2025年春苏科版九年级数学下册 第5章综合测试卷

2025年春苏科版九年级数学下册第5章综合测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．抛物线y＝x2＋2x的对称轴是(　　)A．直线x＝1B．直线x＝－1C．直线x＝－2D．直线x＝22．已知点(1，y1)，(－1，y2)都在函数y＝x2＋4x＋5的图像上，则y1，y2的大小关系为(　　)A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定3.如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m．建立如图②的平面直角坐标系，则抛物线的表达式是(　　)18 A．y＝－2x2B．y＝2x2C．y＝－x2D．y＝x24．已知A(－1，y1)，B(2，y2)，C(4，y3)是二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＜0)的图像上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y25．[2024贵州]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　)A．二次函数图像的对称轴是直线x＝1B．二次函数图像与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当x＜－1时，y随x的增大而减小D．二次函数图像与y轴的交点的纵坐标是318 6.二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图像如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是(　　)A．1＜x＜4B．x＜1C．x＞4D．x＜1或x＞47．[2024盐城盐都区月考]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，有下列结论：①ab＜0；②a＋b＋c＜0；③a＝b；④b＋2c＜0；⑤a－2b＋4c＞0.其中正确的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个18 8.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，则下列结论正确的是(　　)A．m＋n＝1B．m－n＝1C．mn＝1D.＝1二、填空题(每小题3分，共30分)9．将函数y＝－(x＋3)2－2的图像先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得图像的函数表达式为__________．10．[2024常州天宁区校级模拟]若抛物线y＝(x－m)2＋m－3的对称轴是直线x＝2，则它的顶点坐标是________．18 11.已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________．12．九年级数学课本上，小丽用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，列了如下表格：x…－3－2－101…y…－2－5－6－54…由于粗心，小丽算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝________．13．[2023泰安]二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是________．14．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h(单位：m)关于离地时间t(单位：s)的函数表达式是h＝30t－5t2，则爆竹点燃后升空的最大高度是________m.15．[2024泰兴月考]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接AP，若AB＝12，AP＝10，则a的值是________．18 16.如图，已知抛物线y＝x2－3x＋2与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是____________．17．[2024上海]对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3的“开口大小”为________．18 18．[2024南京校级模拟]已知函数y＝的图像如图所示，若直线y＝x＋m与该图像只有一个交点，则m的取值范围为____________．三、解答题(共66分)19．(6分)[2024扬州江都区月考]在平面直角坐标系中，设二次函数y＝－(x－2m)2＋3－m(m是实数)．(1)当m＝2时，若点A(8，n)在该函数图像上，求n的值．(2)小明说该二次函数图像的顶点在直线y＝－x＋3上，你认为他的说法对吗？为什么？18 20．(8分)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M(－2，3)．(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；(2)当－3≤x≤0时，y的取值范围为________；(3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，旋转后的抛物线的表达式为________．21．(8分)[2024南京栖霞区开学测试]已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与y轴正半轴交于一点．(1)画出一个满足条件的函数图像(要求：只需画出函数的大致图像，但需标注必要的数据)；(2)写出该函数的两个不同类型的结论；18 (3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m，n为常数，且m＜n)在该函数图像上，比较y1与y2的大小．22．(10分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价为52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．(1)求肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；(2)设肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)，y表示该商家销售肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．18 23．(10分)[2024浙江]已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图像经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－.(1)求二次函数的表达式；(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图像上，求m的值；(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．24．(12分)如图，已知A，B，C三点的坐标分别为(0，4)，(－3，0)，(2，0)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，连接AB.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)过点C作线段AB的平行线，交抛物线于点D，连接AD，试判断四边形ABCD的形状；18 (3)点M为线段CD上一动点，过点M作y轴的平行线，交该抛物线于点N，当线段MN的长最大时，求点M的坐标．18 25．(12分)二次函数y＝ax2＋bx＋2的图像经过A(－1，0)．(1)试求二次函数的表达式(用含有a的式子表示)；(2)已知点P(1，2)，Q(1，3)，连接PQ，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN，若二次函数图像与正方形PQMN的边有公共点，求a的取值范围．(3)在(2)中，已知直线l：y＝x＋a＋，是否存在a，使得直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．18 答案一、1.B　2.A　3.C　4.D　5.D　6.D　7.C　8.B二、9.y＝－x2　10.(2，－1)　11.9　12.1　13.14．45　15.－　16.(0，2)或(3，2)　17.418．m＞或m＜0三、19.解：(1)当m＝2时，y＝－(x－4)2＋1.∵点A(8，n)在该函数图像上，∴n＝－×(8－4)2＋1＝－7.(2)小明的说法正确．理由如下：由题意得，该抛物线的顶点是(2m，3－m)，当x＝2m时，y＝－×2m＋3＝－m＋3，∴顶点(2m，3－m)在直线y＝－x＋3上．故小明的说法正确．20．解：(1)把M(－2，3)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得－4－2m＋3＝3，解得m＝－2，∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.∴抛物线的顶点坐标为(－1，4)．(2)0≤y≤4(3)y＝(x＋1)2＋418 21．解：(1)∵二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与y轴正半轴交于一点，∴－3a＞0，即a＜0.∴抛物线开口向下．∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－3)(x＋1)，∴二次函数y＝ax2－2ax－3a(a为常数，且a≠0)的图像与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)．画出函数的大致图像如图所示．(2)答案不唯一，由(1)可知函数y＝ax2－2ax－3a的图像开口向下，∴该函数有最大值．由函数y＝ax2－2ax－3a可知其对称轴为直线x＝－＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．(3)当＝1时，y1＝y2；当＜1时，y1＜y2；当＞1时，y1＞y2.22．解：(1)设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a－20)元，根据题意列方程得，＝，解得a＝50，18 经检验a＝50是方程的解，此时a－20＝30，∴肉粽每盒进价为50元，豆沙粽每盒进价为30元．(2)由题意，得当x＝52时，每天可售出180盒，当肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)时，每天可售出[180－10(x－52)]盒，∴y＝(x－50)[180－10(x－52)]＝(x－50)(－10x＋700)＝－10x2＋1200x－35000＝－10(x－60)2＋1000.∵－10＜0，52≤x≤70，∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1000.23．解：(1)设二次函数的表达式为y＝＋k，把点A(－2，5)的坐标代入得＋k＝5，解得k＝，∴y＝＋＝x2＋x＋3.(2)点B平移后的坐标为(1－m，9)，由题意得9＝(1－m)2＋(1－m)＋3，解得m＝4或m＝－1(舍去)，∴m的值为4.(3)当n<－时，最大值与最小值的差为5－[(n＋)2＋]＝，解得n1＝n2＝－，均不符合题意，舍去；18 当－≤n≤1时，最大值与最小值的差为5－＝，符合题意；当n>1时，最大值与最小值的差为＋－＝，解得n1＝1或n2＝－2，均不符合题意，舍去；综上所述，n的取值范围为－≤n≤1.24．解：(1)将点A(0，4)，C(2，0)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c得，解得∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－x＋4.(2)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋a，将点A(0，4)，B(－3，0)的坐标分别代入得，解得∴直线AB的函数表达式为y＝x＋4.∵CD∥AB，∴设直线CD的函数表达式为y＝x＋t.将点C(2，0)的坐标代入得，×2＋t＝0，解得t＝－，∴直线CD的函数表达式为y＝x－.联立y＝x2－x＋4，解得x＝2或x＝5，18 ∴D(5，4)．∵A(0，4)，∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．∵A，B，C三点的坐标分别为(0，4)，(－3，0)，(2，0)，∴AB＝BC＝5.∴四边形ABCD是菱形．(3)设M，则N，∴MN＝m－－＝－m2＋m－＝－＋.∴当m＝时，线段MN的长最大．∴点M的坐标为.25．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，∴a－b＋2＝0.∴b＝a＋2.∴二次函数的表达式为y＝ax2＋(a＋2)x＋2.(2)∵四边形PQMN是正方形，且P(1，2)，Q(1，3)，∴M(2，3)，N(2，2)．当抛物线经过点P(1，2)时，a＋2＋a＋2＝2，解得a＝－1；当抛物线经过点M(2，3)时，4a＋2a＋4＋2＝3，解得a＝－；∴当－1≤a≤－时，二次函数图像与正方形PQMN的边有公共点．(3)不存在a，使得直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN18 (包括内部与边界)，理由如下：由题意可知，直线l绕着点(－1，1)旋转．当直线经过点N(2，2)时，2a＋＋a＋＝2，解得a＝－；当直线经过点Q(1，3)时，a＋＋a＋＝3，解得a＝；∴当－≤a≤时，直线l与正方形PQMN有交点．综合(2)的结论，两者的解集没有公共部分，∴不存在直线l与二次函数图像同时经过正方形PQMN(包括内部与边界)．18