2025年春华师版九年级数学下册 第26章综合测试卷

2025年春华师版九年级数学下册第26章综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.[20 教材P4习题T1变式]下列函数中，y是关于x的二次函数的是(　　)A．y＝ax2＋bx＋c　B．y＝x(x－1)C．y＝D．y＝(x－1)2－x22．将抛物线y＝2(x＋1)2－1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为(　　)A．y＝2(x－1)2B．y＝2(x＋3)2C．y＝2(x－1)2－2D．y＝2(x＋3)2－23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　)A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞14．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，化简－＝(　　)A．2a－bB．－2a＋bC．－2a－bD．－b5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是(　　)20 6.[20 教材P19例5变式]如图，用一根长60cm的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架ABCD的最大面积为(　　)A．150cm2B．148cm2C．135cm2D．120cm27．某同学将如图所示的三条间距相同的水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴，三条同样间距的竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴，并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a＜0)的图象，那么该同学选择作为x轴和y轴的直线分别为(　　)A．m3，m4B．m2，m4C．m3，m6D．m2，m68．[2024聊城东昌府区模拟]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－1<x1<0，1<x2<2.下列结论：①abc<0；②2a＋b>0；③4a－2b＋c<0；④b>1；⑤当x＝m(1<m<2)时，m(am＋b)<2－c.其中正确结论的个数是(　　)A．5B．4C．3D．220 9.若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的“倍值点”，则s的取值范围是(　　)A．s<－1B．s<0C．0<s<1D．－1<s<010.如图①，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3.点D从点A出发沿折线A－B－C运动到点C停止，过点D作DE⊥AC，垂足为E.设点D运动的路径长为x，△CDE的面积为y，若y与x的对应关系图如图②所示，则b－a的值为(　　)A.20 B.C.D.二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．已知(－3，y1)，(4，y2)，(－1，y3)是抛物线y＝x2－4x上的点，则y1，y2，y3用“＜”连接起来是________________．12．[2024上海浦东模范中学月考]根据表格中的数据估计方程x2＋2x＝6其中一个解的近似值．x1.631.641.651.66…x2＋2x5.91695.96966.02256.0756…则方程x2＋2x＝6的一个解大约是________．(精确到0.01)13.以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图①)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t220 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图②)．若h1＝1.21h2，则t1∶t2＝________.14．二次函数y＝ax2－3ax＋3的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为______________．15．如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝________.三、解答题(共75分)16．(8分)已知函数y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，当m为何值时，y是x的二次函数？17．(10分)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求此抛物线的顶点坐标；(2)已知P为抛物线y＝－x2＋bx＋c上一点(不与点B重合)，若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y＝－x＋3上，求点P的坐标．20 18.(13分)如图①是位于安顺的坝陵河大桥．某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座桥的模型，它的两桥塔AD，BC之间的悬索DPC呈抛物线形(如图②所示)，悬索上设置有若干条垂直于水平线AB的吊索，AD＝BC＝10cm，AB＝32cm，悬索上的最低点P到AB的距离PO＝2cm.(悬索DPC与AB在同一平面内)(1)建立平面直角坐标系(如图②所示)，求悬索DPC所在抛物线的表达式；(2)根据设计要求，从抛物线的顶点P开始，每相隔2cm就有一条吊索，当吊索高度大于或等于4cm时，需加固．求有多少条吊索需要加固．20 19．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－(a＜0)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位，得到点B，点B在抛物线上．(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)已知点P，Q(2，2)，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．20 20．(14分)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60.(1)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式．(2)若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？20 21．(17分)【定义与性质】如图，记二次函数y＝a(x－b)2＋c和y＝－a(x－p)2＋q(a≠0)的图象分别为抛物线C和C1.定义：若抛物线C1的顶点Q(p，q)在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P(b，c)在C1上．【理解与运用】(1)若二次函数y＝－(x－2)2＋m和y＝－(x－n)2＋的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，则m＝________，n＝________.【思考与探究】(2)设函数y＝x2－2kx＋4k＋5的图象为抛物线C2.①若函数y＝－x2＋dx＋e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)(x1<x2)，请直接写出x1的取值范围．20 20 答案一、1.B　2.A　3.C　4.D　5.C　6.A　7.D8．B【点拨】∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴－>0.∴b>0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0.∴abc<0，故①正确．由题图可得0<－<1，∴b<－2a，∴2a＋b<0，故②错误．由题图可得，当x＝－2时，y<0，即4a－2b＋c<0，故③正确．由题图可得，当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，当x＝1时，y＝a＋b＋c＝2，∴－2b<－2，∴b>1，故④正确．由题图易知，当x＝m(1<m<2)时，y<2，∴am2＋bm＋c<2，∴am2＋bm<2－c，∴m(am＋b)<2－c，故⑤正确．综上，正确的结论有4个．故选B.9．D10．D【点拨】当点D在AB上运动时，如图①，由题意可知AD＝x.在Rt△ABC中，AC＝＝5.∵∠DEA＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.∴DE∶CB＝AE∶AB＝AD∶AC，即DE∶3＝AE∶4＝x∶5.∴DE＝，AE＝.∴CE＝5－.20 ∴y＝CE·DE＝××＝－＋，把x＝代入，得y＝，即a＝.当点D在BC上运动时，如图②，∵AB＋BD＝x，∴CD＝7－x.∵∠CED＝∠B＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB.∴DE∶AB＝CE∶CB＝CD∶CA，即DE∶4＝CE∶3＝(7－x)∶5，∴DE＝(7－x)，CE＝(7－x)，∴y＝CE·DE＝×(7－x)×(7－x)＝(x－7)2，把y＝代入，得x＝5或x＝9(舍去)，∴x＝5，即b＝5.∴b－a＝5－＝.故选D.二、11.y2＜y3＜y1　12.1.65　13.11∶1014.或【点拨】由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝－＝.20 设对称轴与x轴交于点N，如图．∵A(6，0)，∴OA＝6.易知B(0，3)，∴OB＝3.当∠ABM＝90°时，过点B作BD垂直对称轴于点D，则BD＝.易知∠MBD＋∠DBA＝∠ABO＋∠ABD＝90°，∴∠MBD＝∠ABO，∴tan∠MBD＝tan∠ABO＝＝＝2.∴＝2，∴DM＝3.∴M；当∠M′AB＝90°时，易知∠ABO＋∠BAO＝∠M′AO＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＝∠M′AO，∴tan∠M′AO＝＝tan∠ABO＝2，又∵AN＝6－＝，∴M′N＝9，20 ∴M′.综上所述，点M的坐标为或.15.【点拨】联立解得或∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)．∴AB＝＝3.作点A关于y轴的对称点A′，连结A′B与y轴交于点P，此时△PAB的周长最小，则点A′的坐标为(－1，2)，设直线A′B的表达式为y＝kx＋b，将点A′(－1，2)，B(4，5)的坐标分别代入，得解得∴直线A′B的表达式为y＝x＋.当x＝0时，y＝，即点P的坐标为.将x＝0代入直线y＝x＋1中，得y＝1，∵直线y＝x＋1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是×sin45°＝×＝.∴S△PAB＝＝.20 三、16.【解】根据题意，得m＋3≠0且m2＋m－4＝2，解得m＝2，即当m的值为2时，y是x的二次函数．17．【解】(1)将点A(－1，0)，B(3，0)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.当x＝－＝1时，y＝－12＋2×1＋3＝4，∴此抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)设点P′的坐标为(a，－a＋3)，∵点P与点P′关于x轴对称，∴点P的坐标为(a，a－3)．又∵点P在抛物线上，∴a－3＝－a2＋2a＋3，解得a1＝3，a2＝－2.∵点P不与点B重合，∴a＝－2，∴点P的坐标为(－2，－5)．18．【解】(1)设悬索DPC所在抛物线的表达式为y＝ax2＋c，依题意得P(0，2)，C(16，10)．将点P(0，2)，C(16，10)的坐标分别代入，得解得∴悬索DPC所在抛物线的表达式为y＝x2＋2.(2)当y＝4时，x2＋2＝4，解得x＝±8.∵每相隔2cm就有一条吊索，当吊索高度大于或等于4cm时，需加固，∴×2＝8(条)，∴有8条吊索需要加固．19．【解】(1)在y＝ax2＋bx－(a＜0)中，令x＝0，则y＝－，∴A.20 ∵将点A向右平移2个单位，得到点B，∴B.(2)∵抛物线过点A和点B，∴由对称性可知抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图象易知，点P在对称轴左侧，抛物线下方，点Q(2，2)在对称轴右侧，当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时－≤2，即a≤－.∴a的取值范围为a≤－.20．【解】(1)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x＋b1，根据题意，得解得∴线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝－x＋60(0＜x≤120)．(2)当m＝90时，设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x＋90，根据题意，得50＝120k2＋90，解得k2＝－，∴y2与x之间的函数关系式为y2＝－x＋90(0＜x≤120)．设获得的利润为W元，根据题意，得W＝x＝－x2＋30x＝－(x－90)2＋1350，∵－<0，20 ∴当x＝90时，W取得最大值，最大值为1350.答：若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元．21．【解】(1)2；±1【点拨】∵二次函数y＝－(x－2)2＋m和y＝－(x－n)2＋的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，∴顶点(2，m)和均在抛物线y＝x2上．∴×22＝m，×n2＝.解得m＝2，n＝±1.(2)①∵y＝x2－2kx＋4k＋5＝(x－k)2－k2＋4k＋5，∴抛物线C2的顶点坐标为(k，－k2＋4k＋5)．∴当k＝0时，顶点坐标为(0，5)；当k＝1时，顶点坐标为(1，8)．又∵C2始终是C0的伴随抛物线，∴解得②x1的取值范围是2<x1<5或x1<－1.【点拨】∵函数y＝－x2＋4x＋5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，∴顶点(k，－k2＋4k＋5)在y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9的图象上滑动，当－x2＋4x＋5＝0时，解得x＝－1或x＝5，∴抛物线C0与x轴交于(－1，0)，(5，0)两点．当顶点(k，－k2＋4k＋5)在(－1，0)下方时，抛物线C2与x轴有两个交点，此时x1<－1；易知抛物线C0的顶点坐标为(2，9)，由伴随抛物线的性质可知(2，9)在抛物线C2上，当顶点(k，－k2＋4k＋5)在(5，0)下方时，此时2<x1<5.综上，2<x1<5或x1<－1.20 20