人教版七年级数学上册期末复习考题猜想 期末选填题压轴题（9种必考题型）

期末选填题压轴题（考题猜想，9种必考题型）66题型一：分类讨论思想——线段与直线（共7题）1．（2023秋•罗湖区校级期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动　　秒时，．2．（2023秋•微山县期末）已知点，，在同一条直线上，，为线段的中点．若，则线段的长为　　．66 3．（2023秋•呼和浩特期末）点，，在同一条直线上，，．点，分别为，的中点，则的长度为　　．4．（2023秋•金水区期末）已知、、、为直线上四个点，且，，点为线段的中点，则线段的长为　　．5．（2023秋•包河区期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是　　．6．（2023秋•玄武区期末）已知点、、在同一条直线上，、分别是线段、的中点．若，，则　　．7．（2023秋•简阳市期末）已知线段，点是直线上一点，点为线段的中点，，且、满足，则线段的长为　　．题型二：分类讨论思想——角（共6题）1．（2023秋•高州市期末）已知，，求的度数　　．2．（2022秋•拱墅区校级期末）如图：已知，平分，在同一平面内以为端点画射线，使，则　　．3．（2023秋•江汉区期末）已知，过点作射线，使，平分，则　　．66 4．（2023秋•合肥期末）已知，在同一平面内作射线，使等于，是的平分线，那么　　．5．（2024春•浦东新区期末）已知，射线在内部，且，，射线、分别平分、，则的度数是　　．6．（2023秋•福州期末）已知：，过点作射线，平分，且，使关于的一元一次方程有无数多个解，则　．题型三：角的设参问题（共5题）1．（2022秋•江夏区期末）如图所示，直线与直线相交于一点，平分，，若，则的度数为　　（用含的代数式表示）．2．（2023秋•二七区校级期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为　　（用含的代数式表示）．3．（2023秋•宁津县期末）如图，把一个角沿过点的射线对折后得到的图形为锐角，现从点引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中有且只有一个角最大，最大角是最小角的3倍，则的值为　　．66 4．（2023秋•石狮市期末）如图1，在一张纸片中，平分．现将沿对折成如图2所示的与重合），从点引一条射线，使，再沿把剪开，并把折叠的角展开，这样就得到三个角，若其中最大角的度数为，则的度数为　　．（用含的代数式表示）5．（2022秋•宣城期末）在同一平面内，为直线上一点，射线将平角分成、两部分，已知，为的平分线，，则　　．（用含有的代数式表示）题型四：折叠角问题（共6题）1．（2023秋•雨城区校级月考）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为　　．2．（2022秋•洛宁县期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为　　．66 3．（2023秋•江汉区期末）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在位置，点落在位置，若，则　　．4．（2023秋•江岸区期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为　　．5．（2022秋•宝山区期末）如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点恰巧落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，那么的长度是　　．6．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，再将△沿向右翻折，使点落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则的值为　　．题型五：含参方程与应用题（共4题）1．（2022秋•硚口区期末）人的上半身长与下半身长的比约为66 （黄金比），这时人的身长比例看上去更美观．小明的妈妈身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，根据“黄金比”，她购买的高跟鞋鞋跟最合适的高度是　　（结果精确到．2．（2023秋•诸暨市期末）已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是　　．3．（2023秋•锦江区校级期末）若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则满足条件的整数的值是　　．4．（2021秋•普陀区期末）十个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个整数，并把自己想好的数如实告诉他两旁的两个人，然后每人将他两旁的人告诉他的数计算出平均数并报出来．已知每个人报的结果如图所示，那么报“3”的人自己心里想的数是　　．题型六：规律探究问题（共15题）1．（2019秋•东西湖区期末）将2019加上它本身的的相反数，再将这个结果加上其的相反数，再将上述结果加上其的相反数，，如此继续，操作2020次后所得的结果是　　A．1B．C．D．20202．（2023秋•九龙坡区期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为　　A．20个B．22个C．24个D．26个66 3．（2023秋•新化县期末）我们知道过平面上两点可以画一条直线，过平面上3点最多可以画3条直线，过平面上4点最多可以画6条直线，过平面上5点最多可以画10条直线．如果平面上有6个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以画多少条直线？　　A．15B．21C．30D．354．（2023春•德清县期末）在学习了浙教版七年级下册第135页阅读材料后，数学探究小组发现：在同一平面内画直线，使直线都两两相交，但任何三条直线都不相交于一点，那么把平面分成的部分数与所画直线的条数有关．请观察如图：若平面内直线条数，则　　A．527B．528C．529D．5305．（2019秋•松滋市期末）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第个正方形中的，则的值为　　A．7B．8C．9D．106．（2022秋•阳城县期末）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是　　66 A．B．C．D．7．（2023秋•慈溪市期末）对于任意正整数，如果是奇数，则变成；如果为偶数，则变成，将运算结果继续按上述规则操作，当正整数为5时，则操作三次以后的结果是　　A．8B．4C．2D．18．（2023秋•本溪期末）数学活动课上，李老师给出下列一组数据：2，，8，，；经过观察发现，这组数据是按某种规律进行排列的，你认为第个数是　　A．B．C．D．9．（2023秋•景县期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，，按此规律操作下去，则第为正整数）个图形中正方形的个数是　　A．B．C．D．10．（2023秋•历城区期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，以此类推，第幅图中★的个数为，则66 的值为　　A．B．C．D．11．（2019秋•武汉期中）如图，在边长为1厘米的正方形网格有12个格点，用这些格点作三角形顶点，一共可以连成面积为2平方厘米的三角形个数为　　A．24B．32C．28D．1212．（2023秋•遵义期末）正方形在数轴上的位置如图，点、对应的数分别为和0，若正方形绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，则连续翻转2024次后，则数2024对应的点为　　A．点B．点C．点D．点13．（2018秋•蔡甸区期末）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们之间有网络相联，连线上标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同线路同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是　　．14．（2023秋•济南期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，摆放1个时实线部分长为3，摆放2个时实线部分长为5，摆放3个时实线部分长为8，以此类推，摆放2023个时，实线部分长为　　．66 15．（2023秋•沙市区期末）设条直线相交最多有个交点，例如：2条直线相交有1个交点，即，3条直线相交最多有3个交点，即，4条直线相交最多有6个交点，即，那么　　．题型七：新定义问题（共7题）1．（2023秋•和平区期末）现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为　　A．4B．11C．4或11D．1或112．（2022秋•广水市期末）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中正确的有　　个．①；②；③若，则；④A．4B．3C．2D．13．（2023秋•青羊区校级期末）我们规定：使得成立的一对数，为“有趣数对”，记为．例如，因为，所以数对都是“有趣数对”．若是“有趣数对”，则的值为　　．4．（2023秋•双峰县期末）若定义一种新运算，规定，则　　．5．（2023秋•伊金霍洛旗期末）设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为　　．6．（2023秋•大丰区期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则　　．66 7．（2023秋•建湖县期末）定义新运算“◇”：对于两个有理数、，定义◇，例如1◇，那么◇　　．题型八：多结论问题——整式与方程（共5题）1．（2022秋•攸县期末）下列结论：①若且，则方程的解是；②若有唯一的解，则；③若，则关于的方程的解为；④若且，则一定是方程的解．其中结论正确个数有　　A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2022秋•万州区期末）下列四个结论中，其中正确的是　　①若的运算结果中不含项，则常数项为；②若与是同类项，且；则；③若，，则的结果有三个；④若，则．A．①②③④B．②③④C．①④D．①②④3．（2022秋•台江区校级期末）下列关于的方程结论：其中结论正确的是　　．①若，则关于的方程的解为；②若，且，则方程的解是；③若有唯一的解，则；④若，且，则一定是方程的解．4．（2023秋•江汉区期末）下列说法：①若，则；②若是关于的一元一次方程，则；③若有理数，，满足，则；④若我们用表示，两数中较小的一个数，则．66 其中正确的是　　（填序号）．5．（2023秋•江岸区期末）下列四个结论中：①若与是同类项，则；②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；③若，则；①若，，则的结果只有一种．其中正确的是　　（填序号）．题型九：多结论问题——线段与角的设参问题（共9题）1．（2023秋•黄山期末）如图，，是线段上两点（点在点右侧），，分别是线段，的中点．下列结论：①；②若，则；③；④．其中正确的结论是　　A．①②B．②③C．②④D．③④2．（2022秋•东湖区期末）如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有　　A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④3．（2023秋•和平区校级期末）如图，货轮在航行的过程中发现灯塔在它的北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论：①；②图中的补角有两个，分别是和；③图中有4对互余的角；④货轮在海岛的北偏西的方向上．其中正确结论的个数有　　66 A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2023秋•临颍县期末）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有　　①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022秋•南开区校级期末）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互余②与互补③与互补④，其中正确的有　　个．A．4B．3C．2D．16．（2023秋•和平区校级期末）如图，已知，，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③；④．66 其中正确的有　　A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2021秋•河北区校级期末）一副三角板、，如图1放置、，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，则下列结论中正确的是　　①的角度恒为；②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为2次；④在图1的情况下，作，则平分．A．①B．②C．①②④D．①②③④8．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，点，，，，，都在同一直线上，点是线段的中点，点是线段的中点，有下列结论：①，②，③，④．其中正确的结论是　　（只填相应的序号）．9．（2023秋•硚口区期末）如图，为直线上的点，，平分，平分，平分．下列四个结论：①与互余；②与互补；③在图中画出射线，使，则平分；④在图中以为顶点且小于平角的角共有20个．其中正确的是　　（填写序号）66 66 期末选填题压轴题（考题猜想，9种必考题型）66题型一：分类讨论思想——线段与直线（共7题）1．（2023秋•罗湖区校级期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动　2或18　秒时，．【分析】设点表示的数为0，则点表示的数为6，当运动时间为秒时，由，66 ，结合，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设点表示的数为0，则点表示的数为6，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是线段的中点，点表示的数为，，．根据题意得：，即或，解得：或，线段运动2或18秒时，．故答案为：2或18．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2023秋•微山县期末）已知点，，在同一条直线上，，为线段的中点．若，则线段的长为　4或6　．【分析】根据点在直线上的位置分两种情况进行解答，即点在线段上，点在线段的延长线上，分别画出相应的图形，由线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：如图1，，，，，为线段的中点，，；如图2，，，，，66 为线段的中点，，；综上所述，或．故答案为：4或6．【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是解决问题的关键．3．（2023秋•呼和浩特期末）点，，在同一条直线上，，．点，分别为，的中点，则的长度为　1或11　．【分析】分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据线段中点的性质进行计算即可．【解答】解：，，，当点在线段上时，点，分别为，的中点，，，，当点在线段的延长线上时，点，分别为，的中点，，，，综上所述，的长度为或，故答案为：1或11．66 【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、分类讨论是解题的关键．4．（2023秋•金水区期末）已知、、、为直线上四个点，且，，点为线段的中点，则线段的长为　1或5　．【分析】分情况讨论当点在线段上时或的延长线上时求解即可．【解答】解：点是线段的中点，，分两种情况：①当点在线段上时，，②当点在线段的延长线上时，．故答案为：1或5．【点评】本题主要考查线段中点以及线段和差关系，熟练掌握线段中点以及线段和差关系是解决本题的关键．5．（2023秋•包河区期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是　25或125　．【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得两根木条的小圆孔之间的距离．【解答】解：当与重合或与重合时，设两根木条的小圆孔之间的距离是，，解得，，当与重合或与重合时，设两根木条的小圆孔之间的距离是，，解得，，由上可得，两根木条的小圆孔之间的距离是或，故答案为：25或125．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和分类讨论的方法解答．6．（2023秋•玄武区期末）已知点、、在同一条直线上，、分别是线段、的中点．若66 ，，则　2或4　．【分析】此题首先要考虑、、三点在直线上的不同位置：点在线段上或点在线段的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．【解答】解：如图，，，当在线段上时，、分别为、的中点，，，；当在线段延长线上时，同理可知，，；所以或4．故答案为：2或4．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出，的长，利用线段的和差得出的长，分类讨论是解答本题的关键．7．（2023秋•简阳市期末）已知线段，点是直线上一点，点为线段的中点，，且、满足，则线段的长为　8或20．　．【分析】利用非负数的性质求出，，可得，设，，分两种情形：当点在线段上时，当点在是延长线上时，分别求解．【解答】解：，又，，，，，66 设，，如图1中，当点在线段上时，，，，，，．如图2中，当点在是延长线上时，可得，，，，，，综上所述，的长为8或20．故答案为：8或20．【点评】本题考查比例线段，非负数的性质等知识，解题的关键或是学会用分类讨论的思想思考问题．题型二：分类讨论思想——角（共6题）1．（2023秋•高州市期末）已知，，求的度数　或　．【分析】分在外部和内部两种情况讨论，分别画出图形后计算即可得到答案．【解答】解：①如图1，当在外部时，66 ，，；②如图2，当在内部时，，，，综上所述，的度数为或．故答案为：或．【点评】本题主要考查角的运算，灵活运用分类讨论的数学思想是解决问题的关键．2．（2022秋•拱墅区校级期末）如图：已知，平分，在同一平面内以为端点画射线，使，则　或　．【分析】本题根据射线的位置进行分类讨论，然后利用角平分线的定义及角的和差求出答案．【解答】解：（1）若射线在的内部，，平分，66 ，，；（2）若射线在的内部，，平分，，，．综上所述：的度数是或．故答案为：或．【点评】本题主要考查角平分线的定义及角的和差，解决本题的关键是根据射线的位置进行分类讨论．3．（2023秋•江汉区期末）已知，过点作射线，使，平分，则　45或65　．【分析】分当射线在内部时，当射线在外部时，两种情况求出的度数，再利用角平分线的定义求解即可．【解答】解：如图1所示，当射线在内部时，，，，是的平分线，，；66 如图2所示，当射线在外部时，，，，是的平分线，，；综上所述，或，故答案为：45或65．【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．4．（2023秋•合肥期末）已知，在同一平面内作射线，使等于，是的平分线，那么　或　．【分析】将射线分别在的内部和外部两种情况下，分别求出的度数，再根据角平分线的定义即可求得答案．【解答】解：如图1，当射线在的内部时，，是的平分线，；如图2，当射线在的外部时，，66 是的平分线，．故答案为：或．【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分两种情况讨论是解答本题的关键．5．（2024春•浦东新区期末）已知，射线在内部，且，，射线、分别平分、，则的度数是　或　．【分析】先根据题意画出图形，再分在内和在外，根据角的和差关系和角平分线的定义可求的度数．【解答】解：如图1，在内，，，，射线平分，，射线平分，，，；如图2，在外，，，，射线平分，，射线平分，，，66 ．则的度数是或．故答案为：或．【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，注意要根据射线的位置不同，分类讨论．6．（2023秋•福州期末）已知：，过点作射线，平分，且，使关于的一元一次方程有无数多个解，则　或　．【分析】首先将方程，整理为，根据该方程有无数多个解得且，再根据，设，，则，因此有以下两种情况：①当在内部时，根据，可求出，进而根据角平分线的定义即可得出的度数；②当在外部时，根据，可求出，进而根据角平分线的定义即可得出的度数，综上所述即可得出答案．【解答】解：将方程，整理得：，该方程有无数多个解，且，解得：且，，可设，，，有以下两种情况：①当在内部时，如图1所示：66 ，，，，，解得：，，平分，；②当在外部时，如图3所示：，，，，，，平分，．综上所述：或．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，角平分线的定义，角度的计算，理解一元一次方程有无数多个解的条件，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键；分类讨论是难点，也是易错点．题型三：角的设参问题（共5题）66 1．（2022秋•江夏区期末）如图所示，直线与直线相交于一点，平分，，若，则的度数为　　（用含的代数式表示）．【分析】根据垂直的定义得到，根据对顶角的性质即可得到结论．【解答】解：，，，，，平分，．故答案为：．【点评】本题考查的是垂线的定义，熟知当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线是解答此题的关键．2．（2023秋•二七区校级期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为　或　（用含的代数式表示）．【分析】根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可．【解答】解：当在上方时，66 ，，平分，，，；当在下方时，，，平分，，，．故答案为：或．【点评】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．3．（2023秋•宁津县期末）如图，把一个角沿过点的射线对折后得到的图形为锐角，现从点引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中有且只有一个角最大，最大角是最小角的3倍，则的值为　或　．66 【分析】设，则，所以，再进行分类讨论即可得出结论．【解答】解：设，则，，①若沿折叠，则最大角的度数为，，解得；①②若沿折叠，则最大角的度数为，，解得；综上，的值为或；故答案为：或．【点评】本题主要考查了角平分线将角平分后角之间的倍数关系，解题关键是进行正确的分类讨论．4．（2023秋•石狮市期末）如图1，在一张纸片中，平分．现将沿对折成如图2所示的与重合），从点引一条射线，使，再沿把剪开，并把折叠的角展开，这样就得到三个角，若其中最大角的度数为，则的度数为　　．（用含的代数式表示）【分析】根据展开后的最大角的度数，表示出的度数；再根据，表示出的度数；最后根据角平分线表示出的度数．【解答】解：由题意得，66 ，，，，故答案为：．【点评】本题考查了用代数式来表示角的计算，解题的关键是利用角平分线和角之间的数量关系来解答．5．（2022秋•宣城期末）在同一平面内，为直线上一点，射线将平角分成、两部分，已知，为的平分线，，则　或　．（用含有的代数式表示）【分析】分两种情况：射线，在直线的同侧；射线，在直线的异侧；利用角平分线的定义，互补，角的和差关系即可求得结果．【解答】解：①当射线，在直线的同侧时，如图所示：为的平分线，，，，，，；②当射线、在直线的异侧时，如图所示：66 为的平分线，，，，，，．综上所述，或．故答案为：或．【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，考查了分类讨论的数学思想，要根据题意画出图形，分两种情况计算是解题的关键．题型四：折叠角问题（共6题）1．（2023秋•雨城区校级月考）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为　　．【分析】题目中已经给出，设，就可以表示出，继续表示，最后用就可以求出答案．66 【解答】解：由翻折的性质可知，，；设；；；即；；；；故答案为：．【点评】本题主要考查角的计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．2．（2022秋•洛宁县期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为　　．【分析】可求，由即可求解．【解答】解：四边形是正方形，，由折叠可知，，，，，，故答案为：．66 【点评】本题主要考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．3．（2023秋•江汉区期末）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在位置，点落在位置，若，则　85　．【分析】根据折叠的性质得到，，根据已知条件和角的和差即可得到结论．【解答】解：将纸片沿，折叠，点落在位置，点落在位置，，，，，故答案为：85．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．（2023秋•江岸区期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为　　．【分析】由于折叠，，，根据题意可得，因，，，可得的度数．【解答】解：由于折叠，，，四边形是长方形，66 ，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了角的计算，先求的度数，再依据，求的度数是关键．5．（2022秋•宝山区期末）如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点恰巧落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，那么的长度是　2　．【分析】由折叠得，，则，于是得到问题的答案．【解答】解：由折叠得，，，的长度是2，故答案为：2．【点评】此题重点考查轴对称的性质、线段的和差计算等知识与方法，正确地找到沿折叠后的对应线段及沿折叠后的对应线段是解题的关键．6．（2023秋•杨浦区期末）如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，再将△沿向右翻折，使点落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则的值为　或　．66 【分析】分两种情形①当点在上时，②当点在的延长线上时，分别求解．【解答】解：①当点在上时，，，，．②如图所示，当点在的延长线上时，由题意知，，，，，由得，解得：．综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：4或．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．题型五：含参方程与应用题（共4题）1．（2022秋•硚口区期末）人的上半身长与下半身长的比约为（黄金比），这时人的身长比例看上去更美观．小明的妈妈身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，根据“黄金比”，她购买的高跟鞋鞋跟最合适的高度是　6.5　（结果精确到．66 【分析】根据比例关系列出方程求解即可．【解答】解：设高跟鞋的高度为，根据题意可得，解方程可得，结果精确到0.1，．故答案为：6.5．【点评】本题考查了比例关系与一元一次方程，审清题意是解题的关键．2．（2023秋•诸暨市期末）已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是　0　．【分析】由整体思想可得，即可求．【解答】解：方程可变形为，方程和方程同解，方程的解是，，，故答案为：0．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系，利用整体思想解题是关键．3．（2023秋•锦江区校级期末）若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则满足条件的整数的值是　　．66 【分析】求出方程的解，根据其解是整数，确定的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出的值即可．【解答】解：，，，，是整数，或，或或2或；关于的多项式是二次三项式，，且，，且；，故答案为：．【点评】本题考查一元一次方程的解，正确求出方程的解是解题的关键．4．（2021秋•普陀区期末）十个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个整数，并把自己想好的数如实告诉他两旁的两个人，然后每人将他两旁的人告诉他的数计算出平均数并报出来．已知每个人报的结果如图所示，那么报“3”的人自己心里想的数是　　．【分析】先设报3的人心里想的数，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可．【解答】解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是，于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，66 报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是，所以得，解得．故答案为：．【点评】本题考查了算术平均数，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．题型六：规律探究问题（共15题）1．（2019秋•东西湖区期末）将2019加上它本身的的相反数，再将这个结果加上其的相反数，再将上述结果加上其的相反数，，如此继续，操作2020次后所得的结果是　　A．1B．C．D．2020【分析】根据题中的操作，依此类推得到一般性规律，写出即可．【解答】解：将2019加上它本身的的相反数，得，再将这个结果加上其的相反数，得，再将上述结果加上，其的相反数，得，，如此继续，操作2020次后所得的结果是．故选：．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2023秋•九龙坡区期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为　　A．20个B．22个C．24个D．26个66 【分析】根据所给图形，依次求出白色圆片的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，第1个图案中白色圆片的个数为：；第2个图案中白色圆片的个数为：；第3个图案中白色圆片的个数为：；，所以第个图案中白色圆片的个数为：；当时，（个，即第100个图案中白色圆片的个数为22个．故选：．【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现白色圆片个数的变化规律是解题的关键．3．（2023秋•新化县期末）我们知道过平面上两点可以画一条直线，过平面上3点最多可以画3条直线，过平面上4点最多可以画6条直线，过平面上5点最多可以画10条直线．如果平面上有6个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以画多少条直线？　　A．15B．21C．30D．35【分析】根据图示的规律用代数式表示即可．【解答】解：根据图形得：第①组最多可以画3条直线；第②组最多可以画6条直线；第③组最多可以画10条直线．如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画条直线．当时，．即：最多可以画15条直线．故选：．66 【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．4．（2023春•德清县期末）在学习了浙教版七年级下册第135页阅读材料后，数学探究小组发现：在同一平面内画直线，使直线都两两相交，但任何三条直线都不相交于一点，那么把平面分成的部分数与所画直线的条数有关．请观察如图：若平面内直线条数，则　　A．527B．528C．529D．530【分析】分析将平面分成最多的部分：、、，则每多一条直线，一共有几条直线将平面最多分成的部分就多几，据此解答即可．【解答】当直线条数为时，最多有个交点，把平面最多分成部分．若平面内直线条数，．故选：．【点评】本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，写出和的形式是解决此题的关键．5．（2019秋•松滋市期末）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第个正方形中的，则的值为　　A．7B．8C．9D．10【分析】由已知图形得出，，，根据求解可得．【解答】解：由题意知，，，66 ，由题意知，解得：．故选：．【点评】本题考查了数字变化规律型题．关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律．6．（2022秋•阳城县期末）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是　　A．B．C．D．【分析】仿照二维码转换的方法求出所求即可．【解答】解：根据题意得：，则表示6班学生的识别图案是，故答案为：．【点评】本题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．7．（2023秋•慈溪市期末）对于任意正整数，如果是奇数，则变成；如果为偶数，则变成66 ，将运算结果继续按上述规则操作，当正整数为5时，则操作三次以后的结果是　　A．8B．4C．2D．1【分析】根据如果是奇数，则变成；如果为偶数，则变成，即可得操作一次以后的结果是；操作二次以后的结果是；操作三次以后的结果是．【解答】解：根据如果是奇数，则变成；如果为偶数，则变成，可得操作一次以后的结果是；操作二次以后的结果是；操作三次以后的结果是；故选：．【点评】本题主要考查了根据规律解决问题，关键是正确应用规律．8．（2023秋•本溪期末）数学活动课上，李老师给出下列一组数据：2，，8，，；经过观察发现，这组数据是按某种规律进行排列的，你认为第个数是　　A．B．C．D．【分析】数字是以2为底数，指数从1开始的整数，奇数位置为正，偶数位置为负，由此规律得出第个数为．【解答】解：由题意得：第个数是．故选：．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题．9．（2023秋•景县期末）如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，，按此规律操作下去，则第为正整数）个图形中正方形的个数是　　A．B．C．D．66 【分析】由第1个图形中正方形的个数，第2个图形中正方形的个数，第3个图形中正方形的个数，据此可得．【解答】解：第1个图形中正方形的个数，第2个图形中正方形的个数，第3个图形中正方形的个数，，第个图形中正方形的个数为，故选：．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．10．（2023秋•历城区期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，以此类推，第幅图中★的个数为，则的值为　　A．B．C．D．【分析】根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1幅图中★的个数为2，即；第2幅图中★的个数为6，即；第3幅图中★的个数为12，即；第4幅图中★的个数为20，即；，所以第幅图中★的个数为；所以66 ．故选：．【点评】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示第幅图形中三角形的个数是解题的关键．11．（2019秋•武汉期中）如图，在边长为1厘米的正方形网格有12个格点，用这些格点作三角形顶点，一共可以连成面积为2平方厘米的三角形个数为　　A．24B．32C．28D．12【分析】根据面积等于底乘以高依次分情况分析既可以得到三角形个数．【解答】解：①如图以为底时，与对边的四个顶点都可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有16个，②如图以为底与线段上的三个点可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有12个，其中有8个直角三角形是重复的，类似于△，这样的三角形有4个，故三角形总个数：个，故选：．66 【点评】本题考查了三角形面积的求法，两平行线的性质掌握两平行线间的距离处处相等，由此利用同底等高的面积相等是解题关键．12．（2023秋•遵义期末）正方形在数轴上的位置如图，点、对应的数分别为和0，若正方形绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，则连续翻转2024次后，则数2024对应的点为　　A．点B．点C．点D．点【分析】由题可知，正方形在绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，从中得到规律每翻转4次为一个循环，因此用，即可求出对应的点．【解答】解：由题可知，正方形在绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，翻转2次后，点所对应的数为2，翻转3次后，点所对应的数为3，翻转4次后，点所对应的数为4，翻转5次后，点所对应的数为每翻转4次为一个循环，，数2024对应的点为点，故选．【点评】本题考查的是实数与数轴的简单应用，解题的关键是找出题目中的运行规律．13．（2018秋•蔡甸区期末）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们之间有网络相联，连线上标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同线路同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是　19　．66 【分析】根据题意，计算从到各个路线的最大信息量，相加可得答案．【解答】解：最上面的一条单位时间内传递的最大信息量是3，第二条单位时间内传递的最大信息量是4，第三条单位时间内传递的最大信息量是6，第四条单位时间内传递的最大信息量是6，从到单位时间内传递的最大信息量为：，故答案为：19．【点评】本题主要考查了有理数加法的运算，以及有理数大小的比较．解题的关键是掌握有理数加法的运算法则，以及有理数大小的比较方法．14．（2023秋•济南期末）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，摆放1个时实线部分长为3，摆放2个时实线部分长为5，摆放3个时实线部分长为8，以此类推，摆放2023个时，实线部分长为　5058　．【分析】根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．【解答】解：第1个图实线部分长3，第2个图实线部分长，第3个图实线部分长，第4个图实线部分长，第5个图实线部分长，第6个图实线部分长，从上述规律可以看到，对于第个图形，当为奇数时，第个图形实线部分长度为，当为偶数时，第个图形实线部分长度为，摆放2023个时，实线部分长为，故答案为：5058．【点评】本题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键．66 15．（2023秋•沙市区期末）设条直线相交最多有个交点，例如：2条直线相交有1个交点，即，3条直线相交最多有3个交点，即，4条直线相交最多有6个交点，即，那么　　．【分析】根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，2条直线相交有个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，按这样的规律，条直线相交的交点最多是个交点，然后代入计算即可．【解答】解：2条直线相交有个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，按这样的规律，条直线相交的交点最多是个交点，，则，故答案为：．【点评】本题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化得出规律．题型七：新定义问题（共7题）1．（2023秋•和平区期末）现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为　　A．4B．11C．4或11D．1或11【分析】分与两种情况求解．【解答】解：当，则，；当，则，，但，这与矛盾，所以此种情况舍去．即：若，则有理数的值为4，故选：．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序．66 2．（2022秋•广水市期末）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中正确的有　　个．①；②；③若，则；④A．4B．3C．2D．1【分析】结合对数的定义和乘方运算逐项判断即可．【解答】解：，，故①错误；，，故②正确；，，，③错误；，，，，，．，故④正确；②④正确．故选：．【点评】本题考查了有理数的乘方，属于新定义问题，掌握对数和乘方互为逆运算是解题的关键．3．（2023秋•青羊区校级期末）我们规定：使得成立的一对数，为“有趣数对”，记为．例如，因为，所以数对都是“有趣数对”．若是“有趣数对”，则的值为　　．【分析】利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论．【解答】解：是“有趣数对”，，，，．故答案为：．66 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．4．（2023秋•双峰县期末）若定义一种新运算，规定，则　2　．【分析】根据新运算的规定列出算式，再计算乘法，最后计算减法即可．【解答】解：原式，故答案为：2．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义规定的运算法则．5．（2023秋•伊金霍洛旗期末）设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为　　．【分析】根据新的运算写出一元一次方程，再解方程即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据新的运算写出一元一次方程．6．（2023秋•大丰区期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则　　．【分析】先根据“特殊数对”的规定得到、的关系，再化简整式整体代入得结论．【解答】解：是“特殊数对”，，即．．66 ．故答案为：．【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则，理解“特殊数对”的意义是解决本题的关键．7．（2023秋•建湖县期末）定义新运算“◇”：对于两个有理数、，定义◇，例如1◇，那么◇　　．【分析】根据新定义列出算式进行计算即可．【解答】解：◇．故答案为：．【点评】本题考查了有理数的混合运算，列出算式是解答本题的关键．题型八：多结论问题——整式与方程（共5题）1．（2022秋•攸县期末）下列结论：①若且，则方程的解是；②若有唯一的解，则；③若，则关于的方程的解为；④若且，则一定是方程的解．其中结论正确个数有　　66 A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．【解答】解：①当时，代入方程即可得到，不成立，故命题错误；②，去括号得：，即，则，故命题正确；③方程，移项得：，则，因为，所以，则，故命题错误；④把代入方程，得到，则一定是方程的解，故命题正确．故选：．【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．2．（2022秋•万州区期末）下列四个结论中，其中正确的是　　①若的运算结果中不含项，则常数项为；②若与是同类项，且；则；③若，，则的结果有三个；④若，则．A．①②③④B．②③④C．①④D．①②④【分析】利用整式的加减的运算法则，同类项的定义，绝对值，有理数的加减对各项进行分析即可．【解答】解：①结果中不含项，，解得：，．故①结论正确；②与是同类项，，，解得：，，，66 ，或，故②结论错误；③，，，，中只有一个负数，当时，；当时，；当时，；故其结果有两个，故③结论错误；④，，，，，故④结论正确．综上所述，正确的有①④．故选：．【点评】本题主要考查整式的加减，绝对值，有理数的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（2022秋•台江区校级期末）下列关于的方程结论：其中结论正确的是　②③④　．①若，则关于的方程的解为；②若，且，则方程的解是；③若有唯一的解，则；④若，且，则一定是方程的解．【分析】使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，由此即可判断．【解答】解：①若，时，则关于的方程的解为，故①不符合题意；②若，且，则方程的解是，正确，故②符合题意；③若有唯一的解，则，正确，故③符合题意；④若，且，则一定是方程的解，正确，故④符合题意．66 由此正确的是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查方程的解，关键是掌握方程的解的定义．4．（2023秋•江汉区期末）下列说法：①若，则；②若是关于的一元一次方程，则；③若有理数，，满足，则；④若我们用表示，两数中较小的一个数，则．其中正确的是　①③④　（填序号）．【分析】分别根据一元一次方程的定义、等式的性质及绝对值的性质对各小题进行解答即可．【解答】解：①，若，则，正确，符合题意；②是关于的一元一次方程，且，，原说法错误，不符合题意；③，或，解得（舍去）或且，，正确，符合题意；④当时，，；当时，，；若用表示，两数中较小的一个数，则，正确符合题意．故答案为：①③④．【点评】66 本题考查的是一元一次方程的定义、等式的性质及绝对值的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023秋•江岸区期末）下列四个结论中：①若与是同类项，则；②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为；③若，则；①若，，则的结果只有一种．其中正确的是　①②④　（填序号）．【分析】①根据同类项的定义即可判断；②根据整式的加减法则先进行化简，令含有项的系数为0即可；③利用绝对值的化简法则即可判断；④先判断三个数中正数和负数的个数，再根据绝对值的化简法则即可判断．【解答】解：①与是同类项，，，，，①正确；②，运算结果中不含项，，，，②正确；③，，，，，③错误；66 ④，，，，三个数中有正有负，，当三个数中有一个正数两个负数时，，此时原式，当三个数中有两个正数一个负数时，，此时原式，结果只有一种，④正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了整式的加减和绝对值的化简，熟练应用法则是解题的关键．题型九：多结论问题——线段与角的设参问题（共9题）1．（2023秋•黄山期末）如图，，是线段上两点（点在点右侧），，分别是线段，的中点．下列结论：①；②若，则；③；④．其中正确的结论是　　A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】设，，，依题意得，，，，则，．①根据，，据此可对结论①进行判断；②根据，，再根据得，据此可对结论②进行判断；③根据，得，再根据得，据此可对结论③进行判断；66 ④根据，得，再根据，得，据此可对结论④进行判断．【解答】解：设，，，，分别是线段，的中点，，，，，，，①，，，，故结论①不正确；②，，，，故结论②正确；③，，，，，故结论③正确；④，，，，，，，故结论④不正确．66 综上所述：正确的结论是②③．故选：．【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，准确识图，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．2．（2022秋•东湖区期末）如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有　　A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案．【解答】解：是的三等分点，，，，，，，故①正确；，是线段的中点，则，，，故②正确；，，，故③正确；，，66 ，故④正确，所以正确的结论①②③④．故选：．【点评】本题考查了两点间的距离，根据中点的概念，能够用几何式子正确表示相关线段，还要结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．3．（2023秋•和平区校级期末）如图，货轮在航行的过程中发现灯塔在它的北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论：①；②图中的补角有两个，分别是和；③图中有4对互余的角；④货轮在海岛的北偏西的方向上．其中正确结论的个数有　　A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据方位角的意义、互余性质结合图形逐个进行判断，最后得出答案．【解答】解：由方位角意义可知，因此①正确；根据题意可求出，，，因此②正确；图中互余的角有和，和，和，和，因此③正确；根据方位角，海岛在轮船南偏东方向，即，也就是，反之货轮在海岛的北偏西的方向上，因此④正确；综上所述，正确的个数有4个．故选：．【点评】本题主要考查方位角的概念，互余的性质以及角度的有关计算等知识，理解方位角的意义和角度的计算是正确解答的前提．4．（2023秋•临颍县期末）如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有　　66 ①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先利用已知得出的度数，再计算出、、、的度数，然后再分析即可．【解答】解：平分，，，设，则，，，，解得：，，故①正确；，，，则，射线平分，故②正确；，，，，，图中与互余的角有2个，故③正确；，，，，，，，，，，，图中互补的角有6对，故④正确，66 正确的有4个，故选：．【点评】此题主要考查了角平分线，以及补角和余角，关键是正确计算出图中各角的度数．5．（2022秋•南开区校级期末）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互余②与互补③与互补④，其中正确的有　　个．A．4B．3C．2D．1【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可．【解答】解：①，平分，平分，，，，与互余，故正确；②，平分，平分，，，与互补，故正确；③，，，与不互补，故错误；66 ④，，，故正确，故选：．【点评】本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．6．（2023秋•和平区校级期末）如图，已知，，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③；④．其中正确的有　　A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的性质，可得，，再根据余角和补角的定义求解即可．【解答】解：平分，平分，，，，，，与互余，与互补，故①②正确；．故③正确；，故④正确．故选：．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义，掌握角平分线的性质．7．（2021秋•河北区校级期末）一副三角板、，如图1放置、，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，则下列结论中正确的是　　66 ①的角度恒为；②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为2次；④在图1的情况下，作，则平分．A．①B．②C．①②④D．①②③④【分析】①计算旋转角度大于时，的大小与比较便可得结论；②利用角的和差与角的平分线得，便可求出其值；③由当旋转时，，当旋转时，，当旋转时，，便可得结论；④当在外时，作图判断便可．【解答】解：设旋转角度为，①当时，，于是此小题结论错误；②，于是此小题的结论正确；③当旋转时，，当旋转时，，当旋转时，，则在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，于是此小题结论错误；④当在外时，如图所示，66 虽然，但不平分，于是此小题的结论错误．故选：．【点评】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．8．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，点，，，，，都在同一直线上，点是线段的中点，点是线段的中点，有下列结论：①，②，③，④．其中正确的结论是　①③④　（只填相应的序号）．【分析】，，．【解答】解：，故①正确；，故②错误，③正确；，④正确．故答案为：①③④【点评】本题主要考查了线段中点的性质．线段中点将线段分成两段长度相等的线段．根据题意和题干图形，得出各线段之间的关系，结合已知条件即可求出所求线段的长度．9．（2023秋•硚口区期末）如图，为直线上的点，，平分，平分，66 平分．下列四个结论：①与互余；②与互补；③在图中画出射线，使，则平分；④在图中以为顶点且小于平角的角共有20个．其中正确的是　①②④　（填写序号）【分析】根据平角定义可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，再利用等式的性质可得，再利用平角的定义可得，从而利用等量代换可得，根据当射线可能在直线的下方时，且，则不平分，最后根据图中以点为端点的射线共有7条，从而可得以为顶点且小于平角的角的个数，进行计算即可解答．【解答】解：，，平分，平分，，，，，，，，，，，，，当射线在直线的下方时，且，则不平分；66 图中以点为端点的射线共有7条，以为顶点且小于平角的角的个数（个，所以，上列四个结论，其中正确的是①②④，故答案为：①②④．【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键．66