2025年春人教版九年级数学下册 第二十八章综合测试卷

2025年春人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2024天津]cos45°－1的值等于(　　)A．0B．1C.－1D.－12．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(　　)A．45°B．35°C．25°D．15°3．若∠A是锐角，且sinA＝，则(　　)A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4.已知：sin232°＋cos2α＝1，则锐角α等于(　　)A．32°B．58°C．68°D．以上结论都不对5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则cscA＝，那么下列说法正确的是(　　)A．cscB·sinA＝1B．cscB＝C．cscA·cosB＝1D．csc2A＋csc2B＝16．[2024东莞模拟]如图，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝AD，BD平分∠ABC，则tanA的值为(　　)20 A.B.C.D.7.如图①是一款桌面可调整的学习桌，图②是其示意图，其中桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角(∠ABC)的度数为α，则桌沿(点A)处到地面的高度h为(　　)A．(60sinα＋70)cmB．(60cosα＋70)cmC．(60tanα＋70)cmD．130cm8．如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC.他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现了C1和C2两个位置，那么C1C2的长是(　　)A．3cmB．4cmC．2cmD．2cm9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C，D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，若BC＝5，cosA＝20 ，则CF的长为(　　)A.B．3C.D.10．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E.研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图②的图象表示，已知点M(8，2)，则∠B的正切值为(　　)A.B.C.D.二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11.若规定cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则cos15°＝________．12．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为(x，8)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则x的值为________．13．[2024眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE20 的长为10m，则大树AB的高为________m.14．[2024成都模拟]如图，△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，连接AG，与边DC，DE，FE分别交于点P，Q，N.若△DPQ是以∠DPQ为直角的直角三角形，则sin∠BAC＝________．15．在平面直角坐标系中，用12个含有30°角的直角三角形拼成如图所示的图形，若A0A1＝1，则图中与△OA11A12位似的三角形的直角顶点坐标是________．三、解答题(共75分)16．(8分)观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝.(1)根据上述规律，计算：sin2α＋sin2(90°－α)＝________；(2)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.17．(10分)设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ20 角三角函数的两条基本性质：①tanθ＝；②cos2θ＋sin2θ＝1，利用这些性质解答本题．已知cosθ＋sinθ＝，求：(1)tanθ＋；　　　　　　　　　　　　　(2)|cosθ－sinθ|.18．(10分)[2024北京海淀区模拟]如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AD：AB＝2：3，BD＝，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝120°，求CD的长．19．(11分)在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下：活动课题测量教学楼前旗杆的高度CD.活动工具一把皮尺(最大长度是10m)和一台测角仪.20 测量过程(1)在教学楼的底端A处，测得旗杆顶端C的仰角是40°，然后爬到教学楼二楼的B处，测得旗杆底端D的俯角是15°.(2)测得AB＝4m.解决问题根据以上数据计算旗杆CD的高度．(结果保留一位小数)(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)20 20．(11分)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，FC⊥AC于C，与⊙O及AD的延长线分别交于点E，F，且＝.(1)求证：△CBA∽△FDC；(2)如果AC＝9，AB＝4，求tan∠ACB的值．21．(12分)[2024苏州]图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm.(1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)；(2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα＝(α为锐角)时，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)．20 22．(13分)如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN，在码头西端M的正西方向23.5km处有一观察站A，某时刻测得A处的西偏北60°且与A相距40km的B处，有一艘匀速直线航行的轮船，轮船沿南偏东51.8°的方向航行，经过2h，又测得该轮船位于A处的东偏北30°的C处．(参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40，≈1.73)(1)填空：∠ABC＝________°，∠BAC＝________°；(2)求轮船航行的速度；(精确到0.1km/h)(3)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头MN靠岸？请说明理由．20 20 20 答案一、1.A　2.C　3.A　4.A　5.C6．D【点拨】过点D作AB的垂线，垂足为M，如图．∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DM⊥AB，∴CD＝MD.∵DC＝AD，则设DC＝a，则AD＝3a.∴DM＝DC＝a.∴在Rt△ADM中，AM＝＝2a.∴tanA＝＝＝.7．A8．D【点拨】过点B作BM⊥AC2于点M，如图．∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，∴BM＝AB＝3cm.∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，20 ∴C1M＝C2M＝＝cm.∴C1C2＝2cm.故选D.9．A【点拨】由题知，BF平分∠ABC，过点F作AB的垂线，垂足为M，如图．∵在Rt△ABC中，cosA＝＝，∴设AC＝12x，则AB＝13x.又∵BC＝5，∴(12x)2＋52＝(13x)2，解得x＝1(负值已舍去)．∴AC＝12，AB＝13.∵BF平分∠ABC，∠C＝90°，FM⊥AB，∴CF＝MF.∵S△ABC＝S△BCF＋S△ABF，即×5×12＝×5·CF＋×13·MF，∴CF＝.10．A【点拨】∵AN∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形．∴BE＝AD.根据题图②，得M点在图象拐点的右侧，即点E在点C的右侧，20 ∴AD＝x＝8，EC＝y＝2.∴BE＝AD＝8.∴BC＝BE－EC＝8－2＝6.如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BF＝CF＝BC＝3.∴AF＝＝.∴∠B的正切值＝＝.二、11.　12.613．(4－2)【点拨】如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则∠BEH＝∠DCF.∵斜坡CD的坡度i＝1：2，20 ∴在Rt△BEH中，tan∠BCF＝tan∠BEH＝＝.∴设BH＝xm，则EH＝2xm.∴BE＝＝x＝10m.∴x＝2.∴BH＝2m，EH＝4m.∵∠EAH＝180°－60°－90°＝30°，∴在Rt△AEH中，AH＝EH＝4m.∴AB＝AH－BH＝(4－2)m.14.【点拨】∵△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，∴BC＝CE＝EG，∠B＝∠DCE＝∠FEG.∴AB∥DC∥EF.∴△CPG∽△BAG.∴＝.令AB＝AC＝m，则＝，∴PC＝m.∴在Rt△APC中，AP＝＝m.∴sin∠ACP＝＝＝.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACP.∴sin∠BAC＝sin∠ACP＝.15.【点拨】由题意，OA1＝2A0A1＝2，OA2＝OA1÷cos30°，OA3＝OA1÷cos230°，…，20 OA5＝OA1÷cos430°＝2÷＝，∴A5(－×，×)，即A5.∴与△OA11A12位似的三角形的直角顶点坐标为.三、16.【解】(1)1(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(sin21°＋sin289)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…1＋＝44＋＝.17．【解】∵cosθ＋sinθ＝，∴(cosθ＋sinθ)2＝，即cos2θ＋2cosθ·sinθ＋sin2θ＝.∴cosθ·sinθ＝.(1)tanθ＋＝＋＝＝＝4.(2)∵(cosθ－sinθ)2＝cos2θ－2cosθ·sinθ＋sin2θ＝1－2×＝，20 ∴cosθ－sinθ＝±.∴|cosθ－sinθ|＝.18．【解】(1)如图，过D作DE⊥AB于E，设AE＝a.在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°.∴AD＝2a，DE＝a.∵AD：AB＝2：3，∴AB＝3a.∴EB＝2a.∴在Rt△DEB中，(a)2＋(2a)2＝()2，解得a＝1.∴DE＝，BE＝2.∴sin∠ABD＝＝＝.(2)过C作CF⊥DE于F.∵CB⊥AB，CF⊥DE，DE⊥AB，∴∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°.∴四边形CFEB是矩形．∴CF＝EB＝2，BC＝EF，∠FCB＝90°.又∵∠DCB＝120°，∴∠DCF＝30°.∴DF＝CF·tan30°＝.∴CD＝2DF＝.19．【解】由题意，得∠ADB＝15°.在Rt△ABD中，20 ∵∠BAD＝90°，∠ADB＝15°，AB＝4m，∴AD＝≈14.81m.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝40°，∴CD＝AD·tan40°≈14.81×0.84≈12.4(m)．∴旗杆CD的高度约为12.4m.20．(1)【证明】∵＝，∴∠FCD＝∠CAB.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠FDC＝∠ABC.∴△CBA∽△FDC.(2)【解】∵C是的中点，∴＝.∴DC＝AC＝9.∵△CBA∽△FDC，∴＝.∴＝.∴CF＝.∵△CBA∽△FDC，∴∠ACB＝∠CFD.∵FC⊥AC，20 ∴tan∠CFA＝＝＝.∴tan∠ACB＝tan∠CFA＝.21．【解】(1)过点C作CE⊥AD，垂足为E，如图．由题意得AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm.∵AD＝50cm，∴ED＝AD－AE＝50－20＝30(cm)．∴在Rt△CED中，CD＝＝＝10(cm)．∴可伸缩支撑杆CD的长度为10cm.(2)过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G，如图．由题意得四边形ABFG为矩形，∴AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°.∵在Rt△ADG中，tanα＝＝，∴设DG＝3xcm，则AG＝4xcm.∴AD＝＝＝5x(cm)．∵AD＝50cm，20 ∴5x＝50，解得x＝10.∴AG＝40cm，DG＝30cm.∴BF＝AG＝40cm，DF＝DG＋FG＝30＋10＝40(cm)．又∵BC＝20cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20(cm)．∴在Rt△CFD中，CD＝＝＝20(cm)．∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20cm.22．【解】(1)21.8；90(2)在Rt△ABC中，AB＝40km，∠ABC＝21.8°，∴BC＝≈≈43.01(km)．∴轮船航行的速度＝≈≈21.5(km/h)．∴轮船航行的速度约为21.5km/h.(3)轮船能正好至码头MN靠岸．理由：设轮船的航线BC与海岸线l交于点D，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，∴∠DEA＝90°.20 设AE＝xkm，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DEA.∴AC∥DE.∴∠CAD＝∠ADE＝30°.∴AD＝2AE＝2x(km)，DE＝AE＝x(km)．又∵AB＝40km，∴BE＝AE＋AB＝(x＋40)km.在Rt△BED中，∵∠EBD＝21.8°，∴tan21.8°＝≈0.4.∴DE≈0.4BE.∴x≈0.4(x＋40)，解得x≈12.03.∴AD≈24.1(km)．∵AM＝23.5km，MN＝1km，∴AN＝AM＋MN＝24.5(km)．∴AM＜AD＜AN.∴轮船能正好至码头MN靠岸．20