2025年春北师版九年级数学下册 第一章综合测试卷

2025年春北师版九年级数学下册第一章综合测试卷限时:90分钟满分:120分一、选择题(每题3分，共30分)1．[2024深圳期末]tan30°等于(　　)A．B．C．D．2．[2024合肥期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosB的值是(　　)A．B．C．D．3．把Rt△ABC各边的长度都扩大为原来的3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，锐角A′的正弦值的关系为(　　)A．sinA＝3sinA′　　B．sinA＝sinA′　　C．3sinA＝sinA′　　D．不能确定4．河堤横断面迎水坡的坡度i＝1∶，若水平宽度为24m，则铅直高度为(　　)A．8m　B．6m　C．12m　D．(2＋)m5．如图，窗子高AB＝mm，窗子外面上方0.2m的点C处安装水平遮阳板CD＝1m，当太阳光线与水平线夹角α＝60°时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是(　　)20 A．＋0.8　B．＋0.2　C．－0.2　D．－0.86．BD是Rt△ABC的斜边AC上的高，∠A≠45°，则下列比值中与sinA不相等的是(　　)A．B．C．D．7．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB20 的正弦值是(　　)A．B．C．D．8．[2024南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　)A．　B．　C．2　D．39．如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA＝10，则点A的坐标为(　　)A．(5，5)B．(5，5)C．(5，5)D．(5，5)20 10．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC为12cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D约为(结果精确到1cm，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)(　　)A．23cm　B．46cm　C．18cm　D．24cm二、填空题(每题3分，共15分)11．[2024宿迁期末]在△ABC中，如果＋(tanB－1)2＝0，则∠C＝________.20 12．[教材P10习题T3]20 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则衣架内高AD的值约为________．(结果精确到0.01cm，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)13．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠α＝45°，∠β＝30°，则竹竿AB与AD的长度之比为________．14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC中，AB＝AC，若△ABC是“好玩三角形”，则tanB的值为________．20 15．北京时间2024年4月25日20时59分，长征二号F遥十八运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，中国载人航天工程再立新功．如图，神舟十八号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达A处时，地面D处的雷达站测得AD＝4000m，仰角为30°，3s后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460m，则飞船从A到B处的平均速度约为________m/s.(结果精确到1m/s，参考数据：≈1.732，≈1.414)三、解答题(共75分)16．(10分)计算：(1)2sin30°＋cos45°－tan260°；　(2)[2024北京](π－5)0＋－2sin30°＋|－|.17．(10分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝，求：(1)△ABC的面积；(2)sin∠ACD的值．20 18．(12分)如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B在A的正东方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300m，E在D的正东方向140m处，C在A的北偏东45°方向上，C，E均在B的正北方向．(1)求景点B，E之间的距离；(2)求景点A，C之间的距离．(结果保留根号)20 19．(14分)小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM的夹角为9°时(如图①)，灯带的直射宽度DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35cm，但此时直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(如图②)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)20 20．(14分)[2024重庆渝中区期中]如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为100nmile.一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向．(1)求码头A与小岛C的距离；(结果保留根号)(2)货船在小岛C处准备返回码头B时发生故障，在原地等待救援，一艘救援船在码头A的正东方向和小岛C的南偏东60°方向的D处，以60nmile/h的速度沿射线DC方向前往进行救援，同时一艘补给船以45nmile/h的速度从码头A沿射线AC方向前往小岛C，请通过计算说明救援船能否在补给船到达之前赶到小岛C.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)20 21．(15分)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计)如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)实验图示20 解决问题：根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)20 答案一、1．A　2．A　3．B　4．A　5．C　6．D7．B【点拨】如图，过点B作BC⊥OA于点C.BO＝＝2，AO＝＝2，∵S△AOB＝×2×2＝2，∴AO·BC＝2.∴BC＝＝.∴sin∠AOB＝＝＝.8．C【点拨】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.在Rt△ABC中，tanB＝＝，且BC＝6，∴AC＝2.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°.∵tan∠CAD＝＝，∴DC＝2.当DE⊥AB时，线段DE的长度最小，∵AD平分∠CAB，∴DE＝DC＝2.9．A【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于点B.当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处，此时分针转动了×2＝60°.∴∠AOB＝90°－60°＝30°.在Rt△AOB中，OA＝10，∴AB＝OA·sin30°＝5，OB＝OA·cos30°＝5.20 又∵点A在第一象限，∴点A的坐标为(5，5)．10．A【点拨】∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°.在Rt△ACO中，AC＝12cm，∴AO＝2AC＝24cm.由题意得AO＝A′O＝24cm,∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°.在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·sin72°≈24×0.95≈23(cm)．∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D约为23cm.二、11．105°　12．11.22cm13．【点拨】在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，∠α＝45°，即sinα＝＝，∴AB＝＝＝AC.在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，∠β＝30°，即sinβ＝＝，∴AD＝＝＝2AC.∴＝＝.14．2或【点拨】①如图①，取BC的中点H，连接AH.20 ∵AB＝AC，BH＝CH，∴AH⊥BC.设BC＝AH＝2a，则BH＝CH＝a，∴tanB＝＝＝2；②取AB的中点M，连接CM，作CN⊥AM于点N，如图②.设CM＝AB＝AC＝4b，则BM＝AM＝2b.∵CN⊥AM，CM＝CA，∴AN＝NM＝b.在Rt△CNM中，CN＝＝b，∴tanB＝＝.综上，tanB的值为2或.15．335【点拨】设飞船从A到B处的平均速度为xm/s，则AB＝3xm.∵在Rt△ADO中，AD＝4000m，∠D＝30°，∴AO＝sin30°·AD＝2000m，OD＝cos30°·AD＝2000m.∴OB＝OA＋AB＝(2000＋3x)m.∵CD＝460m，∴OC＝OD－CD＝(2000－460)m.∵地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，20 ∴OB＝OC，即2000＋3x＝2000－460，解得x≈335.故飞船从A到B处的平均速度约为335m/s.三、16．【解】(1)原式＝2×＋×－()2＝1＋1－3＝－1.(2)原式＝1＋2－2×＋＝3.17．【解】(1)如图，作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，tan∠ACB＝3，AC＝，∴易得CH＝1，AH＝3.在Rt△ABH中，∠B＝45°，∴BH＝AH＝3.∴BC＝4.∴S△ABC＝×4×3＝6.(2)如图，作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，∵CD是AB边上的中线，20 ∴S△ACD＝×DE＝S△ABC＝3，∴DE＝.∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，∴易得DF＝AH＝.又∵∠B＝45°，∴BF＝DF＝.∴CF＝BC－BF＝.∴在Rt△CDF中，CD＝＝.∴在Rt△CDE中，sin∠ACD＝＝.18．【解】(1)如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，由题意可知∠DAF＝60°，∴∠DAB＝30°.∵AD＝300m，∴在Rt△ADH中，DH＝AD＝150m，20 AH＝AD·cos30°＝300×＝150(m)．∵∠DHB＝∠ABE＝∠DEB＝90°，∴四边形BEDH是矩形，∴BE＝DH＝150m.故景点B，E之间的距离为150m.(2)由(1)可知AH＝150m，∴AB＝(140＋150)m.∵∠CAB＝90°－45°＝45°，∠ABC＝90°，∴AC＝AB÷cos45°＝(140＋150)÷＝(140＋150)(m)，故景点A，C之间的距离为(140＋150)m.19．【解】设水平线BM与CE的交点为H.由题意知，BM∥AE，∵BD⊥BC，CE⊥BC，∴BD∥CE.∴四边形BDEH是平行四边形．∴BH＝DE＝35cm.在Rt△BHC中，BC＝BH·cos9°≈34.65(cm)．如图，过点C作CN⊥BM于点N，20 ∴CN＝BC·sin30°≈34.65×≈17.3(cm)．∵灯柱AB高40cm，∴点C到桌面的距离为AB＋CN≈40＋17.3＝57.3(cm)，故此时台灯最高点C到桌面的距离约为57.3cm.20．【解】(1)由题意可得，∠CAE＝45°，∠ECB＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝45°.∴AE＝CE.∵tan60°＝＝，∴AE＝CE＝(50＋50)nmile.∴AC＝＝＝(50＋50)(nmile)．即码头A与小岛C的距离为(50＋50)nmile.(2)由题意可得∠ECD＝60°，∴CD＝＝＝(100＋100)(nmile)．∵救援船以60nmile/h的速度沿射线DC方向前往进行救援，∴t救＝＝＋≈4.55(h)．∵补给船以45nmile/h的速度从码头A沿射线AC方向前往小岛C，∴t补＝≈4.29(h)．∵4.29<4.55，∴救援船不能在补给船到达之前赶到小岛C.21．【解】∵BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm，20 ∴OD＝≈＝10(cm)，OB＝≈≈22.78(cm)．∴OC＝OB≈22.78cm.∵∠COA＝37°，CE⊥OA，∴OE＝OC·cos37°≈22.78×0.80≈18.2(cm)．∴DE＝OE－OD≈18.2－10＝8.2(cm)．∴ED的长约为8.2cm.20