2025年春九年级数学下册 第三章综合测试卷（北师山西版）

2025年春九年级数学下册第三章综合测试卷（北师山西版）一、选择题(每题3分，共30分)题序12345678910答案1.已知有两点O，A，且这两点间的距离OA＝6，以O为圆心，r为半径作⊙O.若点A在⊙O内，则r的值可能是(　　)A．4B．5C．6D．72．三角形的外心是三角形的(　　)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点3．[2024山西现代双语学校月考]如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COB＝40°，则∠A的度数是(　　)A．50°B．55°C．60°D．65°4.某排水管的截面示意图如图所示，已知排水管的截面半径为13cm，水面宽AB＝24cm，则最大水深为(　　)A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为(　　)15 A．40°B．60°C．50°D．80°6．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ABC＝45°，连接AO，过点O作OE⊥BC交BC于点D，交⊙O于点E.若点D是OE的中点，则∠AOE的度数为(　　)A．120°B．135°C．140°D．150°7．传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20cm，如果该转动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为(物体A始终在传送带上)(　　)A.πcmB．40πcmC．80πcmD.πcm8．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为(　　)A．3∶4B.∶2C．2∶D．1∶29．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点D，交AB于点C.下列结论：①PA＝PB；②AC＝BC；③OC＝CD；④PA·AC＝PC·AO.其中正确的有(　　)A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④15 10.山西传统工艺源远流长，种类丰富，其中高平珐华器、平遥推光漆器和新绛澄泥砚因其高超的制作工艺、独特的文化内涵、重要的艺术价值，被誉为“山西三宝”．如图是平遥推光漆器的某部分放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积和为(　　)A.πB．π－2C．2πD．2π－4二、填空题(每小题3分，共15分)11．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠B＝________．12．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠A＝60°，∠C＝80°，则∠BOD的度数是________．13．如图，⊙P的半径为2，点P在函数y＝(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为__________．14．[2024大同联考]如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，则⊙O的直径AE＝________．15．放置在直线l上的扇形AOB，先由位置①滚动(无滑动)到位置②，再由位置②滚动到位置③，如图所示．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的路径长为________．15 三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(7分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．17．(8分)[2024太原期末]如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是⊙O上一点，OD⊥AB，连接CD交AB于点E，F是AB延长线上的一点，且CF＝EF.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若CF＝8，BF＝4，求弧BD的长度．15 18．(8分)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作△ABC的外接圆，圆心为O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.(2)在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：①AD与⊙O的位置关系是________；②线段AE的长为________．19．(9分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，CD交AB于点E，连接AC，BC，OD，∠BOD＝120°.(1)求∠BEC的度数；15 (2)若DF是⊙O的切线，且DF与BA的延长线交于点F，AC＝2，则图中阴影部分的面积为________．20．(9分)景德桥是一座著名的古代石拱桥，它位于我国山西省东南部的晋城西门外．如图，拱桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，拱桥的桥拱可看成圆的一部分，若水面上升3米至EF处，求此时的水面宽度EF.21．(9分)下面是小安同学的日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．××年×月×日　　星期一　　晴15 今天，我们学习了圆周角定理及其推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．思考一：如图①，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上(不与点A，B重合)，则∠ACB＝90°.这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图②，已知线段AB和直线AB外一点C，且∠ACB＝90°，则点C在以AB为直径的圆上．思考二：若将图②中的∠ACB改为45°，点C的位置会有怎样的特点呢？经过不断尝试，我发现以AB为底边，构造等腰直角三角形AOB，再以点O为圆心，OA长为半径作圆，则点C在弦AB所对的优弧上．……任务：(1)小安发现思考一中的新命题是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．证明：取线段AB的中点K，连接KC(如图②)，则KC是AB边上的中线．……(2)请根据思考二，在图③中利用尺规作出符合要求的点C.(保留作图痕迹，不写作法)(3)若将图②中的∠ACB改为120°，你能确定点C的位置吗？请说明你的思路．15 22．(12分)综合与实践：【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图①，A，B表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距2海里，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”∠ACB有怎样的大小关系？【解决问题】(1)如图①，请你用已学知识判断∠α与“危险角”∠ACB的大小关系；【问题探究】(2)如图②，在优弧AB上还有一个灯塔E，经测量，灯塔AE之间的距离为(＋)海里，sin∠EAB＝，求“危险角”∠ACB的大小；【问题拓展】(3)如图③，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距3海里，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔A，B的夹角∠AQB最大时，求此时货轮Q与港口K的距离．15 23．(13分)综合与探究：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图①，A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D.小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E.请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．①在图②中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x轴的正半轴上有一点D(不与点C重合)，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为________；(2)如图③，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m＞n＞0.点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB15 达到最大时，直接写出此时点P的坐标．15 答案一、1.D　2.C　3.B　4.B　5.C6．D　7.D　8.B　9.D　10.D二、11.70°　12.70°　13.(4，2)　14.5　15.三、16.解：∵∠A＝45°，∴∠D＝45°.∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴BC＝BD·sin45°＝2×＝.17．(1)证明：如图，连接OC.∵CF＝EF，∴∠CEF＝∠ECF.∵OD⊥AB，∴∠DOE＝90°，∴∠ODE＋∠OED＝90°.∵OD＝OC，∴∠ODE＝∠OCD.∵∠CEF＝∠OED，∠CEF＝∠ECF，∴∠OED＝∠ECF，∴∠OCD＋∠ECF＝90°，即∠OCF＝90°，∴OC⊥CF.又∵OC为⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．(2)解：设⊙O的半径为r，∵BF＝4，∴OF＝r＋4，在Rt△OCF中，OF2＝OC2＋CF2，∴(r＋4)2＝r2＋82，解得r＝6，∴弧BD的长度为＝3π.15 18．解：(1)①②③如图．(2)①相切②　点拨：由题易得AD＝AC＝AB·＝2.由①知∠BAD＝90°，∴BD＝＝2.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴S△ABD＝AB·AD＝BD·AE，∴AE＝＝.故线段AE的长为.19．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵＝，∴∠B＝∠CAB＝×(180°－90°)＝45°.∵∠BOD＝120°，∴∠DCB＝∠BOD＝60°.∴∠BEC＝180°－∠B－∠DCB＝180°－45°－60°＝75°.(2)2－20．解：设所在圆的圆心为O，EF与CD交于点G，连接OB，OC，OF，则O，C，G，D四点共线，OC⊥AB，OG⊥EF，∴15 AC＝BC＝AB＝10米．设⊙O的半径是r米，则OC＝OD－CD＝(r－4)米．在Rt△OCB中，OB2＝OC2＋BC2，即r2＝(r－4)2＋102，解得r＝14.5，∴OF＝14.5米，OG＝14.5－4＋3＝13.5(米)，∴GF＝＝2米．∵OD⊥EF，∴GE＝GF，∴EF＝2GF＝4米．即此时的水面宽度EF为4米．21．解：(1)∵∠ACB＝90°，∴KC＝KA＝KB＝AB.∴点C在以AB为直径的⊙K上．(2)如图，点C即为所求(点C为弦AB所对的优弧上任意一点)．(3)能．先以线段AB为边构造等边三角形AOB，再作△AOB的外接圆，则点C为弦AB所对的劣弧上任意一点或外接圆的圆心．22．解：(1)如图①，设AP与A，B所在的圆相交于点D，连接BD，由同弧所对的圆周角相等，可知∠ACB＝∠ADB.　∵∠ADB是△BDP的外角，∴∠APB<∠ADB，∴∠APB<∠ACB，即∠ACB>∠α.15 　　(2)如图②，过点B作BH⊥AE于点H，连接BE，∵在Rt△ABH中，sin∠EAB＝＝，∴BH＝·AB＝×2＝(海里)，∴AH＝＝海里，∴HE＝AE－AH＝海里．∵BH＝HE＝海里，∠BHE＝90°，∴∠AEB＝45°，∴∠ACB＝∠AEB＝45°.(3)易知直线KQ与过A，B两点的圆相切，点Q为切点时，∠AQB最大．设该圆的圆心为O，过点O作ON⊥AK于点N，连接OA，OB，OK，OQ，如图③.由(2)知，“危险角”为45°，∴∠AOB＝90°.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∴AO＝OB＝AB＝2海里．∵∠KAB＝90°，∴∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝OA＝海里，∴KN＝AK－AN＝2海里．在Rt△ONK中，OK2＝ON2＋KN2，易知∠OQK＝90°，OQ＝OA＝2海里，∴在Rt△OKQ中，KQ＝＝＝海里，15 ∴此时货轮Q与港口K的距离是海里．23．解：(1)①如图．②(7，0)(2)点P的坐标是(，0)．15