2025年春九年级数学下册 第27章综合测试卷（华师吉林版）

2025年春九年级数学下册第27章综合测试卷（华师吉林版）一、选择题(每题3分，共24分)1.已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是(　　)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm2．如图，在⊙O中，若C是的中点，∠AOB＝80°，则∠AOC的度数为(　　)A．40°B．45°C．50°D．60°3．[2024·长春模拟]如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连结OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是(　　)A．40°B．50°C．55°D．60°4．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M.若OMOC＝35，则AB的长为(　　)A．8B．12C．15D．165．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，＝.若∠A＝50°.则∠B的度数为(　　)A．50°B．55°C．60°D．65°6．[2024·吉林月考]如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，且∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则阴影部分(即四边形CEOD)的面积为(　　)A．4B．6.25C．7.5D．97．如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O21 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　)A.B．2C．4＋2D．4－28．[2024·太原月考]如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为(　　)A.B.C.D.二、填空题(每题3分，共18分)9．若⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相交，则d________5.(填“＞”“＜”或“＝”)10．如图，四边形ABCD的两边AD、CD与⊙O相切于A、C两点，点B在⊙O上，若∠D＝50°，则∠B的度数为________．11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若⊙O的周长为12π，则该正六边形的边长是________．12．若圆锥的底面半径为5，高为12，则圆锥的侧面展开图的面积是________．21 13.为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地(如图)，矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF的长为8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳__________名观众．14．如图，正方形ABCD的边长为6，G为边CD的中点，动点E，F分别从B，C同时出发，以相同速度沿直线向各自终点A，B移动，连结CE，DF交于点P，连结BP，则BP的长度的最小值为____________．三、解答题(共78分)15．(6分)如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠C＝50°，求∠BAD的度数．21 16．(6分)如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长．21 17．(6分)如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连结AM，BM，OA，OM.(1)求证：AM＝BM；(2)求∠AOM的度数．18．(7分)如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB，交CB的延长线于点D，且AB平分∠CAD.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)若AC＝5，DC＝4，则⊙O的半径为________．21 19．(7分)赵州桥建于隋朝，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥(如图①)．现有一座仿赵州桥建造的拱桥(如图②)，已知此拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为18.2m，拱高(桥拱圆弧的中点到所对应弦的距离)为6.2m．求此拱桥的半径(精确到0.1m)．　　　　21 20．(7分)[2024·长春模拟]如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度的直尺分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．21 (1)在图①中，先画出圆心O，然后在⊙O上画点D，使AC＝AD(不要求写作法)；(2)在图②中，在上画点E，连结AE，使AE平分∠CAB，并说明AE平分∠CAB的理由．21．(8分)如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E.21 (1)求证：∠D＝∠B；(2)若OE＝CE，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．22．(9分)[2024·长春月考]【提出问题】(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，P为此三角形内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，将△CPB绕点C顺时针旋转90°至△CQA，则P、Q两点间的距离为______，∠BPC的度数为______；【探究问题】(2)如图②，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由；21 【解决问题】(3)如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB为直径，AC＝BC，DC交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若CD＝70m，PD＝30m，则阴影部分的面积为________m2.21 23．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠1＝∠BCE；(2)求证：BE是⊙O的切线；(3)连结BD，若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA的值．21 24．(12分)如图，AB是⊙O的直径，OA＝2，点C是的中点，连结OC、AC.OD是⊙O的半径(点D不与点C重合)，点C关于直线OD的对称点为C′，连结OC′、DC′、CD.(1)的长为________；(结果保留π)(2)当点C′与点B重合，且点D在上时，求扇形C′OD的面积；(结果保留π)(3)当点D在直线OC右侧，且C′D与△OAC的某条直角边平行时，求C′D的长；(4)当C′D∥AC时，直接写出C′D的长．21 答案一、1.D　2.A　3.B　4.D　5.D　6.A　7.D8．A　点拨：∵的长是定值，∴要求阴影部分周长的最小值，即求CE＋DE的最小值．如图，作点D关于OB的对称点D′，连结CD′，与OB交于点E，则DE＝D′E，此时CE＋DE取最小值，最小值为CD′的长．连结OD′，易得OD′＝OD＝OC＝OB＝3，∠BOD′＝∠BOD.∵OD平分∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝30°，∴∠BOD＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝60°＋30°＝90°，在Rt△COD′中，CD′＝＝＝3.又∵＝＝π，∴阴影部分周长的最小值为π＋3＝.二、9.＜　10.65°　11.6　12.65π　13.15014．3－3　点拨：由题意得BE＝CF，∠EBC＝∠FCD＝90°，BC＝CD＝6，21 ∴△EBC≌△FCD，∴∠ECB＝∠FDC.∵∠ECB＋∠DCP＝90°，∴∠FDC＋∠DCP＝90°，∴∠DPC＝90°，∴点P在以点G为圆心，DC为直径的圆上运动．连结BG，易知当点P在线段BG上时，BP最短，∵GP＝GC＝CD＝3，∴由勾股定理，得BG＝＝3，∴BP的长度的最小值为BG－GP＝3－3.三、15.解：如图，连结BD,∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵＝，∴∠D＝∠C＝50°，∴∠BAD＝90°－∠D＝90°－50°＝40°.16．解：∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6.∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3.∴在Rt△ODB中，OD＝＝3.17．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，21 ∴AD＝BC，∴＝.∵M为的中点，∴＝，∴＋＝＋，∴＝，∴AM＝BM.(2)解：连结OB.∵正方形ABCD内接于⊙O，∴易得∠AOB＝90°.∵＝，∴∠AOM＝∠BOM＝×(360°－90°)＝135°.18．(1)证明：连结OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵AB平分∠CAD，∴∠DAB＝∠CAB，∴∠DAB＝∠OBA，∴AD∥OB.∵AD⊥CB，∴OB⊥CB，∵OB是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(2)19．解：设所在圆的圆心为O，作OC⊥AB，交于点C，交AB于点D，连结OA，由题意得AB＝18.2m．设⊙O的半径为rm，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，C为的中点，∴AD＝AB＝9.1m，CD＝6.2m，∴OD＝(r－6.2)m.在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝AD2＋OD2，∴r2＝9.12＋(r－6.2)2，21 ∴r≈9.8，∴此拱桥的半径约为9.8m.20．解：(1)如图①所示，O，D即为所求．(2)如图②所示，由(1)知O为圆心，取格点F，连结OF并延长，交⊙O于点E，点E，AE即为所求．理由：由作图可知F为BC的中点，又∵O为AB的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF∥AC，∴∠OEA＝∠CAE.又∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，21 ∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠CAB.21．(1)证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵DO⊥AB，∴∠A＋∠D＝90°，∴∠D＝∠B.(2)解：连结OC，则OC＝AB＝3.设∠B＝α，则易得∠BCO＝α，∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α.在△BCO中，α＋α＋90°＋α＝180°，∴α＝30°，∴∠D＝∠B＝∠EOC＝30°，∴CA＝AB＝OA＝3，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD＝90°，∴△ACB≌△AOD，∴S△ABC＝S△ADO，AD＝AB＝6.∴OD＝＝3，∵AO＝BO＝3，∴S△AOC＝S△ABC＝S△ADO，∴S阴影＝×3×3－－××3×3＝－.22．解：(1)2；135°(2)AD＋BD＝CD.理由如下：延长DA至点E，使EA＝BD，连结EC，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A、D、B、C四点在以AB为直径的同一个圆上，∴∠CBD＋∠CAD＝∠CAD＋∠CAE＝180°，∴∠CBD＝∠CAE.∵AC＝BC，21 ∴易得∠ADC＝∠ABC＝∠CAB＝∠BDC＝45°，在△EAC和△DBC中，CA＝CB，∠CAE＝∠CBD，EA＝DB，∴△EAC≌△DBC，∴EC＝CD，∠CEA＝∠CDB＝45°，∴∠ECD＝180°－∠CEA－∠CDA＝180°－45°－45°＝90°，∴△CED为等腰直角三角形，∴DE＝＝＝CD.∵DE＝AE＋AD＝BD＋AD，∴AD＋BD＝CD.(3)2000　23．(1)证明：过点B作BF⊥AC于点F.∵＝，∴AB＝BD.在△ABF与△DBE中，∴△ABF≌△DBE，∴BF＝BE，∴∠1＝∠BCE.(2)证明：连结OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠1＋∠BAC＝90°.∵BE⊥DC，∴∠BCE＋∠EBC＝90°，又∵∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，∴∠OBE＝∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝∠ABC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．(3)解：由(1)易得Rt△EBC≌Rt△FBC，∴CF＝CE＝2.∵△ABF≌△DBE，∴AF＝DE＝2＋8＝10，21 ∴AC＝CF＋AF＝2＋10＝12.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∵∠DBA＝∠DCA，∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝.24．解：(1)π(2)∵点C关于直线OD的对称点为C′，∴易得CD＝C′D.∵点C′与点B重合，∴CD＝BD，∴∠COD＝∠BOD，即OD平分∠COB.∵点C是的中点，AB是直径，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠BOD＝×90°＝45°，∴∠C′OD＝45°，又∵OC＝OA＝2，∴S扇形C′OD＝＝.(3)当C′D∥OC时，如图①所示，则∠ODC′＝∠COD，∵点C关于直线OD的对称点为C′，∴易得OC＝OC′，∠COD＝∠DOC′，∴∠DOC′＝∠ODC′，∴C′D＝OC′＝OC＝2.　　21 当C′D∥OA时，如图②所示，延长CO交C′D于点E，连结CC′.∵点C关于直线OD的对称点为C′，∴易得OC′＝OC＝2，C′D＝CD.由(1)得OC⊥AB，∵AB∥C′D，∴CE⊥C′D，∵OC′＝OC＝OD，∴E为C′D的中点，∠C′OE＝∠DOE，∴CC′＝CD，∴CD＝C′D＝CC′∴△CDC′是等边三角形，∴∠C′CD＝60°，∴∠C′OD＝2∠C′CD＝120°，∴∠C′OE＝×120°＝60°，∴C′E＝OC′sin60°＝2×＝，∴C′D＝2.综上，C′D＝2或2.21 (4)C′D＝2或－.21