2025年春华师版九年级数学下册 期末综合测试卷

2025年春华师版九年级数学下册期末综合测试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　)A．相离B．相交C．相切D．相交或相切2．下列调查中，适合采用抽样调查的是(　　)A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂C．全国人口普查D．企业招聘，对应聘人员进行面试3．[2024长春博硕学校月考]将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是(　　)A．y＝2(x＋2)2＋3B．y＝2(x＋2)2－3C．y＝2(x－2)2－3D．y＝2(x－2)2＋34．为了解某中学300名男生的身高情况，在该中学随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的有(　　)A．12名B．48名C．72名D．96名5．如图，△ABC和△ABD内接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为(　　)A．40°B．45°C．50°D．60°25 6．已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　　)A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y37．[2024太原模拟]如图是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径O1A＝10m，转弯角度∠AO1B＝90°，大型机动车实际转弯时，转弯半径O2C＝20m，转弯角度∠CO2D＝80°，则大型机动车转弯实际行驶路程()比设计转弯行驶路程()多(　　)A.mB.mC.mD.m8．[2024商丘第一中学二模]直线y1＝ax＋b和抛物线y2＝ax2＋bx(a，b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b经过点(－4，0)．下列结论：①抛物线y2＝ax2＋bx的对称轴是直线x＝－2；②抛物线y2＝ax2＋bx与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2＋bx＝ax＋b有两个根x1＝－4，x2＝1；④若a＞0，当x＜－4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是(　　)A．①②③④B．①②③C．②③D．①④9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点F.若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为(　　)A．8B．10C．1225 D．1610．[2024上海虹口区月考]如图，抛物线y＝(x＋2)(x－8)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D.有下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．小亮同学为了估计全县九年级学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生人数作了调查：全乡人口约2万，九年级学生人数为300.全县人口约35万，由此他推断全县九年级学生人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是________________．12．[2024烟台莱阳期末]如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝________.25 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，P(－1，0)，⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为________°.15．[2024昆明官渡区期末]已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象(如图所示)，当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是________．三、解答题(共75分)16．(6分)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；(2)当y≤－2时，求x的取值范围．25 17．(6分)[2024哈尔滨龙沙区期末]如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连结AM并延长交⊙O于点D，连结CD.(1)求∠BCD的大小；(2)若CD＝4，求DM的值．25 18．(6分)国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校七年级学生共有600人，该校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位：小时)进行了调查，将数据整理后得到如下不完整的统计表：睡眠时间频数频率t＜730.067≤t＜8a0.168≤t＜9100.209≤t＜1024bt≥1050.10请根据统计表中的信息回答下列问题：(1)a＝________，b＝________；(2)请估计该校七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；(3)研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．19．(8分)如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过点O(0，0)，A25 (2，0)．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点．20．(8分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于点D，HF的延长线与BC的延长线交于点E.(1)若HF⊥AB，求证：∠OAD＝∠E.(2)若点A是下半圆上一动点，当点A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE的一边上？请说明理由．25 21．(8分)[2024吉林昌邑区期末]如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及点G的坐标；(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．25 22．(10分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连结OP交⊙O于点E.过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连结BC，PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)求证：E为△PAB的内心；(3)若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．25 23.(10分)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据，记录如表．飞行时间t(s)02468…飞行水平距离x(m)010203040…飞行高度y(m)022405464…【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．(1)直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．(2)若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；(3)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．25 25 24.(13分)【学习心得】(1)小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝________°.【初步运用】(2)如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝17°，求∠BAC的度数．【方法迁移】(3)如图③，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在直线l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°(不写作法，保留作图痕迹)．【问题拓展】(4)①如图④，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为________；②如图⑤，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．25 25 答案一、1.D　2.B　3.C　4.C　5.C　6.D7．D【点拨】∵O1A＝10m，转弯角度∠AO1B＝90°，O2C＝20m，转弯角度∠CO2D＝80°，∴的长为＝5π(m)，的长为＝(m)．∵－5π＝(m)，∴大型机动车转弯实际行驶路程比设计转弯行驶路程多m．故选D.8．B【点拨】∵直线y1＝ax＋b经过点(－4，0)，∴－4a＋b＝0.∴b＝4a.∴y2＝ax2＋bx＝ax2＋4ax.∴抛物线y2＝ax2＋bx的对称轴是直线x＝－＝－2，故①正确；∵y2＝ax2＋4ax，∴Δ＝16a2＞0.∴抛物线y2＝ax2＋bx与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2＋bx＝ax＋b可化为ax2＋4ax＝ax＋4a，整理得x2＋3x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝1，故③正确；∵a＞0，∴抛物线y2＝ax2＋bx的开口向上，在y1＝ax＋b中，y1随x的增大而增大．易知直线y1＝ax＋b和抛物线y2＝ax2＋bx的交点的横坐标分别为－4，1.∴当x＜－4或x＞1时，y1＜y2，故④错误．故选B.9．C【点拨】连结BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.又∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD.25 ∵DE⊥AB，∴∠ABD＋∠BDE＝90°.又∵∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE.∴∠ADE＝∠DAC.∴FD＝FA＝5.在Rt△AEF中，sin∠EAF＝＝，∴EF＝3.∴AE＝＝4，DE＝5＋3＝8.∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE.∴DE∶BE＝AE∶DE，即8∶BE＝4∶8.∴BE＝16.∴AB＝4＋16＝20.在Rt△ABC中，sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12.故选C.10．B【点拨】∵在y＝(x＋2)(x－8)中，当y＝0时，x＝－2或x＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)．∴抛物线的对称轴为直线x＝＝3，故①正确．易知⊙D的直径为8－(－2)＝10，∴⊙D的半径为5.∴⊙D的面积为25π，故②错误．若四边形ACED是平行四边形，则CE∥AD.在y＝(x＋2)(x－8)＝x2－x－4中，当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4)，当y＝－4时，x2－x－4＝－4，25 解得x1＝0，x2＝6.∴E(6，－4)．∴CE＝6.∵AD＝3－(－2)＝5，∴AD≠CE.∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误．∵y＝x2－x－4＝(x－3)2－，∴点M.连结CD，易求得CD＝5，CM＝，DM＝，∴CD2＋CM2＝DM2.∴∠DCM＝90°，即DC⊥CM.∵CD为⊙D的半径，∴直线CM与⊙D相切，故④正确．故选B.二、11.样本选取不合理　12.6　13.414．60【点拨】∵点A(1，0)，P(－1，0)，∴OA＝OP＝1.∴AP＝OP＋OA＝2.∵⊙P过原点O，∴OP为⊙P的半径．∵AB为⊙P的切线，B为切点，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1.在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，∴sinA＝＝.∴∠BAP＝30°.∴∠BPA＝60°.∴∠CPD＝60°.又∵PC＝PD，∴△CPD为等边三角形．∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度数为60°.15．－<b＜－1【点拨】如图，当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，25 则A(－1，0)，B(5，0)，易得该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方后，这部分图象对应的函数表达式为y＝x2－4x－5，－1≤x≤5.当直线y＝－x＋b经过点A(－1，0)时，1＋b＝0，解得b＝－1；当直线y＝－x＋b与抛物线y＝x2－4x－5(－1≤x≤5)有唯一公共点时，方程x2－4x－5＝－x＋b，即x2－3x－(b＋5)＝0有两个相等的实数根，所以9＋4(b＋5)＝0，解得b＝－.结合图象易知，当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为－<b＜－1.三、16.【解】(1)把A(1，－2)和B(0，－5)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5.∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－6)．(2)25 如图，易知该二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，∴点A(1，－2)关于直线x＝－1的对称点(－3，－2)在该函数图象上，∴当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.17．【解】(1)∵BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵M为△ABC的内心，∴∠BAD＝∠BAC＝45°.∴∠BCD＝∠BAD＝45°.(2)如图，连结CM.∵M为△ABC的内心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ACM＝∠BCM.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠DAC＝∠BCD.∵∠DMC＝∠DAC＋∠ACM，∠DCM＝∠BCD＋∠BCM，∴∠DMC＝∠DCM.∴DM＝CD＝4.18．【解】(1)8；0.48【点拨】本次抽取的学生有3÷0.06＝50(人)，a＝50×0.16＝8，b＝24÷50＝0.48.(2)600×(0.06＋0.16＋0.20)＝600×0.42＝252(人)．答：估计该校七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的有252人．25 (3)建议是：近期组织一次家长会，要求家长监管好学生的睡眠时间，要不少于9小时．(答案不唯一，合理即可)19．【解】(1)该函数图象的对称轴为直线x＝1.(2)由(1)知y＝a(x－1)2＋，∵图象经过点(0，0)，∴0＝a＋.∴a＝－.∴y＝－(x－1)2＋.如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，∴在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°.∴OB＝OA′＝1.∴A′B＝＝.∴点A′的坐标为(1，)．∴点A′为该函数图象的顶点．25 20．(1)【证明】如图，连结OB，∵HF⊥AB，∴＝.∴∠AOH＝∠AOB.又∵∠ACB＝∠AOB，∴∠AOH＝∠ACB.∵∠AOD＋∠AOH＝180°，∠ECD＋∠ACB＝180°，∴∠AOD＝∠ECD.又∵∠ODA＝∠CDE，∴△OAD∽△CED.∴∠OAD＝∠E.(2)【解】当点A运动到使AB是⊙O的直径或AC⊥HF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．理由如下：由题意易知，△CDE为直角三角形，∠E不可能为90°，∴分两种情况．①若∠DCE＝90°，则∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，此时△CDE的外心在△CDE的边DE上．②若∠CDE＝90°，则AC⊥HF，此时△CDE的外心在△CDE的边CE上．综上所述，当点A运动到使AB是⊙O的直径或AC⊥HF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．21．【解】(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B，25 ∴点B(0，c)，c＞0.∴OA＝OB＝c.∴点A(c，0)．∴0＝－c2＋2c＋c.∴c＝3或c＝0(舍去)．∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点G的坐标为(1，4)．(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位，∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6.∴点M的坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N的坐标为(6，－21)．∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，∴当M，N在对称轴的同侧时，－21≤yQ≤－5；当M，N在对称轴的两侧时，－21≤yQ≤4.22．(1)【证明】如图，连结OB.∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵AB⊥PO，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C.∴∠AOP＝∠POB.25 在△AOP和△BOP中，∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.∵PA为⊙O的切线，切点为A，∴∠OAP＝90°.∴∠OBP＝90°.∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)【证明】如图，连结AE.∵∠OAP＝90°，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB.∴点E为△PAB的内心．(3)【解】∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴∠PAB＋∠BAC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∴∠PAB＝∠C.∴cosC＝cos∠PAB＝.在Rt△ABC中，cosC＝＝＝，∴AC＝，∴AO＝.∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠AOP＝∠C，∴△PAO∽△ABC.∴＝.∴PO＝·AC＝×＝5.25 23．【解】(1)x＝5t，y＝－t2＋12t.(2)依题意，得－t2＋12t＝0，解得t1＝0(舍)，t2＝24，当t＝24时，x＝120.答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m.(3)设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度y′(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y′＝－t2＋12t＋n，∵航模飞机落到MN内，∴125＜x＜130.∴125＜5t＜130.∴25＜t＜26.在y′＝－t2＋12t＋n中，当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；当t＝26，y′＝0时，n＝26.∴12.5＜n＜26.答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m.24．【解】(1)45(2)如图①，以BD为直径作圆，圆心为O.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，C都在⊙O上．∴∠BDC＝∠BAC.∵∠BDC＝17°，∴∠BAC＝17°.(3)如图②，点P1，P2即为所求．(4)①2≤m<1＋【点拨】在BC上截取BF＝BA＝2，连结AF，以AF为直径作⊙O，⊙O交AD于点E，连结EF，过圆心O作OG⊥EF于点H且交圆O于点G，过点G作⊙O的切线KQ交AD于点K，交BC于点Q，如图③，则四边形ABFE是正方形，∴FE＝BF＝BA＝2.25 ∴AF＝2.∴⊙O的半径为，即OF＝OG＝.∵OG⊥EF，∴FH＝1.∴OH＝1.∴GH＝－1.易知FQ＝GH＝－1.若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则BF≤m<BQ，∴2≤m<2＋－1，即2≤m<1＋.②如图④，作△ABC的外接圆，圆心为O，过点O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连结OA，OB，OC.∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°.在Rt△BOC中，BC＝6＋2＝8，∴BO＝CO＝4.∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4.∴易得DE＝OF＝6－4＝2.在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，∴OE＝＝4.∴易得DF＝4.在Rt△AOF中，AO＝BO＝4，OF＝2，∴AF＝＝2.25 ∴AD＝AF＋DF＝2＋4.25