理由．三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．28．在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．完成下列问题：（1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为，当满足时，此抛物线没有“抛物线三角形”；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积；（3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．29．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）手机支付非手机支付合计79 男ab女cd合计60②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.手机支付非手机支付合计男ab40女cd20合计18426030．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作：③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作．（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___．（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程）79 31．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，三年后如果备件多余，每个以元（）回收．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如下频数分布直方图：记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计不超过19的概率；（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在与之中选其一，当为何值时，选比较划算？考点六、抽取放回与不放回问题32．不透明袋子中装有黄球1个，红球3个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球颜色不一样的概率是．33．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．79 （1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M在直线y＝x上的概率；（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．34．在一个不透明的口袋中装有分别标有数字，，，的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球．求抽取的两张牌牌面数字之和大于的概率．35．在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是，3，卡片除了实数不同外，其余均相同)(1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率．(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率．考点七、游戏公平性36．准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形（如图所示）．如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀．甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形（取出的是两张画三角形的纸片），也可能拼成一个房子（取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片）．若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．37．在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）(1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______；(2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．79 38．2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：(1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______；(2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由．39．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？考点八、用频率估计概率40．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；第四步：估算出π的值．79 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　）A．B．C．D．41．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）A．B．C．D．42．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：79 ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)1002005001000……小石子落在圆内(含圆上)的次数m3263153305……小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n68137347695……小石子落在圆内(含圆上)的频率0.3200.3150.306x……【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即)，则表格中的数据x=；随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在附近(结果精确到)；【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留π)43．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：x（℃)15≤x<2020≤x<2525≤x<3030≤x≤35天数610113y（瓶）270330360420以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？44．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理.79 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有种不同的走法：问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有种不同的走法：方法探究加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理.实践应用1问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出.(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有种：(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有种.(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是实践应用2问题4.小明打算用5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有种不同的染色方法.79 考点九、统计与概率的综合问题45．某校准备设置的五类劳动课程分别为：．整理与收纳；．烹饪与营养；．传统工艺制作；．新技术体验与应用；．公益劳动与志愿服务．为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题．(1)本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图；(2)扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______；(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率．46．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．    79 (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为度．(2)若该市农村小学共有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人．(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏，规则是：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？47．某校数学兴趣小组的同学为了解学校各班落实“光盘行动”的情况，分别调研了七、八年级各8个班某一天的餐厨垃圾质量（单位：），并将收集的数据按如下方式进行了整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示后共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），下面提供的是整理和分析后的部分信息：七年级8个班的餐厨垃圾质量分别为：，，，，，，，；八年级8个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据分别为：，，，．七、八年级抽取的各8个班级餐厨垃圾质量统计表平均数中位数众数A等级所占百分比七年级        a    八年级    b        +  根据以上信息，解答下列问题：(1)请你通过以上数据，写出上述表中字母的值______；______；______；(2)若学校将从七、八年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级中随机抽取两个班级进行调研，请用列表或画树状图的方法计算被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的概率．48．为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，.，，，，，，，，，，79 ，整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下：组别                    甲41113102乙6315142分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：量平均数众数中位数方差甲74.586m47.5乙73.1847623.6根据以上信息，回答下列问题：(1)______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）；(2)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）；(3)甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．(4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率．79 第二十五章概率初步综合题拓展训练目录与链接考点一、列举法求概率……………………………………………………………………………2考点二、概率公式…………………………………………………………………………………7考点三、几何概率…………………………………………………………………………………15考点四、列表法求概率……………………………………………………………………………20考点五、树状图求概率……………………………………………………………………………26考点六、抽取放回与不放回问题…………………………………………………………………38考点七、游戏公平性………………………………………………………………………………41考点八、用频率估计概率…………………………………………………………………………45考点九、统计与概率的综合问题…………………………………………………………………5279 考点一、列举法求概率1．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果∴共有45+7+5+3+1=61种结果，∴所求的概率是，故选D．【点睛】本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．2．向上抛掷质地均匀的骰子（如图），落地时向上的面点数为（的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于的不等式有不大于2的整数解的概率为（    ）A．B．C．D．79 【答案】A【分析】将为1，2，3，4，5和6分别代入不等式中求出对应不等式的解集，判断是否有不大于2的整数解即可；【详解】当时，不等式变为：，解得该不等式的解为：，没有不大于2的整数解，不符合；当时，不等式变为：解得该不等式的解为：，没有不大于2的整数解，不符合；当时，不等式变为：解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合；当时，不等式变为：解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合；当时，不等式变为：解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合；当时，不等式变为：解得该不等式的解为：或，有不大于2的整数解，符合；综上，取值为3，4，5，6时满足要求，故概率为：，答案为：；【点睛】本题考查了概率计算以及不等式解答，熟练掌握不等式解法是解答该题的关键3．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为．【答案】【分析】解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出6，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出0，求得a的范围；检验分式方程，列出1，即，求得a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a79 的值，求概率即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：x，∵不等式组的解集为，∴，∴，分式方程两边都乘得：，解得：，∵方程的解是正整数，∴，∴；∵，∴1，∴，∴，∴能是正整数解的a是：，∴是非负整数的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，求概率，注意解分式方程一定要检验是本题的关键．4．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率．79 【答案】【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可．【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，∵，∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为．5．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为．【答案】【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可．【详解】有实数根，，∴，，又，对称轴为：，79 时，随增大而减小，，综上，可取0，2，∴，故答案为：．【点睛】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键．6．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为：，，79 ，，共四种．其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率为．（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，，，．齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是，，，，，，共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率．【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．考点二、概率公式7．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　）79 A．B．C．D．【答案】D【分析】此题考查概率的计算公式，设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，根据，，得出，则的可能取值有，，，最后逐一计算即可，熟记公式是解题的关键．【详解】设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，则都为正整数，且，，∵，∴，∴的可能取值有，，，，当时，，∴，只有种可能；当时，，∴，或，，有种可能；当时，，∴，，或，或，，有种可能；当时，，∴，或，或，或，，有种可能，共种可能，其中恰好有张红桃的可能有种，∴所求概率为，故选：．8．现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情形，进而根据概率公式，即可求解．【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以选6个数字，故总可能结果有种可能依题意，，79 ，共有9种可能，每种有6种排列方式，其中，，每种可能有3种不同排列；和，共9种可能；的排列有6种可能，同理....，6种可能则符合题意的共有种，∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是，故选：D．【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键．9．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．【答案】【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可．【详解】解：∵黑卡在左边，79 ∴白卡数字可能为或，又∵白卡排在第一行，∴第四行最后一张白色卡片上数字只能是，每行能确定的数字为：第一行：1  5  6  7  9第二行：1  2  3  4  5第三行：0  6  7  9第四行：0  2  8  8不能确定的是黑色3和4，共有两种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为．10．如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．【答案】(1)；(2)B点表示的数为-21；(3)x的值为4或6．【分析】（1）利用概率公式计算即可；（2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；79 （3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结果．【详解】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，)，则P(奇数)=，∴P(B点移动到4)=；（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，当b=0时，3a-30=0，∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；（3）解：刚开始AB的距离等于15，均为偶数时，AB距离缩短3，均为奇数时，AB距离缩短3，均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；∴x的值为4或6．【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；②转运板进311，托起车，载车出311；③转运板载车滑行至316前；79 ④转运板进316，放车，空载出316，停在316前；⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车．停车位301…停车位311…升降台316…留空321…停车位330转运板滑行区                             转运板滑行区如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）(2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s(2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键．（1）设转运板载车时的滑行速度为xm/s，则升降台升降速度为0.5xm/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解；（2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解．【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为xm/s，则升降台升降速度为0.5xm/s，依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6m，可列方程：，解得：x＝0.6，                                             经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．79 （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，则．解得：．因为a是正整数，所以．因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．12．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量10552015579 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．【答案】(1)元(2)①  ②50万元【分析】（1）根据加权平均数计算解题即可；（2）①从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出第二辆车为事故车的概率；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可．【详解】（1）解：元，答：在第四年续保时的平均费用约为元；（2）①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为；②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元．【点睛】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．考点三、几何概率13．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S79 三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率．【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，，∴，解得：，，∴M部分面积与整个圆面积的比：，∴等于，故选A．14．如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是．79 【答案】【分析】连接、AB交于点，设圆的半径为1，可证为等边三角形，先求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式求解即可．【详解】解：连接、AB交于点，设半径为1，∵，，∴为等边三角形，∵AB为弦，为半径，∴垂直平分AB，在中，，，，，，，，，故答案是：．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，几何概率，根据图形作出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图79 的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．【答案】【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键．【详解】解：如图，由题意可知，，，∴，∴，则中间小正方形的面积为，小正方形的外阴影部分的，∴阴影部分的面积为，∴针尖落在阴影区域的概率为，故答案为：．16．如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为．79 【答案】/0.5【分析】分别求得⊙的面积和扇形的面积即可求解．【详解】解：连接BC，∵，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，设⊙的半径为r，如图，连接OA，过点O作OD⊥AB，则OA=r，AB=2AD，∠OAD=，∴，解得，∴，∴圆的面积为，扇形的面积为，∴飞镖恰好落在扇形内的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．79 【答案】//0.25【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，∵平分，∴∠ADE＝∠MDE∵四边形EFGH是正方形∴∠MED＝90°，∴∠AED＝180°－∠MED＝90°∴∠MED＝∠AED∵DE＝DE∴△ADE≌△MDE（ASA）∴AE＝ME同理可证△BGC≌△BGN（ASA），∵四边形ABCD是正方形∴∠ADM＝45°∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°∵∠MEG＝45°∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°79 ∴∠EMD＝∠MPE∴EM＝EP设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，∴FG＝EG×sin45°＝∵△BFA≌△AED≌△CGB∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，在Rt△BCG中，∴＝∴∴针尖落在阴影区域的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．考点四、列表法求概率18．在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与2个球颜色相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：列表如下：红红白白黄79 红（红，红）（白，红）（白，红）（黄，红）红（红，红）（白，红）（白，红）（黄，红）白（红，白）（红，白）（白，白）（黄，白）白（红，白）（红，白）（白，白）（黄，白）黄（红，黄）（红，黄）（白，黄）（白，黄）共有20种等可能的结果，2个球都摸到颜色相同的有4种情况，两次都摸到红球的概率为，故选：C．19．现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：将这4张化学仪器的示意图卡片分别记为，，，，则卡片正面图案是轴对称图形的有：，，．列表如下：79 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的结果有：，，，，，，共6种，抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率为．故选：A20．在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为．【答案】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中组成的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种，组成的两位数是3的倍数的概率为．故答案为：21．春节期间，有四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》热映，甲乙两名同学分别从这四部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为．【答案】【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．【详解】解：分别记四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》为，，,，列表如下：79 一共有16种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有4种等可能的情况，（他们选择的影片相同）．故答案为：．22．暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩．(1)小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为；(2)小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了列表法或画树状图进行概率的计算，列出所有的可能是求解的关键．（1）根据概率的定义即可求解；（2）用列表法列出所有可能的组合，然后根据概率的定义即可求解．【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好是珠溪古镇的结果有1种，∴小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为；（2）解：将大洋湾、珠溪古镇和中华海棠园分别记为A，B，C，列表如下：ABCA79 BC共有6种等可能的结果，其中选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的结果有：，，共2种，∴选择大洋湾和中华海棠园这两个景点的概率为．23．在两个不透明的袋子甲、乙中各装有相同的三个小球，小球分别标有数字，现从甲中任意摸出一个小球，将上面的数字记为a；再从乙中任意摸出一个小球，将上面的数字记为b．(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；(2)求点在第四象限的概率．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查用树状图法或列表法求概率：（1）列出表格，表示出所有可能出现的结果即可；（2）利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：列表如下：共有，，，，，，，，，9种情况；（2）由（1）可知共有9种等可能的结果，其中点在第四象限的结果有1种，∴．79 24．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．（1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用列举法求解即可；（2）分类讨论，利用列举法即可求解．【详解】（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种，9班和5班抽签到一个小组只有一种情况，故概率为：；（2）①分组为(2，5)和(6，9)，1、2名争夺3、4名争夺情况1(2，6)(5，9)情况2(2，9)(5，6)情况3(5，6)(2，9)情况4(5，9)(2，6)故概率为：；②分组为(2，9)和(5，6)，1、2名争夺3、4名争夺情况1(2，5)(6，9)情况2(2，6)(5，9)情况3(5，9)(2，6)情况4(6，9)(2，5)故概率为：；79 综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．考点五、树状图求概率25．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．．【详解】解：反应的化学方程式为，与的原子个数比为，与的原子个数比为，反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O，共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2，∴反应生成的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．79 26．如图1，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（）和稀硫酸（），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（）和氢氧化钙溶液（）．(1)彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（）的概率为______．(2)下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（）”的概率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解．（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯化钙溶液）【答案】(1)(2)树状图见解析，【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中选中稀盐酸（）的结果有1种，利用概率公式可得答案；（2）根据题意补全树状图，由树状图可得出所有等可能的结果数以及从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中选中稀盐酸（）的结果有1种，∴选中稀盐酸（）的概率为；（2）补全树状图如图2所示79 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的结果有：(稀盐酸，氢氧化钙溶液），共1种，∴从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的概率为．27．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．③可得到．老师请同学们讨论说明理由．三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．【答案】(1)(2)选择小彤的方法说明，理由见详解【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；79 （2）选择小彤的方法说明，理由如下：连接，如下图，由折叠的性质可得，，，，，∴垂直平分，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．28．在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．完成下列问题：（1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为，当满足时，此抛物线没有“抛物线三角形”；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积；（3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．79 【答案】（1）y=-x2+m;m≤0；（2）抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=，抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=；（3）该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率=．【分析】（1）由一条抛物线的系数是，可得，-10抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时即可求出；（2）设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，由等腰直角三角形性质OE=AE=DE,即OA=2ED，抛物线顶点D，A(-b,0)，则，可求，分两种情况分别求出抛物线，再求抛物线三角形面积即可（3）系数均为绝对值不大于的整数，，，，一共有18种可能情况，或抛物线为或，EH=2，GF=1，EH=2GF，△EFH为等腰直角三角形，能构成等腰直角三角形的只有两种情况，利用概率公式可求．【详解】解：（1）∵一条抛物线的系数是，，-10抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”，当满足m≤0  时，此抛物线没有“抛物线三角形”，故答案为：y=-x2+m;m≤0；（2）抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，由等腰直角三角形性质有：OE=AE=DE,即OA=2ED，，抛物线顶点D，A(-b,0)，∴OA=，DE=，则=2×，∴，79 ，，不存在三角形，舍去，∴，，当，抛物线系数为，抛物线为，当y=0，，顶点坐标，与x轴的交点为（2，0），（3，0），抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=，当，抛物线系数为，抛物线为，顶点坐标，与x轴的交点为（6，0），（-1，0），抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=，（3）系数均为绝对值不大于的整数，，，，一共有18种可能情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑，①一次项系数为0，或，抛物线为，或EH=2，GF=1，EH=2GF，∴三角形EFH为等腰直角三角形，79 ，，，没有抛物线三角形②系数都不为0，，，，，，，，，，△=5，x=,EH=,GF=，EH≠2GF，不是，③常数项为0，，，都不能构成，其它也没有抛物线三角形为此能构成等腰直角三角形的只有两种，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率=．79 【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，概率，掌握抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，会利用树状图求概率是解题关键．29．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）手机支付非手机支付合计男ab女cd合计60②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.79 【答案】（1）①40，20，18，42；②；（2）选择方案二更划算.【分析】（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，进而可以补充表格数据；②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，根据从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图分别求出摸到1个红球，摸到2个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．【详解】解：（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，∵b=30，c=8，∴a=10，d=12，补充表格如下：手机支付非手机支付合计男ab40女cd20合计184260故答案为：18，42，40，20；②由①可得，女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是；（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，∵从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图为：根据树状图可知：79 所有可能的结果共16种，摸到1个红球的有8种，摸到2个红球的有4种，未摸到红球的有4种，所以摸到1个红球的概率为：，则打9折，摸到2个红球的概率为：，则打8.5折，未摸到红球的概率为：，按原价付款．所以实际付款的平均金额为：1080×+1020×+1200×=1095（元）．因为1100元＞1095元，所以选择方案二更划算．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、算术平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．30．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作：③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作．（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___．（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程）【答案】；【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.79 【详解】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，其中，掷出5时可以回到点A，∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为；（2）若要经一次操作，使得棋子跳回到点，则①第一次就掷出5，②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，画树状图如下：共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种，∴经一次操作，使得棋子跳回到点的概率为.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数.31．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，三年后如果备件多余，每个以元（）回收．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如下频数分布直方图：记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计不超过19的概率；（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在与之中选其一，当为何值时，选比较划算？79 【答案】（1）树状图见解析，；（2）当时，选比较划算【分析】（1）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案；（2）设为该公司购买易损零件所需的费用，购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时和n=20时，与a的函数关系式，再根据＜即可得到结果．【详解】解：（1）如下图：由题可知所有结果出现的可能性相同，所以不超过19的概率为：；（2）由（1）中树状图可得x的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，且取各值时x出现的次数如下表，16171819202122出现的次数1234321设为该公司购买易损零件所需的费用，当时，则有16171819202122；当时，则有1617181920212279 ；依题意得，解得，∴当时，选比较划算．【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率=．同时也考查了利用平均数进行决策以及建立函数模型解决问题等知识，综合性较强．考点六、抽取放回与不放回问题32．不透明袋子中装有黄球1个，红球3个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球颜色不一样的概率是．【答案】/【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有16种等可能的结果，其中前后两次摸出的球颜色不同的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中前后两次摸出的球颜色不同的结果有6种，∴前后两次摸出的球颜色不同的概率是，故答案为：．79 33．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．（1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M在直线y＝x上的概率；（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．【答案】（1）(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)；（2）；（3）．【详解】（1）列表得：1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)∴点M坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)．（2）P（点M在直线y＝x上）＝P（点M的横、纵坐标相等）＝＝．（3）列表如下：123123423453456∴P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝．34．在一个不透明的口袋中装有分别标有数字，，，的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球．求抽取的两张牌牌面数字之和大于的概率．【答案】79 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．根据树状图确定所有可能结果数和两张牌牌面数字之和大于的结果数，然后运用概率公式求解即可．【详解】解：所有可能情况用树状图表示如下：  由图知两张牌牌面数字可能出现的情况为：，，，，，，，，，，，共有种可能情况；牌面数字之和分别为：，，，，，，，，，，，，其中牌面数字之和大于的有种．35．在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是，3，卡片除了实数不同外，其余均相同)(1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率．(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率．【答案】(1)23(2)【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率，画出相应的树状图．（1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为4，，，直接利用概率公式求解即可求得答案．（2）根据题意画出树状图或列表，然后由图表即可求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．79 【详解】（1）解：抽出一张卡片是无理数的概率是23，理由：三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有张，抽出一张卡片是无理数的概率是23；（2）解：列表得被减数3减数33差一共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有种可能的结果，差为有理数．考点七、游戏公平性36．准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形（如图所示）．如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀．甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形（取出的是两张画三角形的纸片），也可能拼成一个房子（取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片）．若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】不公平，理由见解析【分析】此题主要考查了游戏公平性，利用列举法得出所有可能，求得相应的概率，比较即可．【详解】解：不公平，∵一共有三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形，∴取两张纸片共有三种情况：两张三角形，三角形A和正方形，三角形B和正方形，∴可能拼成3个图形，拼成菱形有1种，拼成房子有2种情况，所有拼成菱形的概率是，拼成房子的概率是，故拼成菱形的概率小于拼成房子的概率．∴游戏不公平．79 37．在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）(1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______；(2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．【答案】(1)(2)不公平，理由见解析【分析】本题主要考查了概率公式及游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）根据概率公式求解即可；（2）画出树状图，分别求得两种情况的概率，比较后即可确定答案．【详解】（1）①转盘被均分为3份，标有3的只有1份，∴转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是，故答案为：；（2）解：该游戏对双方不公平，理由如下：如图，共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4，一共有9种情况：5、6、7；6、7、8；7、8、9；∴P（和为奇数）；P（和为偶数），∴不公平．79 38．2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：(1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______；(2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不公平，理由见解析【分析】本题考查概率公式，游戏的公平性，三角形的三边关系，（1）直接根据概率公式求解即可；（2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，再根据概率公式求解即可；（3）因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，再求出小明与小华参加的概率，继而可得答案．【详解】（1）解：（1）转动转盘一次，转出的数字为3的概率是，故答案为：；（2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是，故答案为：；（3）这个游戏不公平，理由如下：79 因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，所以小明参加的概率为，小华参加的概率为，因为，所以这个游戏不公平．39．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？【答案】(1)(2)这个游戏不公平【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式求出即可；（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论．【详解】（1）解：共10名志愿者，女生4人，选到女生的概率是：；故答案为：．（2）解：根据题意画图如下：79 共有12种情况，和为偶数的情况有4种，牌面数字之和为偶数的概率是，甲参加的概率是，乙参加的概率是，这个游戏不公平．考点八、用频率估计概率40．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；第四步：估算出π的值．为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y279 ＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，可以用图中正方形区域表示，∴，再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1，可以用图中（3）区域表示，∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，∴，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，∴根据①概率计算方法可以得到：，又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，∴，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．41．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）79 A．B．C．D．【答案】B【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．设不规则图案的面积为xcm2，则有解得：x=14即不规则图案的面积为14cm2．故选：B．【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．42．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：79 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)1002005001000……小石子落在圆内(含圆上)的次数m3263153305……小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n68137347695……小石子落在圆内(含圆上)的频率0.3200.3150.306x……【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即)，则表格中的数据x=；随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在附近(结果精确到)；【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留π)【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．（1）根据概率公式计算即可；（2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论．【详解】解：（1），随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近，故答案为：0.305，0.3；（2）∵圆的面积（平方米），∴整个封闭图形的面积（平方米），答：估计整个封闭图形的面积是平方米．43．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：x（℃)15≤x<2020≤x<2525≤x<3030≤x≤35天数610113y（瓶）270330360420以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．79 (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？【答案】（1）0.9；（2）瓶【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；（2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．【详解】解：（1）依题意可知，今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为；（2）根据题意可知：该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，与时比较，六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，所以其每天的平均利润比时平均每天利润少．综上所述：时，的值达到最大．79 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率．44．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理.问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有种不同的走法：问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有种不同的走法：方法探究加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理.实践应用1问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出.(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有种：(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有种.(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是79 实践应用2问题4.小明打算用5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有种不同的染色方法.【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种.【分析】问题1.根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可，问题2.根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可，问题3.（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；（2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法；（3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率．问题4.79 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法．【详解】问题1.一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法．问题2.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有3×2=6种不同的走法．问题3.（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．答：从A点到B点的走法共有35种．（2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．79 （3）P（顺利开车到达B点）=．答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是．问题4.解：乘法原理可得：5×4×3×2×2=240（种）．答：共有240种染色方法．【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单．考点九、统计与概率的综合问题45．某校准备设置的五类劳动课程分别为：．整理与收纳；．烹饪与营养；．传统工艺制作；．新技术体验与应用；．公益劳动与志愿服务．为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题．(1)本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图；(2)扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______；(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率．【答案】(1)，补图见解析(2)(3)【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.79 （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次被调查的学生人数；求出喜欢课程的人数，补全条形统计图即可.（2）用乘以喜欢课程的人数所占的百分比，即可得出答案.（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.【详解】（1）解：本次被调查的学生有(名)。故答案为：.喜欢B课程的人数为(人)，补全条形统计图如图所示.（2）解：扇形统计图中对应的扇形的圆心角度数是故答案为：（3）解：画树状图如下：共有种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被选中的结果有：甲乙、乙甲，共种，∴甲、乙两位同学同时被选中的概率为46．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他”类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．79     (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为度．(2)若该市农村小学共有25000名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人．(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏，规则是：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？【答案】(1)72(2)7500(3)这种方法不公平，理由见解析【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数；（2）用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生中喜爱“科普常识”的小学生人数；（3）列表得出所有可能的情况数，找到符合抽得的数字之和是5的倍数的情况数，是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是5的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，进而比较求解即可．【详解】（1）解：（人）“漫画”所在扇形的圆心角为；（2）解：估计喜爱“科普常识”的小学生约有（人）；（3）解：列表如下：两数之和12341234579 234563456745678∴共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种，∴则书给小丽的概率是，给小芳的概率是∵答：这种方法不公平．【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．47．某校数学兴趣小组的同学为了解学校各班落实“光盘行动”的情况，分别调研了七、八年级各8个班某一天的餐厨垃圾质量（单位：），并将收集的数据按如下方式进行了整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示后共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），下面提供的是整理和分析后的部分信息：七年级8个班的餐厨垃圾质量分别为：，，，，，，，；八年级8个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据分别为：，，，．七、八年级抽取的各8个班级餐厨垃圾质量统计表平均数中位数众数A等级所占百分比七年级        a    八年级    b        +  根据以上信息，解答下列问题：(1)请你通过以上数据，写出上述表中字母的值______；______；______；(2)若学校将从七、八年级餐厨垃圾质量符合A79 等级的班级中随机抽取两个班级进行调研，请用列表或画树状图的方法计算被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了应用树状图和列表法求概率，中位数、众数的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．（1）根据中位数，众数的定义即可求解．（2）列树状图求解即可．【详解】（1）解：根据题意得，七年级8个班的餐厨垃圾质量中，出现的此时最多，即众数；由扇形统计图可知，；八年级的等级的班级数为个，八年级共调查8个班，故中位数为第4个和第5个数的平均数，等级1个班，等级的第3个数和第4个数是和，故八年级8个班的餐厨垃圾质量的中位数，；（2）解：七年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级中有3个，八年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级有1个，假设七年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级中3个班级为a，b，c，八年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级为d，则画树状图如下：  总共有12种情况，其中被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的情况有6种，故被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的概率．48．为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：，.，，，，，，，，，，，整理数据：甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下：79 组别                    甲41113102乙6315142分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：量平均数众数中位数方差甲74.586m47.5乙73.1847623.6根据以上信息，回答下列问题：(1)______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）；(2)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）；(3)甲校有名学生都参加此次测试，如果成绩达到分（分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．(4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲校、乙校各一名同学的概率．【答案】(1)；；乙(2)甲(3)人(4)【分析】本题考查了中位数、方差、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据乙校成绩在所占比例乘以即可得出圆心角度数，根据方差的意义即可得解；（2）根据中位数进行比较即可得解；79 （3）由样本估计总体的思想求解即可；（4）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】（1）解：把甲校名学的数学从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数．故答案为：；乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是，故答案为：；甲校成绩的方差乙校成绩的方差，本次测试成绩更整齐的是乙校．故答案为：乙；（2）解：在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生，理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是，，故该学生是甲校的学生；故答案为：甲；（3）解：人，答：估计甲校能参加第二轮比赛的人数约有人．（4）解：画树状图如图：共有种等可能的结果数，其中甲校、乙校各一名同学的结果数为，甲校、乙校各一名同学的概率．79