2025年春北师版九年级数学下册 第二章综合测试卷

2025年春北师版九年级数学下册第二章综合测试卷限时:90分钟满分:120分一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的有(　　)①y＝3－x2；②y＝；③y＝x(3－5x)；④y＝(1＋2x)(1－2x)＋4x2.A．1个B．2个C．3个D．4个2．[2024宜昌期中]关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是(　　)A．是中心对称图形B．开口向上C．对称轴是直线x＝－2D．最高点是(2，0)3．将抛物线y＝－3x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为(　　)A．y＝－3(x＋1)2＋3B．y＝－3(x－1)2－1C．y＝－3(x＋1)2－1D．y＝－3(x－1)2＋34．汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数表达式是s＝15t－6t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是(　　)A．2.5sB．1.5sC．1.25sD．不能确定17 5．[教材P47习题T1]17 如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为(　　)A．4m2B．6m2C．8m2D．12m26．[2024自贡]一次函数y＝x－2n＋4，二次函数y＝x2＋(n－1)x－3，反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则n的取值范围是(　　)A．n＞－1B．n＞2C．－1＜n＜1D．1＜n＜27．定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为(　　)A．－21B．－9　C．－7D．－58．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则下列结论错误的是(　　)A．abc＞0B．b2－4ac＞0　C．2a－b＝0D．3a＋2c＜017 9．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，当足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用时3s，则足球最大的飞行高度是(　　)A．1.22mB．2.745mC．3.66mD．1.5m10．[2024金华模拟]廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯(点E，F在同一水平线上)，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为(　　)A．12mB．11m　C．10mD．9m二、填空题(每题3分，共15分)11．二次函数y＝x2－2x＋6的最小值为________．17 12．已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是(0，3)，则这个二次函数的表达式可以是________．13．如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是____________．14．[2024济宁]将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________．15．如图①17 为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．三、解答题(共75分)16．(10分)已知二次函数y＝x2－2x＋a的图象过点(2，2)．(1)求二次函数的表达式及图象的对称轴；(2)当n≤x≤2时(n为常数)，对应的函数值y的取值范围是1≤y≤10，试求n的值．17．(10分)已知二次函数y＝2x2－3x＋m－2.(1)若二次函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围；(2)当二次函数的图象经过点(－1，6)时，确定m的值，并求出此二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标．17 18．(10分)已知二次函数y＝－x2＋4x.(1)在如图的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当0<x<5时，y的取值范围；(3)若将此图象向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度，请写出平移后图象所对应的函数表达式．17 19．(14分)实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为每个10元的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，且当x＝12时，y＝96，当x＝20时，y＝80.(1)若该公司获得利润为W(元)，试写出利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元，那么销售单价定为多少元时才可获得最大利润？20．(14分)[2024福建]如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，17 B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．(1)求二次函数的表达式；(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．21．(17分)为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组的同学们在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线形”花边装饰班级公告栏标题．17 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图①的“抛物线形”花边，该花边的高度为12cm.　　17 【摆放花边，制定方案】同学们剪下若干个该花边，尝试在长为60cm，宽为12cm的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案：方案一：如图②，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅由5个连续花边组成的图案．方案二：如图③，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边(即每条抛物线)的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h.【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：(1)求出图①的平面直角坐标系中“抛物线形”花边的函数表达式；(2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当h＝6cm时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数．17 答案一、1．B　2．D　3．C　4．C　5．A　6．C7．B【点拨】由题意得y＝(x＋1)⊗2＝(x＋1＋2×2)·(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，∴函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为－9.8．D【点拨】由二次函数图象开口向下，得a＜0，由函数图象与y轴交于正半轴，得c＞0.∵对称轴直线x＝－＝－1＜0，∴a，b同号，即b＜0，故abc＞0，A正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故B正确；∵对称轴为直线x＝－＝－1，∴b＝2a，故2a－b＝0，C正确；∵3a＋2c＝a＋2a＋2c＝a＋b＋c＋c，当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，且c>0，∴a＋b＋c＋c＞0.故3a＋2c＞0，D错误．故选D.9．B【点拨】由题意，可设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx(a≠0)，依题可知当x＝1时，y＝2.44，当x＝3时，y＝0，∴解得∴y＝－1.22x2＋3.66x(0≤x≤3)，∴该函数图象的顶点坐标为(1.5，2.745)，∴足球最大的飞行高度是2.745m.故选B.10．D【点拨】如图，以AB的中点为原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，17 由题意，得A(－24，0)，B(24，0)，C(0，12)，设抛物线的表达式为y＝ax2＋12，把A(－24，0)的坐标代入，得576a＋12＝0，解得a＝－，∴y＝－x2＋12.∵EF＝24m，∴E点的横坐标为－12，当x＝－12时，y＝－×122＋12＝9，即警示灯E距水面AB的高度为9m．故选D.二、11．5　12．y＝－x2＋3(答案不唯一)13．x＜－1或x＞414．k≥3【点拨】将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度得y＝x2－6x＋12－k.∵抛物线y＝x2－6x＋12－k与x轴有公共点，∴(－6)2－4(12－k)≥0，解得k≥3.故答案为k≥3.15．能三、16．【解】(1)把点(2，2)的坐标代入y＝x2－2x＋a，得4－4＋a＝2，解得a＝2.17 ∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋2.∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴图象的对称轴为直线x＝1.(2)由(1)可知y≥1.∵当n≤x≤2时，1≤y≤10，且当x＝2时，y＝2＜10，∴只有当x＝n时，y＝10，即n2－2n＋2＝10，解得n1＝－2，n2＝4(舍去)，∴n＝－2.17．【解】(1)∵二次函数的图象与x轴有交点，∴(－3)2－8(m－2)≥0，解得m≤.(2)∵二次函数的图象经过点(－1，6)，∴2＋3＋m－2＝6，解得m＝3.∴y＝2x2－3x＋1.当x＝0时，y＝1，∴此二次函数图象与y轴交于点(0，1)．当y＝0时，求得x＝1或x＝，∴此二次函数图象与x轴交于点(1，0)和.18．【解】(1)二次函数y＝－x2＋4x，列表得：x…－1012345…y…－503430－5…描点、连线，函数图象如图所示．17 (2)根据图象，可知当0<x<5时，y的取值范围为－5<y≤4.(3)将y＝－x2＋4x变形为y＝－(x－2)2＋4，此图象向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度，则平移后图象所对应的函数表达式为y＝－(x－2＋3)2＋4－2，即y＝－(x＋1)2＋2.19．【解】(1)设销售量y(个)与销售单价x(元)之间的一次函数表达式为y＝kx＋b，∵当x＝12时，y＝96，当x＝20时，y＝80，∴解得∴y＝－2x＋120，∴W＝(x－10)·(－2x＋120)＝－2x2＋140x－1200.(2)W＝－2x2＋140x－1200＝－2(x－35)2＋1250.∵x≤30，抛物线开口向下，在直线x＝35的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝30时，W有最大值．答：销售单价定为30元时才可获得最大利润．20．【解】(1)由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得∴∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2.(2)由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)．则n＝m2＋m－2.∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，17 ∴＝2，即＝2.∴＝2.又易知CO＝2，∴n＝2CO＝4.∴m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)．∴点P的坐标为(－3，4)．21．【解】(1)根据题意，得顶点A到x轴的距离为12cm，OB＝60÷5＝12(cm)，∴A(6，－12)，B(12，0)．设“抛物线形”花边的函数表达式为y＝a(x－6)2－12(a≠0)，将B点的坐标代入，得a(12－6)2－12＝0，解得a＝，∴“抛物线形”花边的函数表达式为y＝(x－6)2－12，即y＝x2－4x.(2)如图所示．已知EF＝12cm，GH＝h＝6cm，EG＝FH，∴EG＝FH＝(EF－GH)＝×(12－6)＝3(cm)．17 在y＝x2－4x中，令y＝－12＋3＝－9，即x2－4x＝－9，解得x1＝3，x2＝9，∴x2－x1＝6，∵60÷6＝10，∴一排中最多可摆放的花边个数为10.17