2025年春苏科版九年级数学下册 第7章综合测试卷

2025年春苏科版九年级数学下册第7章综合测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．[2024高邮校级模拟]Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinA的值为(　　)A.B.C.D．22．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝4，c＝5，则cosA的值为(　　)A.B.C.D.3.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝．已知风筝拉线长100m且拉线与地面夹角为65°(如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计)，则风筝离地面的高度可以表示为(　　)A．100sin65°B．100cos65°C．100tan65°D.4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°5．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．[2024深圳]如图，为了测量某电子厂AB的高度，小明用高1.8m的测量仪EF16 测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为(　　)A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m7．[2024常州江宁区模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高线，设∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，则(　　)A．c＝bcosA＋asinBB．c＝bsinA＋asinBC．c＝bsinA＋acosBD．c＝bcosA＋acosB8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)A.B.C.D.二、填空题(每小题3分，共30分)9．若2cosA＝1，则锐角∠A＝________°.10．[2024江阴校级期中]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值为________．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC的长为________．12．[2024南通通州区月考]如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB16 上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是________．13．[2024苏州高新区模拟]已知正六边形的内切圆半径为，则正六边形的周长为________．14.在△ABC中，AB＝AC＝2，BD是AC边上的高，且BD＝，则∠ACB的度数是________．15.图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为________分米．(结果用含根号的式子表示)16．[2024盐城模拟]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin的值是________．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF.已知tan∠DFE＝，CE16 ＝4，则AC＝________.18.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，AC＝，则AB的长为________．三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)[2024盐城]|π－3|＋2sin30°－(－2)0;(2)－cos30°＋sin45°.20．(8分)[2024苏州工业园区校级月考]在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知∠C＝90°，∠B＝60°，a＋c＝12，求a，b，c的值及∠A的度数．16 21．(8分)如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，求AC的长．22．(8分)如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长．16 23．(8分)[2024东海一模]如图①是一个手机支架，图②是其侧面示意图．AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC＝8cm，AB＝16cm.当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)24．(8分)[2024山东]【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P16 之间的距离．【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60m，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.画出示意图，如图①.【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离．(参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图②，选择合适的点D，E，F，使得点A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当点F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．(2)乙小组的方案用到了________．(填写正确答案的序号)①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．25．(8分)[2024大庆]如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△16 ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G.(1)求证：AG∥CD；(2)求证：PA2＝PG·PB；(3)若sin∠APD＝，PG＝6.求tan∠AGB的值．26．(10分)定义：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ16 －cosαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.例如：cos30°＝cos(60°－30°)＝cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝×＋×＝.(1)cos15°＝________，sin90°＝________，sin2x＝________；(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b.求证tanA＝；(3)利用(2)中的结论证明：tan(α＋β)＝(1－tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0)．16 16 答案一、1.C　2.C　3.A　4.B　5.B　6.A　7.D　8.A二、9.60　10.　11.1　12.　13.1214．30°或60°　15.(6－2)　16.　17.18.或1或3　点拨：∵△ABC是“倍角三角形”，∴分四种情况讨论：当∠A＝2∠B＝90°时，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AB＝AC＝；当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得AB＝AC＝；当∠B＝2∠C时，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠C＝30°，∠B＝60°.∵AC＝，∴AB＝＝＝1；当∠C＝2∠B时，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠B＝30°，∠C＝60°.∴AB＝AC＝3.综上所述，AB的长为或1或3.三、19.解：(1)原式＝π－3＋2×－1＝π－3＋1－1＝π－3.(2)原式＝－×＋×＝0.20．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°.∴c＝2a.又∵a＋c＝12，∴3a＝12.∴a＝4.∴c＝8.∴b＝＝＝4.21．解：作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴∠C＝∠DAC.∴AD＝CD.设AC＝x，∵AD＝AC·sinC＝AC，16 ∴AD＝CD＝x.∵AB＝AC＝x，∴BD＝＝＝x.又∵BC＝BD＋CD，BC＝＋，∴x＋x＝＋，解得x＝2.∴AC的长为2.22．解：∵在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，∴∠ABC＝60°，BC＝2，AB＝4.由旋转的性质可知∠B1＝∠ABC＝60°，B1C＝BC＝2，A1B1＝AB＝4，∴△BCB1是等边三角形．∴BB1＝BC＝2.∴BA1＝A1B1－B1B＝4－2＝2.23．解：如图，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CD⊥BM，垂足为D，∴四边形CDMN是矩形．∴CN＝DM.在Rt△ABM中，∠BAM＝60°，16 AB＝16cm，∴BM＝AB·sin60°＝16×＝8(cm)，∠ABM＝90°－∠A＝30°.又∵∠ABC＝50°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABM＝20°.又∵∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°－∠CBD＝70°.在Rt△BDC中，BC＝8cm，∴BD＝BC·sin70°≈8×0.94＝7.52(cm)．∴DM＝BM－BD≈8－7.52≈6.3(cm)．∴CN＝DM≈6.3cm.答：点C到AE的距离约为6.3cm.24．解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H.∵AB＝60m，∠PAB＝79°，∴AH＝AB·cos79°≈60×0.19＝11.4(m)，BH＝AB·sin79°≈60×0.98＝58.8(m)．∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°.∵tan∠APB＝tan37°＝≈0.75.16 ∴PH≈＝78.4(m)．∴AP＝AH＋PH≈11.4＋78.4＝89.8(m)，即A，P两点间的距离约为89.8m.(2)②　点拨：∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∴∠ADP＝∠EDF.∴△ADP≌△EDF(ASA)．∴AP＝EF.∴只需测量EF即可得到AP的长度．∴乙小组的方案用到了三角形全等．25．(1)证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上，∴AB⊥CD.∵AB为⊙O的直径，AG是⊙O的切线，∴AG⊥AB.∴AG∥CD.(2)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DAB＝∠GAD.∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，∴∠CBD＝2∠ABD.∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠PAD＝180°－∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD.∴∠PAG＝∠PAD－∠GAD＝2∠ABD－∠ABD＝∠ABD.又∵∠APG＝∠BPA，∴△APG∽△BPA.∴＝，即PA2＝PG·PB.(3)解：∵sin∠APD＝＝，∴设AD＝a，AP＝3a，16 ∴PD＝＝2a.∴tan∠APD＝＝＝.由折叠可得AC＝AD＝a，∴PC＝PA＋AC＝3a＋a＝4a.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△PCB中，tan∠CPB＝＝，∴CB＝PC＝a.由折叠可得BD＝BC，∴BD＝a.∵AD⊥BD，GA⊥AB，∴∠AGB＝90°－∠GAD＝∠DAB.∴tan∠AGB＝tan∠DAB＝＝＝.26．(1)＋；1；2sinxcosx(2)证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b，∴sinA＝，cosA＝，tanA＝.∵＝＝，∴tanA＝.(3)证明：∵tan(α＋β)＝＝，16 ＝＝＝＝，∴tan(α＋β)＝.16