2025年春九年级数学下册 第二章综合测试卷（北师山西版）

2025年春九年级数学下册第二章综合测试卷（北师山西版）一、选择题(每题3分，共30分)题序12345678910答案1.[P30随堂练习T1]变式下列函数中是二次函数的是(　　)A．y＝x－1B．y＝C．y＝(x－2)2－x2D．y＝x(x－1)2．对于二次函数y＝－(x－1)2的图象的特征，下列描述正确的是(　　)A．开口向上B．经过原点C．对称轴是y轴D．顶点在x轴上3．[2024长治期末]将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的表达式为(　　)A．y＝2(x＋1)2－2B．y＝2(x＋1)2＋2C．y＝2(x－1)2＋2D．y＝2(x－1)2－24.[P39例1变式]抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是直线(　　)A．x＝－2B．x＝2C．x＝－4D．x＝45．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么该抛物线的表达式为(　　)A．y＝－2x2＋4x＋5B．y＝2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x－1D．y＝2x2＋4x＋36.函数y＝kx2－2与y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)17 7.铅球运动是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目．如图，将一位运动员所推铅球的行进路线近似地看成一条抛物线，其中铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员所推铅球的水平距离为(　　)A．10mB．5mC．4mD．2m8．滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系可以近似用二次函数表示，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4s时，滑行距离为(　　)A．40mB．48mC．56mD．72m9．点A，B，C(2，y3)都在抛物线y＝－x2＋x－m上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)A．y2＞y3＞y1B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y310．[2024长治期末]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝－1.下列结论正确的是(　　)17 A．abc>0B．4ac>b2C．b－2a＝0D．4a－2b＋c>0二、填空题(每小题3分，共15分)11．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是________．12．[2024吕梁期末]请写出一个二次函数的表达式，使其图象的对称轴为直线x＝1，与y轴的正半轴有交点：______________．13．若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．14．[2024山西大同一中期中]如图，利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃ABCD(墙足够长)为了便于打理，决定在与墙平行的边BC上预留出宽为2m的出口EF.设AB边的长为xm，花圃的面积为ym2，则y与x之间的函数关系式是________________．(不必写出x的取值范围)15．如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新的函数图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若阴影部分的面积为9，则新图象所对应的函数表达式是____________________．17 三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(7分)[P45习题T2变式]一个二次函数的图象经过(－1，0)，(0，6)，(3，0)三点，求这个二次函数的表达式．17．(8分)已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)将y＝2x2－4x－6化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)结合图象可知：当－1≤x≤2时，y的取值范围为____________．18．(8分)如图，抛物线y＝(x＋2)2＋m与y轴交于点C，点B17 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数y＝kx＋b的图象与该抛物线交于点A(－1，0)和点B.(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)根据图象，直接写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．17 19．(8分)[2024太原期末]图①是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有200多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度OA为120米，拱桥离水面的最大高度为80米．(1)求该抛物线的表达式；(2)若要在桥洞两侧墙壁上距离水面35米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离BC.17 20.(10分)[2024运城期末]大熊猫是中国独有的一种动物，数量稀少，被称为“中国国宝”．某店专门销售熊猫公仔玩具，每件的成本为30元，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系．(1)y与x之间的函数关系式为______________．(2)如果规定熊猫公仔玩具每天的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？21．(10分)综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．17 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的叶片(图①)、一棵生长的幼苗(图②)都可以看成是把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成的．任务：(1)如图③，建立平面直角坐标系，叶片下部轮廓线可以看成是二次函数y＝－ax2＋4ax＋4a＋1图象的一部分，且过原点，求抛物线的表达式及顶点D的坐标；【任务一】研究叶片的宽度：(2)如图③，叶片的对称轴直线y＝x＋2与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G.求叶片此处的宽度CC1；【任务二】探究幼苗叶片的长度：(3)小李同学在观察幼苗生长的过程中发现，幼苗叶片下方轮廓线都可以看成是二次函数y＝－ax2＋4ax＋4a＋1图象的一部分；如图④，幼苗叶片下方轮廓线正好对应(1)中的二次函数，已知直线PD(点P为叶尖)与水平线所夹的锐角为45°，求幼苗叶片的长度PD.22．(12分)阅读与思考：下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．17 用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点，与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根，因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标和一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac，分别对a>0和a<0两种情况进行分析：(1)当a>0时，抛物线开口向上．①当Δ＝b2－4ac>0时，有4ac－b2<0，∴<0，∴顶点在x轴的下方，即抛物线与x轴有两个交点(如图①)，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；②当Δ＝b2－4ac＝0时，有4ac－b2＝0，∴＝0，∴顶点在x轴上，即抛物线与x轴有一个交点(如图②)，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；17 ③当Δ＝b2－4ac<0时，……(2)当a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是________(多选)；A．数形结合思想B．统计思想C．分类讨论思想D．转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，将③补充完整，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学中还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例：__________________________________________________________________.23．(12分)[2024吕梁期末]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于点A，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝，交x轴于点D.17 (1)求该二次函数及BC所在直线的表达式；(2)如图①，在线段BC上是否存在一点Q，使得以Q，D，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，P是该二次函数图象上位于第一象限内的一动点，连接PA，分别交BC，y轴于点E，F，连接BP.若△PEB和△CEF的面积分别为S1，S2，请直接写出S1－S2的最大值．17 答案一、1.D　2.D　3.B　4.B　5.B　6.C　7.A　8.B　9.A　10.C二、11.a＞3　12.(答案不唯一)y＝x2－2x＋2　13.1　14．y＝－2x2＋52x　15.y＝(x－2)2＋4三、16.解：由题意，可设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)·(x－3)，将(0，6)代入，得－3a＝6，解得a＝－2，所以这个二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.17．解：(1)y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8.(2)如图．(3)－8≤y≤018．解：(1)∵抛物线经过点A(－1，0)，∴将(－1，0)的坐标代入y＝(x＋2)2＋m，得0＝1＋m，解得m＝－1，∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－1，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，且易知其对称轴为直线x17 ＝－2，∴点B的坐标为(－4，3)．(2)x≤－4或x≥－1.19．解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(60，80)，∴可设该抛物线的表达式为y＝a(x－60)2＋80.∵抛物线经过原点，∴a×(0－60)2＋80＝0，解得a＝－，∴该抛物线的表达式为y＝－(x－60)2＋80.(2)令y＝35，则－(x－60)2＋80＝35.解得x1＝15，x2＝105.∴B(15，35)，C(105，35)，∴BC＝105－15＝90(米)．答：两盏景观灯之间的水平距离BC为90米．20．解：(1)y＝－10x＋700(2)设每天的利润为w元，则w＝(x－30)(－10x＋700)＝－10(x－50)2＋4000.∵－10x＋700≥240，∴x≤46.∵－10<0，∴当x≤46时，w随x的增大而增大，∴当x＝46时，即当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润为－10×(46－50)2＋4000＝3840(元)．21．解：(1)∵二次函数y＝－ax2＋4ax＋4a＋1的图象过原点，∴4a＋1＝0，解得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝x2－x＝(x－2)2－1，17 ∴顶点D的坐标为(2，－1)．(2)由(1)可知，抛物线的表达式为y＝x2－x，令y＝0，则x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴C(4，0)．∵直线y＝x＋2与坐标轴交于A，B两点，当y＝0时，x＝－2，当x＝0时，y＝2，∴A(－2，0)，B(0，2)，∴OA＝OB＝2，∴△AOB是等腰直角三角形，且∠BAO＝45°.∵C，C1是关于直线AB的一对对称点，∴CC1⊥AB，CC1＝2CG，∴易知△ACG是等腰直角三角形．∵AC＝4－(－2)＝6，∴易得CG＝3，∴CC1＝2CG＝6.(3)由题意得点P在抛物线y＝x2－x上，点D的坐标为(2，－1)，∴设点P的坐标为，且n<0.如图，过点D作x轴的平行线DF，过点P作PF⊥DF于点F，依题意有∠PDF＝45°，∴易得PF＝FD，即n2－n－(－1)＝2－n，17 解得n＝－2或n＝2(舍去)，∴P(－2，3)，∴幼苗叶片的长度PD＝＝4.22．解：(1)ACD(2)③当Δ＝b2－4ac<0时，有4ac－b2>0，∴>0，∴顶点在x轴的上方，即抛物线与x轴无交点，如图，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．(3)可用函数观点来认识二元一次方程组的解(答案不唯一)23．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点B(4，0)，C(0，2)，对称轴是直线x＝，∴解得∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.设BC所在直线的表达式为y＝kx＋m，将点B(4，0)，C(0，2)的坐标代入，得解得17 ∴BC所在直线的表达式为y＝－x＋2.(2)存在．∵对称轴是直线x＝，点B的坐标为(4，0)，∴点A的坐标为(－1，0)．又∵点B(4，0)，C(0，2)，D，∴OD＝，BD＝，CO＝2，BO＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝2，分两种情况：①如图①，当∠QDB＝∠CAB时，△BQD∽△BCA，∴＝，即＝，∴BQ＝.过点Q作QH⊥x轴于点H，∵OC⊥x轴，∴QH∥CO，∴△BQH∽△BCO.∴＝＝＝，∴QH＝1，把y＝1代入y＝－x＋2，得x＝2，∴此时点Q的坐标为(2，1)；　　②如图②，当∠BQD＝∠CAB时，△BQD∽△BAC，17 ∴＝，即＝，∴QB＝.过点Q作QG⊥x轴于点G，∵OC⊥x轴，∴QG∥CO.∴△BQG∽△BCO.∴＝，即＝，∴QG＝.把y＝代入y＝－x＋2，得x＝.∴此时点Q的坐标为.综上所述，点Q的坐标为(2，1)或.(3)S1－S2的最大值为.17