2025年春北师版九年级数学下册 期中综合测试卷

2025年春北师版九年级数学下册期中综合测试卷限时:90分钟满分:120分一、选择题(每题3分，共30分)1．[19 教材P6习题T1]在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为(　　)A．B．C．D．2．[2024宁波期中]某人沿着有一定坡度的坡面前进了10m，此时他与水平地面的垂直距离为2m，则这个坡面的坡度为(　　)A．1∶2　B．1∶3　　C．1∶　D．∶13．[2024西安雁塔区月考]下列关于抛物线y＝－x2＋2的说法正确的是(　　)A．抛物线开口向上B．顶点坐标为(－1，2)C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D．抛物线与x轴有两个交点4．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是(　　)A．C1B．C2C．C3D．C45．[2024宿迁模拟]已知二次函数y＝ax2＋bx－2a(a≠0)的图象经过点A(1，n)，19 B(3，n)，且当x＝1时，y＞0.若M(－2，y1)，N(－1，y2)，P(7，y3)也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是(　　)A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y26．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是(　　)A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°7．按下列方法作图可求出tan75°的值，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB，在CB的延长线上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为(　　)A．2－B．2＋C．1＋D．－119 8．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此大桥主架顶端离水面的高CD为(　　)A．asinα＋asinβB．acosα＋acosβC．atanα＋atanβD．9．[2024济南模拟]在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是(　　)10．[2024天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的表达式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是(　　)A．0B．1　C．2D．319 二、填空题(每题3分，共15分)11．若二次函数y＝(m－1)xm2－3m－2的图象开口向下，则m的值为________．12．[2024资阳]在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4.若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是________．13．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”，则抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝x－2的“向心值”为________．14．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′∶AB∶BC＝1∶3∶7，则cos∠ABC＝________．15．[2024武汉]抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过(－1，1)，(m19 ，1)两点，且0＜m＜1.下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c＞1；③若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解；④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若x1＋x2＞－，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤.其中正确的是________(填序号)．三、解答题(共75分)16．(10分)计算：(1)tan45°＋4cos30°sin45°－tan60°.　(2)[2024扬州]|π－3|＋2sin30°－(－2)0.17．(12分)如图，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为(3，4)且OB＝BA.(1)求经过A，B，O三点的抛物线的表达式；(2)将(1)中的抛物线沿x轴向右平移，设点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形ABB′A′为菱形，求平移后的抛物线的表达式．19 18．(12分)在日常生活中我们经常使用订书机．如图，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝5cm.(1)如图①，当∠ABC＝45°时，B，E之间的距离为15cm，求连接杆DE的长度；19 (2)现将压柄BC从图①的位置旋转到与底座AB垂直的位置，如图②所示．求在此过程中点E滑动的距离．19．(12分)[2024烟台]每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？19 20．(14分)如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小)．(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示)，并对设计进行说明；(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示)．19 21．(15分)[2024济南莱芜区模拟]如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA，PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．19 答案一、1．A　2．A3．D【点拨】∵y＝－x2＋2，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(0，2)，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴A，B，C都不正确．∵02－4×(－1)×2＝8＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∴D正确．4．C5．C【点拨】∵函数图象经过点A(1，n)，B(3，n)，∴函数图象的对称轴是直线x＝2，∴－＝2，即b＝－4a，∴y＝ax2－4ax－2a.∵当x＝1时，y>0，∴a－4a－2a>0，∴a＜0.∵M(－2，y1)，N(－1，y2)，P(7，y3)到对称轴的距离从远到近为P，M，N，∴y2＞y1＞y3.6．C【点拨】∵tan45°＝1，tan60°＝，正切值随角的增大而增大，且1＜＜，∴45°＜∠A＜60°.7．B【点拨】在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2k，BC＝k.∵BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA＝∠ABC＝15°.∴∠CAD＝75°.在Rt△ACD中，CD＝CB＋BD＝CB＋AB＝k＋2k，则tan75°＝tan∠CAD＝＝＝2＋.8．C【点拨】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC19 ＝atanα，BD＝atanβ，∴CD＝BC＋BD＝atanα＋atanβ.故选C.9．C【点拨】由方程组得ax2＝－a.∵a≠0，∴x2＝－1，则该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，故B错误；选项A中二次函数图象开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0，但是一次函数中b为一次项系数，图象显示从左向右上升，则b＞0，两者矛盾，故A错误；由二次函数的图象应过原点，知D错误．故选C.10．C【点拨】令h＝0，则30t－5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球从抛出到落地需要6s，故①正确；h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，∵－5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动中的高度可以是30m，故②正确；当t＝2时，h＝30×2－5×4＝40，当t＝5时，h＝30×5－5×25＝25.∵40>25，∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误．二、11．－112．2＜AB＜8【点拨】如图，作△ABC的高CD，BE.19 ∵△ABC是锐角三角形，∴CD，BE在三角形的内部，∴AB＞AD，AC＞AE.在Rt△ACD中，∠A＝60°，AC＝4，∴AD＝AC·cosA＝4×＝2，∴AB＞2.又∵AB＝＜＝＝8，∴2＜AB＜8.13．【点拨】设抛物线与直线在竖直方向上的距离为w，则w＝|x2－2x＋3－(x－2)|＝|x2－3x＋5|＝＝＋，∴w的最小值为，即抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝x－2的“向心值”为.14．或【点拨】设直线l交BC于点F.当C′在AB之间时，如图①，根据19 AC′∶AB∶BC＝1∶3∶7，不妨设AC′＝1，AB＝3，BC＝7，由翻折的性质知∠FCD＝∠FC′D′，C′F＝CF.∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，∴∠BC′F＋∠FC′D′＝180°＝∠FCD＋∠FBA，∴∠BC′F＝∠FBA，∴BF＝C′F＝CF＝.过点F作AB的垂线，垂足为E，∴BE＝BC′＝(AB－AC′)＝1，∴cos∠ABC＝＝＝；当C′在BA的延长线上时，如图②，根据AC′∶AB∶BC＝1∶3∶7，不妨设AC′＝1，AB＝3，BC＝7，同理知CF＝C′F＝BF＝，过点F作AB的垂线，垂足为E，∴BE＝BC′＝(AB＋AC′)＝2，∴cos∠ABC＝＝＝.综上，cos∠ABC的值为或.　　19 15．②③④【点拨】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(－1，1)，(m，1)两点，∴对称轴为直线x＝－＝.∵0<m<1，∴－<<0，即－<－<0.又a<0，∴b<0，结论①错误；∵0<m<1，∴m－(－1)>1，即点(－1，1)和(m，1)的距离大于1.∵a<0，∴抛物线开口向下．当0<x<1时，－1<x－1<0，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c>1，结论②正确；当a＝－1时，抛物线为y＝－x2＋bx＋c，∴顶点坐标为.由题易知－<<0，∴－1<b<0.∵抛物线经过点(－1，1)，∴－1－b＋c＝1，即c＝b＋2.令顶点的纵坐标为p，则p＝＝b2＋b＋2＝(b＋2)2＋1.∵－1<b<0，>0，∴<p<2，即抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点纵坐标大于且小于2.又抛物线开口向下，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解，结论③正确；由④中的已知条件易知－<≤－，解得0<m≤，结论④正确．故答案为②③④.三、16．【解】(1)tan45°＋4cos30°sin45°－tan60°19 ＝1＋4××－×＝1＋－1＝.(2)|π－3|＋2sin30°－(－2)0＝π－3＋2×－1＝π－3.17．【解】(1)∵B点坐标为(3，4)且OB＝BA，∴A(6，0)．又∵O(0，0)，∴设所求抛物线的表达式为y＝ax(x－6)，将点B(3，4)的坐标代入y＝ax(x－6)，可得4＝－9a，∴a＝－，∴y＝－x(x－6)，即y＝－x2＋x.(2)由题意可得，BA＝＝5.∵四边形ABB′A′为菱形，∴BB′＝BA＝5.∵抛物线沿x轴向右平移，∴B′(8，4)，∴易知平移后抛物线的表达式为y＝－(x－8)2＋4.18．【解】(1)如图，过点D作DM⊥AB，垂足为M.19 在Rt△BDM中，DM＝BD·sin45°＝5cm，BM＝BD·cos45°＝5cm.在Rt△DEM中，∠DME＝90°，DM＝5cm，EM＝BE－BM＝10cm，∴DE＝＝5cm，∴连接杆DE的长度为5cm.(2)在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，BD＝5cm，DE＝5cm，∴BE＝＝5cm，∴在此过程中点E滑动的距离为(15－5)cm.19．【解】(1)y＝(200－x)＝－0.4x2＋20x＋12000＝－0.4(x－25)2＋12250.∵200－x≥180，∴x≤20.∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4×(20－25)2＋12250＝12240(元)．答：y与x的函数关系式为y＝－0.4(x－25)2＋12250；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元．(2)由题得12160＝－0.4(x－25)2＋12250，解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10.∴这天售出了60＋4×＝64(辆)轮椅．19 20．【解】(1)如图，在地面上取C，测量BC＝m，测量∠ACB＝α，根据tanα＝，即可得出AB的高度．(2)由(1)得tanα＝，∴AB＝BC×tanα＝mtanα.21．【解】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点，∴解得∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－8.∵y＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9，∴抛物线的顶点坐标为(－1，－9)．(2)∵抛物线y＝x2＋2x－8与y轴交于点C，∴C(0，－8)．设直线AC的表达式为y＝mx＋n，则解得∴直线AC的表达式为y＝－2x－8.过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图．19 设P(t，t2＋2t－8)，则F(t，－2t－8)，∴PF＝－2t－8－(t2＋2t－8)＝－t2－4t.∴S△PAC＝S△PAF＋S△PCF＝PF·(xC－xA)＝2PF＝2(－t2－4t)＝－2(t＋2)2＋8.∵－2＜0，∴当t＝－2时，S△PAC的值最大，最大值为8，此时点P的坐标为(－2，－8)．19