2025年春苏科版九年级数学下册 第6章综合测试卷

2025年春苏科版九年级数学下册第6章综合测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1.如果3x＝4y(y≠0)，那么下列比例式中成立的是(　　)A.＝B.＝C.＝D.＝2．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC：AB＝(　　)A．(－1)：2B．(＋1)：2C．(3－)：2D．(3＋)：23．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是(　　)A．∠ADC＝∠BACB.＝C．CA平分∠BCDD．AC2＝BC·CD4．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(　　)A．OA·OC＝OD·OBB．∠B＝∠CC．∠A＝∠DD.＝5．[2024南京鼓楼区模拟]凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的(　　)A.B.C.D.6．[2024湖南]如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，下列结论中，错误的是(　　)18 A．DE∥BCB．△ADE∽△ABCC．BC＝2DED．S△ADE＝S△ABC7．如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是(　　)A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm28．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，点F是重心，点G在CD上且DG：GC＝1：2，则△CEG的面积为(　　)A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2二、填空题(每小题3分，共30分)9．若两个相似图形的周长比为2：1，则它们的面积比为________．10．[2024咸阳模拟预测]大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比＝)．如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC)，若AC＝20cm，则BC的长为________cm.(结果保留根号)18 11.如图，要使△AFE∽△ABC，可以添加条件：____________．12．[2024丹阳校级月考]如图，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，则BD的长为________．13．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为________．14．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的边长都是1，若格点三角形ABC与三角形DEF成位似关系，则位似中心的坐标是________．15．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点M在矩形的对角线AC上，若AM＝3MC，则EM的长为________．16．[2023无锡]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG＝________．17．[2024眉山]如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥18 BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为________．18．[2024成都]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若BE＝BC，CD＝2，则BD＝________．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长．18 20．(8分)如图，在平面直角坐标系，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点为网格线的交点)，在给定的网格中，解答下列问题：(1)以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1.(2)以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1.①画出△A1B2C1；②求点A运动路径的长度．21．(8分)[2024威海]如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD.点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG18 的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长．22．(8分)如图，BD与CE是△ABC的高，BD，CE交于点F，连接DE.(1)求证：△DEF∽△CBF；(2)下列结论：①△EBF∽△DCF；②△ABD∽△ACE；③△ADE∽△ABC；④△BEC∽△18 CDB.其中所有正确结论的序号是________________；(3)若BE＝12，CE＝14，CD＝4，求的值．23．(10分)[2024盐城盐都区校级模拟]如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，AC⊥x轴，垂足为C，AB边与y轴交于点D，反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点A.(1)若＝，求直线AB和反比例函数的表达式；(2)若k＝8，将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图像于点E，交x轴于点F，求点E的坐标．18 24．(12分)[2023南京改编]如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔AB，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)，AB∥CD.(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．18 ①画出此时AB所在位置的示意图；②求CD的长度的最大值．25．(12分)【感知】(1)小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且AE＝AC.连接AD，BE交于点G，求的值．18 小明发现，过点D作AC的平行线或过点E作BC的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示(或按自己的思路)写出求解过程．【尝试应用】(2)如图②，在△ABC中，点D为AC上一点，AB＝AD，连接BD，若AE⊥BD，分别交BD，BC于点E，F.若AD＝9，CD＝3，AF＝8，求AE的长．【拓展提高】(3)如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE，AC分别交于点G，M，若＝，△BEG的面积为2，求△ABG的面积．18 18 答案一、1.B　2.A　3.B　4.D　5.D　6.D　7.D　8.B二、9.41　10.(30－10)11．∠AEF＝∠ACB(答案不唯一)12．3　13.1：3　14.(－1，0)　15.　16.2：317.　18.三、19.(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA.(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，∴＝.∴＝.∴BD＝3.6.20．解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求．(2)①如图所示，△A1B2C1即为所求．②由图可知，AC1＝＝2，∴点A运动路径的长度＝＝＝π.18 21．(1)证明：如图，连接OC，则∠OAC＝∠OCA.又∵BC＝CD，∴＝.∴∠DAC＝∠CAB＝∠DAB.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∴∠OCE＝∠F.∵EH平分∠FEG，∴∠FEG＝2∠HEG.∴∠F＝∠FEG－∠FAE＝2∠HEG－2∠CAB＝2＝2∠H＝2×45°＝90°.∴∠OCE＝∠F＝90°.又∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．(2)解：设⊙O的半径为r，则OE＝OB＋BE＝r＋2.∵OC2＋CE2＝OE2，∴r2＋42＝，解得r＝3.∴EA＝AB＋BE＝2r＋2＝8，OE＝5.又∵OC∥AD，∴△ECO∽△EFA.∴＝，即＝，解得AF＝.22．(1)证明：∵BD与CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.18 ∴B，E，D，C四点共圆．∴∠DBC＝∠DEC，∠BCF＝∠EDF.∴△DEF∽△CBF.(2)①②③(3)解：在Rt△BEC中，BC2＝BE2＋EC2.在Rt△BDC中，BD2＝BC2－CD2＝BE2＋EC2－CD2.∵BE＝12，CE＝14，CD＝4，∴BD＝＝18.∵易得△EBF∽△DCF，∴＝＝＝＝.∴EF＝3DF，BF＝3CF.∵CE＝EF＋CF＝3DF＋CF＝14，BD＝DF＋BF＝DF＋3CF＝18，∴DF＝3，CF＝5.∵△DEF∽△CBF，∴＝＝.23．解：(1)在Rt△ABC中，AC⊥x轴，垂足为C，∴AC∥OD，∴＝＝.∵AC＝8，BC＝4，∴＝.∴BO＝1.∴OC＝3.∴A(3，8)，B(－1，0)．设直线AB的函数表达式为y＝ax＋b，将点A，B的坐标代入得，解得18 ∴直线AB的函数表达式为y＝2x＋2.∵反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点A，∴k＝3×8＝24.∴反比例函数的表达式为y＝.(2)作EH⊥x轴于点H，如图所示，由题意可知CF＝BC＝4，AC＝8，∴设A(p，8)．∵点A在反比例函数y＝的图像上，∴p＝1.∴A(1，8)．∴OC＝1.∴OF＝5.设点E的坐标为，∴OH＝x，EH＝.∴FH＝5－x.易得EH∥AC，∴＝，即＝，解得x1＝1(舍去)，x2＝4.∴点E的坐标为(4，2)．24．解：(1)设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN，如图①.18 ∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，△OEF∽△OMN，△OEB∽△OMD.∴＝，＝，＝.∴＝.∵EF＝AB，∴MN＝CD.∴沿着AB方向平移铅笔时，CD的长度不变．　　(2)①示意图如图②所示，以点A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于点H时，此时CD的长度最大，最大为CQ.此时AB所在位置为AH.②如图②，延长OP与地面交于点R.∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA∽△GPO.∴＝＝＝.设GA＝xcm，则GO＝2xcm，在Rt△OPG中，OP2＋PG2＝OG2，∴362＋(18＋x)2＝(2x)2.解得x1＝30，x2＝－18(舍去)．∴AG＝30cm.易得＝，∴＝.18 解得CQ＝80cm，即CD的长度的最大值为80cm.25．解：(1)如图①，过点D作DH∥AC交BE于点H，则△AGE∽△DGH.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵HD∥AC，∴△BHD∽△BEC.∴＝＝＝.∴DH＝CE.∵点E是AC的一个三等分点，且AE＝AC，∴AE＝CE.∴DH＝AE.∴GH＝GE.∵BH＝BE，∴BH＝HE.∴BG－GH＝GE＋GH.∴BG＝3GE.∴＝3.(2)如图②，取BC的中点H，连接EH，则BH＝CH.∵AB＝AD＝9，AE⊥BD于点E，CD＝3，∴BE＝DE，AC＝AD＋CD＝9＋3＝12.18 ∴EH∥CD，EH＝CD＝.∵EH∥AC，∴△EHF∽△ACF.∴＝＝.又∵AF＝8，∴EF＝AF＝1.∴AE＝AF－EF＝8－1＝7.(3)如图③，作EL∥BF交AC于点L.∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.∴＝＝1.∴CM＝2ML.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB.∴△CMF∽△AMB.∴＝＝＝.∵EL∥GM，∴＝＝＝.∴AG＝5EG.∴S△ABG＝5S△BEG.∵△BEG的面积为2，∴△ABG的面积＝2×5＝10.18