2025年春华师版九年级数学下册 期中综合测试卷

2025年春华师版九年级数学下册期中综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.白居易的名句“一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红”为我们描绘了一幅景象壮阔的夕阳西下的画卷．将落日抽象成圆，江水抽象成一条直线，如图所示的落日与江水的位置关系是(　　)A．相切B．相离C．相交D．相离或相切2．将抛物线y＝x2向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到抛物线y＝(x＋2)2－3，则h和k的值分别为(　　)A．－2，3B．－2，－3C．2，－3D．2，33．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线形(抛物线所在平面与墙面垂直)．若抛物线的最高点M离墙1m，离地面24 m，则水流落地点B离墙的距离OB是(　　)A．2mB．3mC．4mD．5m4．[2024济宁任城区一模]如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是(　　)A．37°B．74°C．53°D．63°5．[2024昆明西山区校级期末]一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)6.如图①是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和所围成的区域为种植区．已知AB＝30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为(　　)A．624 B．7C．8D．97.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a－2b＋c＜0；③2a－b＜0；④|a＋c|＜|b|.其中正确的个数是(　　)A．1B．2C．3D．424 8.《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA长为半径的圆弧，N是AB的中点，M在上，MN⊥AB.“会圆术”给出的长度l的近似值的计算公式：l＝AB＋，当OA＝4，∠AOB＝60°时，l的值为(　　)A．11－2B．11－4C．8－2D．8－49．小明为了研究关于x的方程x2－|x|－k＝0的根的个数问题，先将该等式转化为x2＝|x|＋k，再分别画出函数y＝x2的图象与函数y＝|x|＋k的图象(如图)，当方程有且只有四个根时，k的取值范围是(　　)A．k＞0B．－<k＜0C．0＜k<D．－<k<10．[2024泸州江阳区第十五中学期中]如图，AB是半圆O的直径，点C、D将弧AB分成相等的三段弧，点M在AB的延长线上，连结MD24 .三人给出以下说法：甲：若MD为半圆O的切线，则能得出∠OMD＝30°；乙：若连结AC、CD，则∠ACD＝130°；丙：若连结AC、BD，则AC＝BD.其中说法正确的是(　　)A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有甲二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．[2024衡阳模拟]某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱每降价1元，每天可多售出60箱，则每天的利润w(元)与每箱降价x(元)之间的函数关系式为___________________________．12．[2024重庆开州区模拟]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点E、点C分别是半径OA、OB上的点，点D在弧AB上，若四边形OCDE为正方形，OE＝2，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．13．将抛物线C1：y＝x2向左平移a(a＞0)个单位长度后，再向下平移b(b>0)个单位长度，得到新的抛物线C2，若A(－a－2，y1)，B(－a＋1，y2)，C(－a＋3，y3)为抛物线C2上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为____________．(用“＜”连接)14．如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，AC＝10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为________．24 15．[2024深圳南山第二外国语学校四模]如图，抛物线y＝－x2－3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若点D为抛物线上一点且横坐标为－3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE＋EF的最小值为________．三、解答题(共75分)16．(6分)如图所示，过点B(1，0)的抛物线与直线y＝x＋b交于点D(0，－4)和点C.(1)求抛物线与直线的表达式及抛物线的对称轴；(2)求△BCD的周长和面积．24 17．(6分)如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE⊥OA，连结AB，AE，线段BC为⊙O的直径，连结AC交BE于点F.(1)求证：∠ABE＝∠C；(2)若AC平分∠OAE，求的值．18．[2024保定满城区期末](6分)抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴正半轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上不同的两点．①当x1，x2满足什么数量关系时，y1＝y2?②若x1＋x2＝2(x1－x2)，求y1－y2的最小值．24 19.(8分)抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．为弘扬传统文化，某校将抖空竹列入了体育课程．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，且AC＝BD，连结左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F.(1)求证：AE＝BF；(2)若AE＝4，AC＝8，求两个绳柄之间的距离AB.24 24 20.(8分)如图①是一款固定在地面O处的高度可调节的羽毛球发球机，A是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，羽毛球的运动路径呈抛物线形(如图②所示)．设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米)，与地面的高度为y(米)，y与x的部分对应数据如表所示．x/米…1.822.22.42.6…y/米…2.242.252.242.212.16…(1)求y关于x的函数表达式，并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离．(2)为了训练学员的应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口A的高度来实现．此过程中抛物线的形状和对称轴的位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米，则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米？24 21.(8分)综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽(如图①24 )和五张颜色不同(红、橙、黄、蓝、紫)，足够大的卡纸．步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角为1∶2∶1∶2∶3的比例剪成半径为25cm的扇形．步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连结处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：(1)计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；(2)如图②，根据(1)的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：______________.22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2＋bx－6(a、b为常数，且a≠0)经过点D，交x24 轴于点A、B(点A在点B的左侧)，其顶点的横坐标为2.(1)求抛物线L的表达式．(2)将抛物线L向左平移2个单位长度后得到抛物线L′，Q为抛物线L′上的动点，P为抛物线L的对称轴上的动点，请问是否存在以A、D、P、Q为顶点且以AQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23.[2024雅安](10分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连结AC，∠PCA＝∠B.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若sinB＝，求证：AC＝AP；(3)若CD⊥AB于点D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．24 24．(13分)如图，已知二次函数y＝kx2－6kx＋5k(k＞0)的图象经过A，B两定点(点A在点B的左侧)，顶点为P.(1)求定点A，B的坐标；(2)把二次函数y＝kx2－6kx＋5k的图象在直线AB下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数图象位于直线AB上方的部分的组合图象记作图象W，求向上翻折部分的函数表达式；(3)在(2)中，已知△ABP的面积为8.①当1≤x≤4时，求图象W中y的取值范围；②若直线y＝m与图象W从左到右依次交于C，D，E，F四点，若CD＝DE＝EF，求m的值．24 答案一、1.C　2.D　3.B　4.C　5.A6．D【点拨】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB，则AC＝BC＝AB＝15，由题意得OB＝OD＝17，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC＝＝＝8，∴CD＝OD－OC＝17－8＝9，∴种植区的最大深度为9.故选D.7．D【点拨】由函数图象可知a＜0，对称轴在y轴左侧，∴－<0，∴b＜0，∴ab＞0.故①正确．由函数图象可知，当x＝－2时，y<0，∴4a－2b＋c＜0.故②正确．∵抛物线的对称轴在直线x＝－1右侧，∴－>－1，∴2a－b＜0.故③正确．由函数图象可知，当x＝1时，y<0，∴a＋b＋c＜0；当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c＞0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，∴(a＋c)2＜b2，∴|a＋c|＜|b|.故④24 正确．综上，正确的结论有4个．故选D.8．B【点拨】连结ON，如图．∵N是AB的中点，OA＝OB，∴ON⊥AB，又∵MN⊥AB，∴M，N，O三点共线．∵OA＝4，∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝4，∠OAN＝60°，∴ON＝OA·sin60°＝2，∴MN＝OM－ON＝4－2.∴l＝AB＋＝4＋＝11－4.故选B.9．B10．C【点拨】甲：如图，连结OD，OC，∵点C，D将弧AB分成相等的三段弧，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.∵MD为半圆O的切线，∴∠ODM＝90°，∴∠OMD＝30°，故甲说法正确；乙：如图．∵OA＝OC＝OD，∠AOC＝∠COD＝60°，∴△AOC，△DOC均是等边三角形，∴∠ACO＝∠DCO＝60°，∴∠ACD＝120°，故乙说法错误；丙：如图．∵＝，∴AC＝BD，故丙说法正确．综上，说法正确的是甲和丙，故选C.二、11.w＝－60x2＋1080x＋1680012．2π　13.y2＜y1＜y3　14.1115.－2【点拨】对于y＝－x2－3x＋4，当y＝0时，－x2－3x＋4＝0，24 解得x1＝－4，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－4，0)．对于y＝－x2－3x＋4，当x＝－3时，y＝4，∴点D的坐标为(－3，4)．如图，作点D关于y轴对称的点T，则点T的坐标为(3，4)．连结AT交y轴于点M，交⊙A于点N，过点T作TH⊥x轴于点H，连结AF，易知当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE＋EF的值最小，最小值为线段TN的长．∵T(3，4)，A(－4，0)，∴OH＝3，TH＝4，OA＝4，∴AH＝OA＋OH＝7.在Rt△ATH中，AH＝7，TH＝4，由勾股定理得TA＝＝，∵⊙A的半径为2，∴AN＝2.∴TN＝TA－AN＝－2，即DE＋EF的最小值为－2.故答案为－2.三、16.【解】(1)∵直线y＝x＋b过点D(0，－4)，∴b＝－4，∴直线的表达式为y＝x－4.24 当y＝0时，0＝x－4，解得x＝5，∴C(5，0)．∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－5)，将点D(0，－4)的坐标代入，得－4＝5a，解得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋x－4.∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝3.(2)∵B(1，0)，C(5，0)，D(0，－4)，∴OD＝4，OB＝1，OC＝5，∴DC＝＝，BC＝5－1＝4，DB＝＝，∴△BCD的周长为4＋＋，△BCD的面积为BC·OD＝×4×4＝8.17．(1)【证明】∵OA⊥BE，∴＝，∴∠ABE＝∠C.(2)【解】∵AC平分∠OAE，∴∠OAC＝∠EAC.∵∠EAC＝∠EBC，∴∠OAC＝∠EBC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C，∴∠EBC＝∠C，∴BF＝FC.由(1)知∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠C＝∠EBC.∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE＋∠C＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AF＝BF，∴AF＝FC，即＝.18．【解】(1)由题意，可设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3)，24 即y＝a(x2－4x＋3)＝ax2－4ax＋3a，∴3a＝3，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.(2)由抛物线的表达式易知，抛物线的对称轴为直线x＝2.①若y1＝y2，则点M、N关于抛物线的对称轴对称，∴2＝(x1＋x2)，∴x1＋x2＝4，∴当x1，x2满足x1＋x2＝4时，y1＝y2.②y1－y2＝(x21－4x1＋3)－(x22－4x2＋3)＝(x1＋x2)(x1－x2)－4(x1－x2)．∵x1＋x2＝2(x1－x2)，∴y1－y2＝2(x1－x2)(x1－x2)－4(x1－x2)＝2(x1－x2－1)2－2≥－2，∴y1－y2的最小值为－2.19．(1)【证明】连结OC，OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，∴∠ACO＝∠BDO＝90°.在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.∴AO＝BO.又∵EO＝FO，∴AO－EO＝BO－FO，即AE＝BF.(2)【解】设OE＝OC＝x，则AO＝x＋4.在Rt△ACO中，由勾股定理，得(x＋4)2＝x2＋82.解得x＝6.∴AO＝10.又∵AO＝BO，∴AB＝AO＋BO＝20.∴两个绳柄之间的距离AB为20.20．【解】(1)由表格信息可知，抛物线的顶点坐标为(2，2.25)，∴可设y关于x的函数表达式为y＝a(x－2)2＋2.25，将点(2.2，2.24)的坐标代入，得2.24＝a(2.2－2)2＋2.25，解得a＝－0.25，∴y关于x的函数表达式为y＝－0.25(x－2)2＋2.25.当y＝0时，0＝－0.25(x－2)2＋2.25，24 解得x1＝5，x2＝－1(舍去)，∴羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离为5米．(2)∵抛物线的形状和对称轴的位置都不变，∴可设抛物线的表达式为y＝－0.25(x－2)2＋k.要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米，则当y＝0时，x＝5＋0.5＝5.5，∴0＝－0.25×(5.5－2)2＋k，解得k＝3.0625，∴y＝－0.25(x－2)2＋3.0625，当x＝0时，y＝－0.25×(0－2)2＋3.0625＝2.0625，∴发球机的弹射出口高度OA应调整为2.0625米．21．【解】(1)由题意可知锥形草帽的底面圆的半径为＝15(cm)，设锥形草帽侧面展开图的圆心角为x°，则＝2π×15，解得x＝216，216°×＝24°.答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°.(2)n＝22．【解】(1)根据题意，得解得∴抛物线L的表达式为y＝x2－2x－6.(2)存在以A，D，P，Q为顶点且以AQ为边的四边形是平行四边形．24 对于y＝x2－2x－6，令y＝0，则0＝x2－2x－6，解得x＝6或x＝－2，∵点A在点B的左侧，∴A(－2，0)，由题意可知抛物线L′的表达式为y＝(x＋2)2－2(x＋2)－6＝x2－8.∵抛物线L的对称轴为直线x＝2，∴可设P(2，t)，Q，①若AP，QD为四边形的对角线，则AP，QD的中点重合，∴解得∴Q.②若AD，PQ为四边形的对角线，则AD，PQ的中点重合，∴解得∴Q.综上所述，点Q的坐标为或.23．(1)【证明】如图，连结OC，24 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BCO＋∠OCA＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，又∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO，∴∠PCA＋∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．(2)【证明】∵sinB＝，∴∠B＝30°，∴∠PCA＝∠B＝30°.由(1)知∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠P＝∠CAB－∠PCA＝30°，∴∠PCA＝∠P，∴AC＝AP.(3)【解】设AD＝x，易得△ACD∽△CBD，∴＝.∴CD2＝AD·BD＝6x.∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，∴△PAC∽△PCB，24 ∴＝，∴PC2＝PA·PB＝4(6＋4＋x)＝4(10＋x)．在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2＋CD2＝PC2，即(4＋x)2＋6x＝4(10＋x)，整理，得x2＋10x－24＝0，解得x1＝2，x2＝－12(舍去)，∴AD＝2.24．【解】(1)二次函数可化为y＝k(x－1)(x－5)，∴函数图象恒过两点(1，0)，(5，0)，∵点A在点B的左侧，∴定点A(1，0)，B(5，0)．(2)∵直线AB与x轴重合，∴把直线AB下方的部分向上翻折即为沿x轴向上翻折，∴向上翻折部分的函数表达式为y＝－kx2＋6kx－5k(1≤x≤5)．(3)①∵A(1，0)，B(5，0)，∴对称轴为直线x＝＝3，将x＝3代入y＝kx2－6kx＋5k，得y＝－4k.∵△ABP的面积为8，∴4×|4k|×＝8，解得k＝±1.∵k＞0，∴k＝1.∴图象W向上翻折部分的函数表达式为y＝－x2＋6x－5(1≤x≤5)．∵1≤x≤4，图象W中向上翻折部分的开口向下，对称轴为直线x＝3，∴当x＝3时，y最大＝4；当x＝1时，y最小＝0.∴当1≤x≤4时，图象W中y的取值范围为0≤y≤4.②∵直线y＝m与图象W从左到右依次交于C，D，E，F四点，∴y＝x2－6x＋5(x<1或x>5)的图象与直线y＝m交于点C，F，∴令x2－6x＋5＝m，∴易得CF＝.∵y＝－x2＋6x－5(1≤x≤5)的图象与直线y＝m交于点D，E，∴令－x2＋6x－5＝m，∴易得DE＝.24 ∵CD＝DE＝EF，∴CF＝3DE，即＝3×，解得m＝.24