2025年春九年级数学下册 期中综合测试卷（北师山西版）

2025年春九年级数学下册期中综合测试卷（北师山西版）一、选择题(每题3分，共30分)题序12345678910答案1.[2024长治期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则cosA的值为(　　)A.B.C.D.2．直角三角形的一条直角边长8cm，它所对的角的度数为30°，则斜边长(　　)A．2cmB．4cmC．2cmD．16cm3．已知α为锐角，sin(α－20°)＝，则α的度数为(　　)A．20°B．40°C．60°D．80°4．[2024晋城联考]关于二次函数y＝x2－2x－4的图象，下列说法中错误的是(　　)A．当x<2时，y随x的增大而减小B．函数图象的对称轴是直线x＝1C．函数图象与y轴的交点坐标是(0，－4)D．函数图象的开口向上5.如图，CD是一个平面镜，光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为(　　)A.B.C.15 D.6．反比例函数y＝(k≠0)的图象位于第二、四象限内，则二次函数y＝kx2－2x的大致图象是(　　)7．[2024吕梁期末]如图，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得到矩形A′B′CD′，此时点B′恰好落在边AD上，若点B′是AD的中点，则∠DCD′的度数为(　　)A．30°B．45°C．60°D．80°8．在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x－3－2－1123456y－14－7－22mn－7－14－23则m，n的大小关系为(　　)A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法比较9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝at2＋bt＋1.已知“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为33m，则“水火箭”升空的最大高度为(　　)A．33mB．36mC．37mD．40m15 10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝，经过点(2，0)．有下列结论：①abc>0；②若(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线上的两点，则当x1>x2>时，y1>y2；③2a＋c＝0；④不等式ax2＋bx＋c>0的解集是－1<x<2；⑤若，是抛物线上的两点，则m<n.其中正确的是(　　)A．①③④B．②③⑤C．③④⑤D．②④⑤二、填空题(每小题3分，共15分)11．[2024大同联考]在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，sinA＝，则AB的长是________cm.12．[2024朔州期末]在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2(x－3)2先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为______________．13.一人乘雪橇沿坡度为1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系式为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为________m.14．[2024晋城联考]二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B15 两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，与y轴交于点C，且tan∠ACO＝，CO＝BO，AB＝3，则这条抛物线的表达式是__________________．三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(10分)计算：(1)cos60°＋sin45°＋tan30°；　　(2)2sin30°－3tan45°·sin245°＋4cos60°.17．(6分)如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，求AC的长．15 18．(7分)如图，抛物线y1＝x2＋bx－c经过直线y2＝x－3与坐标轴的两个交点A，B.(1)求该抛物线的表达式；(2)当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．19．(8分)某书店销售儿童期刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若每套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获得利润y15 元．(1)求y关于x的函数表达式．(2)若书店每天要盈利750元，则需要降价多少元？(3)当每套书降价多少元时，书店可获得最大利润？最大利润是多少？20．(10分)[2024运城期末]项目化学习：某初中数学兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一栋楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房AB前有一斜坡CD，它的坡度i＝1∶.他们先在坡面上的D处测量楼房顶部A的仰角∠ADM，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶部A的仰角∠AEB，并测量了C，E之间的距离，最后测量了坡面上C，D之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果(测角仪高度忽略不计)，如下表：项目内容课题测量学校附近楼房的高度测量方案示意图说明：测点D，E与点C，B都在同一水平面上测量数据测量项目第一次第二次平均值15 仰角∠ADM的度数30.2°29.8°30°仰角∠AEB的度数60.1°59.9°60°C，E之间的距离5.1米4.9米5米C，D之间的距离9.8米10.2米……任务一：两次测量C，D之间的距离的平均值是________米；任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房AB的高．(结果精确到0.1米．参考数据：＝1.73，＝1.41)21．(9分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.(1)求证：∠BAE＝∠DAF；15 (2)若AE＝4，AF＝6，tan∠BAE＝，求CF的长．22．(12分)[2024晋城期末]阅读下列材料，完成后面任务：汽车能通过隧道吗？如图①，在通过隧道时，要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道的顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5米，那么怎样确定通过隧道的车辆的限制高度(在最边缘能通过的最大高度)？小明所在的数学兴趣小组对此进行了如下研究：【测量数据】如图②，这是隧道的横截面，已知该隧道内设双行线公路，它是由抛物线AOB和矩形ABCD组成的，测得隧道宽AB＝10米，矩形的一边长BC＝2米，隧道最高处与路面的距离OF＝7米.【建立坐标系】15 老师根据所给的数据，以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系.【计算限制高度】老师让同学们根据老师所建立的坐标系及所给的数据确定通过隧道的车辆的限制高度.任务：(1)根据老师所建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)若行车道总宽度MN为7米，请计算可以通过该隧道的车辆的限制高度为多少米．23．(13分)[2024阳泉期末]综合与探究：如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，D是x轴上的一个动点(不与点A，O，B重合)，过点D作DP∥y轴，分别交抛物线和直线BC于点P，E.设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．(2)当点D在线段OB上运动，且E为PD的中点时，求m的值．(3)连接CD，是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．15 15 答案一、1.A　2.D　3.D　4.A　5.A6．A　7.C　8.A　9.C　10.C二、11.10　12.y＝2(x－6)2＋1　13.36　14.x1＝0，x2＝215．y＝x2－x－2　点拨：∵tan∠ACO＝，∴＝，∴OC＝2OA.∵CO＝BO，∴BO＝2AO.又∵AB＝AO＋BO＝3，∴AO＝1，BO＝2，∴点A，B的坐标分别为(－1，0)，(2，0)．把(－1，0)，(2，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴这条抛物线的表达式是y＝x2－x－2.三、16.解：(1)原式＝＋×＋×＝＋＋1＝2.(2)原式＝2×－3×1×（）＋4×＝1－＋2＝.17．解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵sinB＝＝，AB＝3，∴AD＝1.在Rt△ACD中，∵tanC＝＝，∴CD＝，∴AC＝＝＝.18．解：(1)对于y2＝x－3，当y2＝0时，x＝3，当x＝0时，y2＝－3，∴A(3，0)，B(0，－3)．将点A(3，0)，B(0，－3)的坐标分别代入y1＝x2＋bx－c，15 得解得∴该抛物线的表达式为y1＝x2－2x－3.(2)当y1<y2时，x的取值范围为0＜x＜3.19．解：(1)y＝(30－x)(20＋2x)＝－2x2＋40x＋600(0≤x≤30)．(2)令(30－x)(20＋2x)＝750，化简，得x2－20x＋75＝0，解得x1＝15，x2＝5.∵要尽快减少库存，∴x＝15.答：需要降价15元．(3)y＝－2x2＋40x＋600＝－2(x－10)2＋800，∵0≤x≤30，－2<0，∴当x＝10时，y最大＝800.答：每套书降价10元时，书店可获得最大利润，最大利润是800元．20．解：任务一：10任务二：如图，过点D作DG⊥BC于点G，DF⊥AB于点F，交AE于点H.过点H作HP⊥BC于点P.则易得DG＝HP＝FB，DH＝GP.∵i＝1∶，∴∠DCG＝30°.又∵CD＝10米，∴在Rt△DCG中，DG＝CD＝5米，CG＝cos30°×CD＝5米．15 在Rt△EHP中，∠HEP＝60°，HP＝DG＝5米，∴EP＝＝＝(米)．∴DH＝GP＝CG＋CE＋EP＝5＋5＋＝米．易知∠AHF＝∠AEB＝60°，∴∠DAH＝∠AHF－∠ADH＝30°＝∠ADH，∴AH＝DH＝米．∴在Rt△AHF中，AF＝AH×sin60°＝×＝米．∴AB＝AF＋FB＝AF＋DG＝10＋＋5＝15＋≈19.3(米)．答：学校附近楼房AB的高约为19.3米．21．(1)证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.∴90°－∠B＝90°－∠D，即∠BAE＝∠DAF.(2)解：∵在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，AE＝4，∴BE＝3，∴AB＝＝5.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝5.∵∠BAE＝∠DAF，∴tan∠DAF＝tan∠BAE＝，∴在Rt△ADF中，DF＝AF·tan∠DAF＝6×＝，∴CF＝CD－DF＝.22．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2，由题图②易知点A(－5，－5)，15 将点A(－5，－5)的坐标代入y＝ax2，得－5＝25a，解得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－x2.(2)当x＝3.5时，y＝－×3.52＝－2.45，2.45＋0.5＝2.95(米)，7－2.95＝4.05(米)．答：该隧道通过车辆的限制高度为4.05米．23．解：(1)把A(－1，0)，B(3，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx－4，得解得∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－4.当x＝0时，y＝－4.∴C(0，－4)．直线BC的函数表达式为y＝x－4.(2)根据题意，得D(m，0)，∴P，E.∴DE＝4－m，PD＝－m2＋m＋4.∵E为PD的中点，∴DE＝PD，∴4－m＝，解得m＝1或m＝3(舍去)．∴m的值为1.15 (3)存在，点D的坐标为(－3，0)或或(－12，0)或.15