人教版七年级数学上册期末复习考点清单 专题04 整式的加减（4个考点清单 11种题型解读）

专题04整式的加减（4个考点清单+11种题型解读）【清单01】单项式1.单项式定义（1）定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8；（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号如的系数是；的系数是；（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1；34 （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2.3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次；（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“”或者省略不写。例如：可以写成或5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.【清单02】多项式1、定义：几个单项式的和叫多项式.2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.3、多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.【清单03】整式（1）单项式和多项式统称为整式。（2）单项式或多项式都是整式。（3）整式不一定是单项式。（4）整式不一定是多项式。（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。【清单04】同类项34 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。2.合并同类项：（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。（2）合并同类项的法则：　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。（3）合并同类项步骤：　a．准确的找出同类项。　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。　c．写出合并后的结果。（4）在掌握合并同类项时注意：　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.　b.不要漏掉不能合并的项。　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。【考点题型一】单项式和多项式的判断【典例1】在代数式a+bc，2a，ax2+bx+c，xyz，a，bx，a+bxy中（    ）A．有3个单项式，2个多项式B．有4个单项式，3个多项式C．有6个整式D．有7个整式【变式1-1】在x2y,−x,2x+34,0,3x这五个代数式中，单项式有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】在下列整式12ab−πr2，a+b2，xy3，2.5v中多项式有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点题型二】单项式的项和次数【典例2】单项式9x4y3的系数、次数分别是（    ）A．9，6B．−9，7C．9，7D．−9，834 【变式2-1】下列说法正确的是（    ）A．−2xy的系数是2B．2πx的次数是2C．x+y2是单项式D．x2+x−2的次数是2【变式2-2】关于x、y的单项式−13x4y2的次数是（   ）A．2B．4C．6D．8【变式2-3】下列关于单项式−2ab23的说法中，正确的是（    ）A．系数是23，次数是3B．系数是−23，次数是2C．系数是−23，次数是3D．系数是23，次数是2【考点题型三】多项式的项、项数或次数【典例3】多项式5x3−2x2y4+m−7的项数和次数分别是（　　）A．4，9B．3，9C．4，6D．3，6【变式3-1】多项式5x2y−6+13xy4的次数和常数项分别是（    ）A．4，−6B．5，−6C．4，6D．5，6【变式3-2】如果整式xn−3−5x2+2是关于x的三次三项式，那么n等于（    ）A．2B．4C．5D．6【变式3-3】对于多项式−3x−2xy2−1，下列说法中，正确的是（    ）A．一次项系数是3B．最高次项是2xy2C．常数项是−1D．是四次三项式【考点题型四】多项式系数、指数中字母求值【典例4】已知多项式−7ambn+5ab2−1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则−nm的值为（    ）A．−1B．3或−4C．−1或4D．−3或4【变式4-1】多项式15x2ym−(m+1)y+17是关于x，y的三次二项式，则m的值是（   ）A．1B．±1C．−1D．0【变式4-2】如果整式xn−2+5x−2是三次三项式，那么n等于【变式4-3】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m﹣n＝．34 【考点题型五】去括号和添括号【典例5】下列去括号正确的是（   ）A．−(a+b−c)=−a+b−cB．−2(a+b−3c)=−2a−2b+6cC．−(−a−b−c)=−a+b+cD．−(a−b−c)=−a+b−c【变式5-1】下列各式中去括号正确的是（    ）A．a−（2b−7c）=a−2b+7cB．a2−2（a−b−c）=a2−a−b+cC．（a+1）−（−b+c）=a+1+b+cD．（a−d）−（b+c）=a−b+c−d【变式5-2】下列去括号或添括号不正确的是（　　）A．a−b+c=a−b−cB．a−b+c=a+c−bC．a−2b−c=a−2b+2cD．a−2b−c=a−2b+c【变式5-3】下列各式中，去括号或添括号正确的是（    ）A．a2−(2a−b+c)=a2−2a−b+cB．a−3x+2y−1=a+(−3x+2y−1)C．3x−5x−(2x−1)=3x−5x−2x+1D．−2x−y−a+1=−(2x−y)+(a−1)【考点题型六】同类项【典例6】下列各组代数式中，为同类项的是（    ）A．3x2y与−3xy2B．5xy与−12yxC．4xyz与4xyD．2x与2x2【变式6-1】若3a2m−5b4与2mab3n−2的和是关于a，b的单项式，则（   ）A．m=2，n=3B．m=3，n=2C．m=−3，n=3D．m=2，n=−2【变式6-2】已知−ax−2b2与14aby−2是同类项，则x的值为，y的值为．【变式6-3】若单项式am−1b5与−12a2b3+n的和仍是一个单项式，则nm=．【考点题型七】合并同类项【典例7】下列各式中，运算正确的是（）A．x2y−2x2y=−x2yB．2a+3b=5abC．7ab−3ab=4D．a3+a2=a5【变式7-1】下列计算正确的是（    ）A．3a+2b=5abB．9xy−4xy=5xyC．3x2y+8yx2=11x4y2D．12y−3y=934 【变式7-2】下列运算结果正确的是（　　）A．7x2−2x2=5B．2x2+3x3=5x5C．−3a+2a=−aD．a2b−2ab2=−ab【变式7-3】下列运算正确的是（    ）A．a2+a2=a4B．−2a2b+4a2b=2a2bC．2a−a=2D．2ab2+a2b=3ab2【考点题型八】整式的加减运算【典例8】化简：(1)5a2b−3ab2−2a2b−7ab2(2)9x+6x2−3(x−23x2)(1)4a−b+2a−3b；(2)2a2−b−2a2−2b−2b−3a2．【变式8-2】化简(1)4a−(a−3b)(2)(7a2+2a+b)−(3a2+2a−b)【变式8-3】已知A=−a2+5ab+12，B=−4a2+6ab+7，(1)求A−2B；(2)已知a−2+b+12=0，求A−2B的值．【考点题型九】整式的加减中的化简求值【典例9】先化简，再求值：x2y−−14x2y+3xy2−2x2y−32xy2−5xy，其中x=−2，y=14．34 【变式9-1】先化简，再求值：3xy+124xy+8x2y2−3xy+4x2y2+1，其中x−1+y+32=0．【变式9-2】先化简，再求值：2x2+−x2+3xy+2y2−(x2−xy+2y2)，其中x=14，y=3【变式9-3】先化简，再求值，−5xy+23xy−4xy2+12xy+6xy2．其中：x=−1，y=−3．【考点题型十】整式加减的应用【典例10】某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x>60）．(1)若在A网店购买，需付款元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款元（用含x的代数式表示）；(2)若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？(3)当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？34 【变式10-1】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（列式即可）(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________（列式即可）(3)当a=3，b=2时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________．【变式10-2】某学校为了全面提高学生的综合素养，开展了音乐、朗诵、舞蹈、美术共四个社团，学生积极参加(每个学生限报一项)，参加社团的学生共有220人，其中音乐社团有a人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的一半多b人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的2倍少40人．(1)参加朗诵社团有人，参加舞蹈社团有人．（用含a，b的式子表示）(2)求美术社团有多少人？（用含a，b的式子表示）(3)若a=60，b=25，求美术社团的人数．34 【变式10-3】我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为12r，4个半径为15r的高清圆形镜头分布在两圆之间．(1)设图中所有圆的周长和为C，请用含r的式子表示；(2)当r=2cm时，求C的值（π取3）．【考点题型十一】整式加减中的无关型问题【典例11】阅读理解：已知A=a−4x−1；若A的值与字母x的取值无关，则a−4=0，解得a=4．∴当a=4时，A的值与字母x的取值无关．知识应用：（1）已知A=mx−x，B=mx−3x+5m．若5A−3B的值与字母m的取值无关，求x的值；知识拓展：（2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共20件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1050元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为60%．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值．【变式11-1】已知整式A和B满足：A+2B=4a+3ab，B=2a+3ab−2．(1)求整式A（用所含a、b的代数式表示）；(2)若B−A的值与a的取值无关，求b的值．34 【变式11-2】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中B=2x2y−3xy+2x+5，试求A+B．这位同学把A+B误看成A−B，结果求出的答案为4x2y+xy−x−4．(1)请你替这位同学求出A+B的正确答案；(2)若A−3B的值与x的取值无关，求y的值．【变式11-3】有这样一道题：关于x的多项式ax+4与3x−3的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即(ax+4)+(3x−3)=ax+4+3x−3=(a+3)x+1，所以a+3=0，则a=−3．【初步尝试】（1）若关于x的多项式2ax−4x+a2的值与x无关，求a的值．【深入探究】（2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2．①若AB=10,m=2,n=6，求S1−S2的值．②当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求m与n的等量关系．34 专题04整式的加减（4个考点清单+11种题型解读）【清单01】单项式1.单项式定义（1）定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8；（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号如的系数是；的系数是；（3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1；34 （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2.3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次；（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“”或者省略不写。例如：可以写成或5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.【清单02】多项式1、定义：几个单项式的和叫多项式.2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.3、多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.【清单03】整式（1）单项式和多项式统称为整式。（2）单项式或多项式都是整式。（3）整式不一定是单项式。（4）整式不一定是多项式。（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。【清单04】同类项34 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。2.合并同类项：（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。（2）合并同类项的法则：　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。（3）合并同类项步骤：　a．准确的找出同类项。　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。　c．写出合并后的结果。（4）在掌握合并同类项时注意：　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.　b.不要漏掉不能合并的项。　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。【考点题型一】单项式和多项式的判断【典例1】在代数式a+bc，2a，ax2+bx+c，xyz，a，bx，a+bxy中（    ）A．有3个单项式，2个多项式B．有4个单项式，3个多项式C．有6个整式D．有7个整式【答案】A【分析】本题考查多项式、单项式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．数与字母的乘积形式是单项式，单独一个数或一个字母是单项式，几个单项式的和是多项式，据此求解即可．【详解】解：代数式a+bc，2a，ax2+bx+c，xyz，a，bx，a+bxy中，单项式有2a，xyz，a，共3个；多项式有a+bc，ax2+bx+c，共2个；整式有2a，xyz，a，a+bc，ax2+bx+c，共5个．故选：A．34 【变式1-1】在x2y,−x,2x+34,0,3x这五个代数式中，单项式有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据单项式的定义解决此题【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式），∴单项式有x2y,−x,0，共3个故选：C.【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键【变式1-2】在下列整式12ab−πr2，a+b2，xy3，2.5v中多项式有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查多项式定义，根据多项式是几个单项式的和差理解，逐项验证即可得到答案，熟记多项式定义是解决问题的关键．【详解】解：整式12ab−πr2，a+b2，xy3，2.5v中多项式有12ab−πr2，a+b2，共2个，故选：B．【考点题型二】单项式的项和次数【典例2】单项式9x4y3的系数、次数分别是（    ）A．9，6B．−9，7C．9，7D．−9，8【答案】C【分析】本题考查了单项式的系数与次数等知识，单项式的数字因数是单项式的系数，单项式的所有字母的指数和叫做单项式的次数，据此即可求解．【详解】解：单项式9x4y3的系数是9，次数为4+3=7．故答案为：C【变式2-1】下列说法正确的是（    ）A．−2xy的系数是2B．2πx的次数是2C．x+y2是单项式D．x2+x−2的次数是2【答案】D34 【分析】本题主要考查了单项式次数和系数的定义，单项式的定义，多项式次数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案．【详解】解：A、−2xy的系数是−2，原说法错误，不符合题意；B、2πx的次数是1，原说法错误，不符合题意；C、x+y2不是单项式，原说法错误，不符合题意；D、x2+x−2的次数是2，原说法正确，符合题意；故选：D．【变式2-2】关于x、y的单项式−13x4y2的次数是（   ）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】本题主要考查了单项式的次数的知识，理解单项式的次数的定义是解题关键．单项式中所有字母的指数和是单项式的次数，据此即可获得答案．【详解】解：关于x、y的单项式−13x4y2的次数是6．故选：C．【变式2-3】下列关于单项式−2ab23的说法中，正确的是（    ）A．系数是23，次数是3B．系数是−23，次数是2C．系数是−23，次数是3D．系数是23，次数是2【答案】C【分析】根据单项式的系数：单项式中的数字因式，次数：所有字母的指数和，进行判断即可．【详解】解：单项式−2ab23的系数为−23，次数为3；故选：C．【考点题型三】多项式的项、项数或次数【典例3】多项式5x3−2x2y4+m−7的项数和次数分别是（　　）A．4，9B．3，9C．4，6D．3，634 【答案】C【分析】本题主要考查多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念求解即可．【详解】解：多项式5x3−2x2y4+m−7的项数是4，次数是6，故选：C．【变式3-1】多项式5x2y−6+13xy4的次数和常数项分别是（    ）A．4，−6B．5，−6C．4，6D．5，6【答案】B【分析】本题考查多项式的项和次数，多项式的次数就是次数最高项的次数，多项式的常数项就是不含字母的项，掌握上述概念，即可解题．【详解】解：多项式5x2y−6+13xy4的项为5x2y、−6、13xy4，其中次数最高的是13xy4，次数为5次，所以多项式的次数为5次，其中不含字母的项为−6，所以多项式的常数项为−6，故选：B．【变式3-2】如果整式xn−3−5x2+2是关于x的三次三项式，那么n等于（    ）A．2B．4C．5D．6【答案】D【分析】此题主要考查了多项式，直接利用多项式的次数确定方法分析得出答案正确把握多项式的次数确定方法是解题关键．【详解】解：∵整式xn−3−5x2+2是关于x的三次三项式，∴n−3=3，解得：n=6．故选：D．【变式3-3】对于多项式−3x−2xy2−1，下列说法中，正确的是（    ）A．一次项系数是3B．最高次项是2xy2C．常数项是−1D．是四次三项式【答案】C34 【分析】根据多项式的项：多项式中的每一个单项式；项数：单项式的个数；次数：最高项的次数；常数项：不含字母项；逐一进行判断即可．【详解】解：A、一次项系数是−3；选项错误；B、最高次项是−2xy2；选项错误；C、常数项是−1；选项正确；D、是三次三项式；选项错误；故选C．【考点题型四】多项式系数、指数中字母求值【典例4】已知多项式−7ambn+5ab2−1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则−nm的值为（    ）A．−1B．3或−4C．−1或4D．−3或4【答案】C【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得m>1，m+n=4，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．【详解】解：由题意得：m>1，m+n=4，∴m=2，n=2或m=3，n=1，当m=2，n=2时，−nm=−22=4；当m=3，n=1时，−nm=−13=−1．故选：C．【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．【变式4-1】多项式15x2ym−(m+1)y+17是关于x，y的三次二项式，则m的值是（   ）A．1B．±1C．−1D．0【答案】C【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．【详解】解：∵多项式15x2ym−(m+1)y+17是关于x，y的三次二项式，∴m=1m+1=0，∴m=−1，故选C．34 【点睛】本题主要考查了多项式次数和项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．【变式4-2】如果整式xn−2+5x−2是三次三项式，那么n等于【答案】5【分析】根据多项式的概念解答即可．【详解】解：∵xn−2+5x−2是三次三项式，∴n−2=3，解得：n=5．故答案为：5【点睛】本题考查了根据多项式的次数求参数的值，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．【变式4-3】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m﹣n＝．【答案】1【分析】根据多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，可得2+m+1=6，根据单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，可得2n+5−m=6，两式联立即可得到m、n的值，代入计算即可求解．【详解】∵多项式x2ym+1+xy2−2x3−5是六次四项式，∴2+m+1=6，解得m=3，∵单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，∴2n+5−m=6，即2n+5−3=6，解得n=2，∴m−n=1，故答案为1．【点睛】此题考查了单项式与多项式的定义和性质．解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．【考点题型五】去括号和添括号【典例5】下列去括号正确的是（   ）A．−(a+b−c)=−a+b−cB．−2(a+b−3c)=−2a−2b+6cC．−(−a−b−c)=−a+b+cD．−(a−b−c)=−a+b−c34 【答案】B【分析】此题考查了去括号的知识，熟记去括号法则是解题的关键．括号前是“+”，去括号后括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，去括号后括号内的各项都改变符号，据此判断．【详解】解：A、−(a+b−c)=−a−b+c，故该项不正确，不符合题意；B、−2(a+b−3c)=−2a−2b+6c，故该项正确，符合题意；C、−(−a−b−c)=a+b+c，故该项不正确，不符合题意；D、−(a−b−c)=−a+b+c，故该项不正确，不符合题意；故选：B．【变式5-1】下列各式中去括号正确的是（    ）A．a−（2b−7c）=a−2b+7cB．a2−2（a−b−c）=a2−a−b+cC．（a+1）−（−b+c）=a+1+b+cD．（a−d）−（b+c）=a−b+c−d【答案】A【分析】直接根据去括号法则进行判断即可．【详解】A．a−（2b−7c）=a−2b+7c，此选项符合题意；B．a2−2（a−b−c）=a2−a−b+c，此选项不符合题意；C．（a+1）−（−b+c）=a+1+b+c，此选项不符合题意；D．（a−d）−（b+c）=a−b+c−d，此选项不符合题意．故选：A【点睛】此题考查的是去括号与添括号，掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反是解决此题关键.【变式5-2】下列去括号或添括号不正确的是（　　）A．a−b+c=a−b−cB．a−b+c=a+c−bC．a−2b−c=a−2b+2cD．a−2b−c=a−2b+c【答案】D【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．进行分析即可．34 【详解】解：A.a−b+c=a−b−c，正确，故A不符合题意；B.a−b+c=a+c−b，正确，故B不符合题意；C.a−2b−c=a−2b+2c，正确，故C不符合题意；D.a−2b−c=a−2b+c，∵a−2b−c=a−2b+2c，∴计算不正确，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查了去括号和添括号的方法，注：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号．【变式5-3】下列各式中，去括号或添括号正确的是（    ）A．a2−(2a−b+c)=a2−2a−b+cB．a−3x+2y−1=a+(−3x+2y−1)C．3x−5x−(2x−1)=3x−5x−2x+1D．−2x−y−a+1=−(2x−y)+(a−1)【答案】B【分析】根据整式的去括号、添括号法则逐项判断即可得．【详解】解：A、a2−(2a−b+c)=a2−2a+b−c，则此项错误；B、a−3x+2y−1=a+(−3x+2y−1)，则此项正确；C、3x−5x−(2x−1)=3x−5x+(2x−1)=3x−5x+2x−1，则此项错误；D、−2x−y−a+1=−(2x+y)−(a−1)，则此项错误；故选：B．【点睛】本题考查了整式的去括号、添括号，熟练掌握整式的去括号、添括号法则是解题关键．【考点题型六】同类项【典例6】下列各组代数式中，为同类项的是（    ）A．3x2y与−3xy2B．5xy与−12yxC．4xyz与4xyD．2x与2x2【答案】B【分析】本题考查了同类项，解题的关键是利用同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，进而分析得出答案．【详解】解：A、3x2y与−3xy2，相同字母的次数不同，故不是同类项，不符合题意；B、5xy与−12yx是同类项，符合题意；34 C、4xyz与4xy，所含字母不同，不是同类项，不符合题意；D、2x与2x2，相同字母的次数不同，不是同类项，不符合题意．故选：B．【变式6-1】若3a2m−5b4与2mab3n−2的和是关于a，b的单项式，则（   ）A．m=2，n=3B．m=3，n=2C．m=−3，n=3D．m=2，n=−2【答案】B【分析】本题考查了同类项的定义，根据题意得3a2m−5b4与2mab3n−2为同类项是解题的关键根据题意得2m−5=1，3n−2=4，进而可求解．【详解】解：∵3a2m−5b4与2mab3n−2的和是关于a，b的单项式，∴3a2m−5b4与2mab3n−2为同类项，∴2m−5=1，3n−2=4，解得：m=3，n=2，故选：B．【变式6-2】已知−ax−2b2与14aby−2是同类项，则x的值为，y的值为．【答案】1或3/3或14【分析】本题考查同类项，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可．【详解】解：因为−ax−2b2与14aby−2是同类项，所以x−2=1，y−2=2，所以x=1或x=3，y=4．故答案为：1或3；4【变式6-3】若单项式am−1b5与−12a2b3+n的和仍是一个单项式，则nm=．【答案】8【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项．根据单项式am−1b5与−12a2b3+n的和仍是一个单项式，得出这两个单项式为同类项，再根据同类项的定义，求出m和n的值，即可解答．【详解】解：∵单项式am−1b5与−12a2b3+n的和仍是一个单项式，∴am−1b5和−12a2b3+n是同类项，∴m−1=2,5=3+n，34 解得：m=3,n=2，∴nm=23=8，故答案为∶8．【考点题型七】合并同类项【典例7】下列各式中，运算正确的是（）A．x2y−2x2y=−x2yB．2a+3b=5abC．7ab−3ab=4D．a3+a2=a5【答案】A【分析】本题考查了合并同类项．解题的关键是熟知合并同类项的法则，和同类项的定义．合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变．【详解】解：A、x2y−2x2y=−x2y．故本选项正确；B、2a与3b不是同类项，不能合并．故本选项错误；C、7ab−3ab=4ab．故本选项错误；D、a3与a2不是同类项，不能合并．故本选项错误；故选：A．【变式7-1】下列计算正确的是（    ）A．3a+2b=5abB．9xy−4xy=5xyC．3x2y+8yx2=11x4y2D．12y−3y=9【答案】B【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则逐项计算即可．【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、9xy−4xy=5xy，故此选项符合题意；C、3x2y+8yx2=11x2y，故此选项不符合题意；D、12y−3y=9y，故此选项不符合题意；故选：B．【变式7-2】下列运算结果正确的是（　　）A．7x2−2x2=5B．2x2+3x3=5x5C．−3a+2a=−aD．a2b−2ab2=−ab【答案】C34 【分析】本题主要考查合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．根据合并同类项的法则判断即可．【详解】解：A、7x2−2x2=5x2，选项错误，不符合题意；B、2x2与3x3不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；C、−3a+2a=−a，正确，符合题意；D、a2b与ab2，不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；故选：C．【变式7-3】下列运算正确的是（    ）A．a2+a2=a4B．−2a2b+4a2b=2a2bC．2a−a=2D．2ab2+a2b=3ab2【答案】B【分析】本题考查了合并同类项法则，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键；根据运算法则和合并同类项法则逐项计算即可．【详解】解：A、a2+a2=2a2，计算错误；B、−2a2b+4a2b=2a2b，计算正确；C、2a−a=a，计算错误；D、2ab2，a2b，不是同类项，无法计算；故选：B【考点题型八】整式的加减运算【典例8】化简：(1)5a2b−3ab2−2a2b−7ab2(2)9x+6x2−3(x−23x2)【答案】(1)3a2b−ab2(2)6x+8x2【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键．（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）原式=5a2b−15ab2−2a2b−14ab2=5a2b−15ab2−2a2b+14ab2=3a2b−ab234 （2）原式=9x+6x2−3x+2x2=6x+8x2【变式8-1】化简：(1)4a−b+2a−3b；(2)2a2−b−2a2−2b−2b−3a2．【答案】(1)6a−7b(2)3a2+b【分析】本题考查的是整式的加减运算，熟记去括号，合并同类项是解本题的关键．（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；（2）通过去括号，合并同类项，即可得到答案．【详解】（1）解：原式=4a−4b+2a−3b=6a−7b；（2）解：原式=2a2−b−2a2+4b−2b+3a2=3a2+b．【变式8-2】化简(1)4a−(a−3b)(2)(7a2+2a+b)−(3a2+2a−b)【答案】(1)3a+3b(2)4a2+2b【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式去括号合并即可得到结果．【详解】（1）原式=4a−a+3b=3a+3b；（2）原式=7a2+2a+b−3a2−2a+b=4a2+2b．【变式8-3】已知A=−a2+5ab+12，B=−4a2+6ab+7，(1)求A−2B；(2)已知a−2+b+12=0，求A−2B的值．【答案】(1)7a2−7ab−2；(2)40．34 【分析】本题考查了整式的加减求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减法则以及非负数的性质是解答本题的关键，（1）把知A=−a2+5ab+12，B=−4a2+6ab+7，代入A−2B，去括号合并同类项即可；（2）先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入（1）中化简的结果计算即可．【详解】（1）解：∵A=−a2+5ab+12，B=−4a2+6ab+7∴A−2B=−a2+5ab+12−2−4a2+6ab+7=−a2+5ab+12+8a2−12ab−14=7a2−7ab−2；（2）解：因为a−2+b+12=0，所以a−2=0,b+1=0，即a=2,b=−1，A−2B=7a2−7ab−2=7×22−7×2×−1−2=28+14−2=40．【考点题型九】整式的加减中的化简求值【典例9】先化简，再求值：x2y−−14x2y+3xy2−2x2y−32xy2−5xy，其中x=−2，y=14．【答案】−34x2y−5xy,74【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式=x2y+14x2y−3xy2−2x2y+3xy2−5xy=−34x2y−5xy当x=−2，y=14时，原式=−34×−22×14−5×−2×14=74【变式9-1】先化简，再求值：3xy+124xy+8x2y2−3xy+4x2y2+1，其中x−1+y+32=0．【答案】2xy−1；−734 【分析】本题主要考查了整式化简求值，非负数的性质，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后根据非负数的性质求出x=1y=−3，再把数据代入求值即可．【详解】解：3xy+124xy+8x2y2−3xy+4x2y2+1=3xy+2xy+4x2y2−3xy−4x2y2−1=2xy−1．∵x−1+y+32=0，∴x−1=0y+3=0，解得x=1y=−3，当x=1，y=−3时，原式=2×1×−3−1=−7．【变式9-2】先化简，再求值：2x2+−x2+3xy+2y2−(x2−xy+2y2)，其中x=14，y=3【答案】4xy，3【分析】本题主要考查了整式加减运算中的化简求值，先根据去括号原则和合并同类项原则对整式化简，最后再代入求解即可．【详解】解：2x2+−x2+3xy+2y2−(x2−xy+2y2)=2x2−x2+3xy+2y2−x2+xy−2y2=4xy当x=14,y=3时，原式=4×14×3=3【变式9-3】先化简，再求值，−5xy+23xy−4xy2+12xy+6xy2．其中：x=−1，y=−3．【答案】−2xy2，18【分析】本题考查整式加减中的化简求值，先根据整式加减运算法则化简原式，然后代值求解即可．【详解】解：原式=−5xy+23xy−4xy2−12xy+6xy2=−5xy+6xy−8xy2−xy+6xy2=−2xy2将x=−1,y=−3代入得，原式=−2×(−1)×(−3)2=18．34 【考点题型十】整式加减的应用【典例10】某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x>60）．(1)若在A网店购买，需付款元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款元（用含x的代数式表示）；(2)若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？(3)当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？【答案】(1)6600+30x，7560+27x(2)A网店(3)省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元【分析】本题考查的是列代数式、代数式求值，解题的关键是∶（1）由题意在A店购买可列式：60×140+x−60×30=6600+30x元；在网店B购买可列式：60×140+30x×0.9=7560+27x元；（2）将x=100分别代入A网店，B网店的代数式计算，再比较即可求解；（3）由于A店是买一个足球送跳绳，B店是足球和跳绳都按定价的90%付款，所以可以在A店买60个足球，剩下的40条跳绳在B店购买即可．【详解】（1）解：A店购买可列式：60×140+x−60×30=6600+30x元；在网店B购买可列式：60×140+30x×0.9=7560+27x元；故答案为：6600+30x，7560+27x．（2）解：当x=100时，在A网店购买需付款：6600+30×100=9600（元），在B网店购买需付款：7560+27×100=10260（元），∵9600<10260，∴当x=100时，应选择在A网店购买合算．（3）解：由（2）可知，当x=100时，在A网店付款9600元，在B网店付款10260元，在A网店购买60个足球配送60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳合计需付款：140×60+30×40×0.9=9480，34 ∵9480<9600<10260，∴省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元．【变式10-1】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（列式即可）(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________（列式即可）(3)当a=3，b=2时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________．【答案】(1)π8b2；ab−π8b2(2)π16b2；ab−π16b2(3)π4【分析】本题考查了代数式求值和列代数式．（1）将两个四分之一的圆面积相加即是窗帘的面积，用长方形的面积减去窗帘的面积即是射进阳光的面积；（2）将一个半圆和两个四分之一圆面积相加即是窗帘的面积，组成用长方形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积；（3）将（2）（1）的结论作差，再将a=3，b=2代入，即可求解．【详解】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为b2，∴窗帘的面积为：2×14×π×b22=π8b2，∴窗户能射进阳光的面积为：ab−π8b2，34 故答案为：π8b2；ab−π8b2；（2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为b4，∴窗帘的面积为：2×14×π×b42+12×π×b42=π16b2，∴图2窗户能射进阳光的面积为：ab−π16b2；故答案为：π16b2；ab−π16b2；（3）解：ab−π16b2−ab−π8b2=ab−π16b2−ab+π8b2=π16b2，将b=2代入，可得：原式=π16×22=π16×4=π4，答：两图中窗户能射进阳光的面积相差π4．故答案为：π4．【变式10-2】某学校为了全面提高学生的综合素养，开展了音乐、朗诵、舞蹈、美术共四个社团，学生积极参加(每个学生限报一项)，参加社团的学生共有220人，其中音乐社团有a人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的一半多b人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的2倍少40人．(1)参加朗诵社团有人，参加舞蹈社团有人．（用含a，b的式子表示）(2)求美术社团有多少人？（用含a，b的式子表示）(3)若a=60，b=25，求美术社团的人数．【答案】(1)12a+b，a+2b−40；(2)260−52a−3b；(3)35．【分析】此题考查了整式的加减混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用，（1）结合题意即可写出代数式；（2）根据题意运用社团总人数减去其他社团的人数即可求解；34 （3）根据题意代入数值即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，参加朗诵社团的人数为12a+b人，参加舞蹈社团的人数为212a+b−40=a+2b−40人，故答案为：12a+b，a+2b−40；（2）解：参加美术社团的人数为：220−a−12a+b−a+2b−40=260−52a−3b人，答：参加美术社团的人数为260−52a−3b人；（3）解：当a=60，b=25时，260−52a−3b=260−52×60−3×25=260−150−75=35，答：美术杜团的人数为35人．【变式10-3】我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为12r，4个半径为15r的高清圆形镜头分布在两圆之间．(1)设图中所有圆的周长和为C，请用含r的式子表示；(2)当r=2cm时，求C的值（π取3）．【答案】(1)235πr(2)1385cm【分析】本题主要考查了根据图形列代数式以及代数式求值的知识：（1）图中所有圆的周长和为所有圆的周长之和，即可得出答案．（2）由第一问得出代数式直接代数求值即可．【详解】（1）解：根据题意得：C=2πr+2π×12r+4×2π×15r=235πr；（2）解：当r=2cm时，C=235πr≈235×3×2=1385cm．34 【考点题型十一】整式加减中的无关型问题【典例11】阅读理解：已知A=a−4x−1；若A的值与字母x的取值无关，则a−4=0，解得a=4．∴当a=4时，A的值与字母x的取值无关．知识应用：（1）已知A=mx−x，B=mx−3x+5m．若5A−3B的值与字母m的取值无关，求x的值；知识拓展：（2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共20件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1050元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为60%．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值．【答案】（1）x=152；（2）50【分析】本题主要考查了整式的加减和列代数式．（1）根据5A−3B的值与字母m的取值无关，列出关于x的一元一次方程，进行解答即可；（2）根据总利润=甲羽绒服单件利润×件数−返还顾客钱数+乙羽绒服单件利润×件数，列出代数式，进行化简即可．【详解】解：（1）∵A=mx−x，B=mx−3x+5m，∴5A−3B=5mx−x−3mx−3x+5m=5mx−5x−3mx+9x−15m=2x−15m+4x，又∵5A−3B的值与字母m的取值无关，∴2x−15=0，∴x=152；（2）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服20−x件，当购进的20件羽绒服全部售出后，所获利润为：1050−700x+500×60%20−x−xa=6000+50−ax元；若当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，则50−a=0，解得：a=50，34 答：a的值是50．【变式11-1】已知整式A和B满足：A+2B=4a+3ab，B=2a+3ab−2．(1)求整式A（用所含a、b的代数式表示）；(2)若B−A的值与a的取值无关，求b的值．【答案】(1)−3ab+4；(2)−13【分析】本题主要考查整式的加减，掌握整式加减法法则是解题的关键．（1）根据A=A+2B−2B，代入计算，根据整式的加减运算法则计算即可；（2）先得出B−A=2a1+3b−6，根据B−A的值与a的取值无关，得出1+3b=0，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：∵A+2B=4a+3ab，B=2a+3ab−2，∴A=A+2B−2B=4a+3ab−22a+3ab−2=4a+3ab−4a−6ab+4=−3ab+4；（2）解：B−A=2a+3ab−2−−3ab+4=2a+3ab−2+3ab−4=2a+6ab−6=2a1+3b−6∵B−A的值与a的取值无关，∴1+3b=0，∴b=−13．【变式11-2】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中B=2x2y−3xy+2x+5，试求A+B．这位同学把A+B误看成A−B，结果求出的答案为4x2y+xy−x−4．(1)请你替这位同学求出A+B的正确答案；(2)若A−3B的值与x的取值无关，求y的值．【答案】(1)8x2y−5xy+3x+6；(2)y=57．【分析】（1）首先根据题意求得A，然后计算A+B即可；（2）先根据（1）中的值，求出A−3B，将含x的项合并，并使x的系数等于0，即可求出答案；34 本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得，A−B=4x2y+xy−x−4，∴A=4x2y+xy−x−4+2x2y−3xy+2x+5，=4x2y+xy−x−4+2x2y−3xy+2x+5，=6x2y−2xy+x+1，∴A+B=6x2y−2xy+x+1+2x2y−3xy+2x+5，=6x2y−2xy+x+1+2x2y−3xy+2x+5，=8x2y−5xy+3x+6；（2）解：A−3B=6x2y−2xy+x+1−32x2y−3xy+2x+5，=6x2y−2xy+x+1−6x2y+9xy−6x−15，=7xy−5x−14，=7y−5x−14，∵A−3B的值与x的取值无关，∴7y−5=0，∴y=57．【变式11-3】有这样一道题：关于x的多项式ax+4与3x−3的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即(ax+4)+(3x−3)=ax+4+3x−3=(a+3)x+1，所以a+3=0，则a=−3．【初步尝试】（1）若关于x的多项式2ax−4x+a2的值与x无关，求a的值．【深入探究】（2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2．①若AB=10,m=2,n=6，求S1−S2的值．②当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求m与n的等量关系．34 【答案】（1）a=2；（2）①S1−S2=12；②n=3m【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；（2）①先求出S1、S2，从而可得S1−S2的值．②根据“当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变”可知S1−S2的值与x的值无关，由此即可得．【详解】解：（1）2ax−4x+a2=(2a−4)x+a2，∵关于x的多项式2ax−4x+a2的值与x的取值无关，∴2a−4=0，解得：a=2．（2）①根据题意可得S1=3m⋅AB−n，S2=n(AB−4m)，∵m=2,n=6，AB=10，则S1=3m⋅AB−n=3×2×10−6=24，S2=n(AB−4m)=6×10−4×2=12，则S1−S2=24−12=12．②设AB=x，由图可知，S1=3m(x−n)=3mx−3mn,S2=n(x−4m)=nx−4mn，则S1−S2=(3mx−3mn)−(nx−4mn)=3mx−3mn−nx+4mn=(3m−n)x+mn，∵当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，∴S1−S2的值与x的值无关，∴3m−n=0，∴n=3m．34