沪科版七年级数学上册期末复习考题猜想 专题05 几何图形初步（易错必刷23题8种题型）

专题05几何图形初步（易错必刷23题8种题型专项训练）目录【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题）1【题型二】线段上动点求定值问题（共4题）3【题型三】线段上动点求时间问题（共3题）9【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题）13【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题）16【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题）24【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题）29【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题）355353【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题）1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，．(1)当点E是的中点时，求的长度；(2)当时，求的长度．2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足．(1)当点C为中点时，求的长．(2)若E为中点，当时，求的长．【题型二】线段上动点求定值问题（共4题）3．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线53 运动，M为的中点．(1)出发多少秒后，？(2)当P在线段上运动时，试说明为定值．(3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M为的中点．点P的运动时间为x秒．(1)若时，求的长；(2)当P在线段上运动时，是定值吗?如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；(3)当P在射线上运动时，N为的中点，求的长度．5．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点．(1)如图1，当时，求的长；(2)如图2，为的中点．①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长；②当时，请直接写出线段的长．53 6．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为．(1)当时，________；当时，________；(2)用含的式子表示整个运动过程中的长度；(3)设是线段的中点，是线段的中点．①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由；②当时，直接写出的值，________．【题型三】线段上动点求时间问题（共3题）7．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点．(1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，点P与点Q重合？②当t为何值时，点P与点Q之间的距离．8．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，直线上有A，B，，四个点，，，．  (1)线段______53 (2)动点P，Q分别从A点，点同时出发，点P沿线段以/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点Q沿线段以/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点在线段AB上，，，动点从点出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段AB的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题）10．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．(1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”；(2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．①当t为何值时，P、Q重合？②当t为何值时，Q为的“巧点”？53 11．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）（2）【新知应用】如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______．（3）【拓展探究】  已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数．【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题）12．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，．(1)如图1，当恰好平分时，求的度数；(2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．13．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）将一副三角板（含有角的直角三角板和含有30°53 角的直角三角板）按如图﹣1摆放在直线上，平分，平分．  (1)求的度数；(2)如图﹣2，将三角板绕着点B以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，平分．①在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由；②在旋转过程中，是否存在某个时刻，与中，其中一个角是另一个角的两倍？若存在，求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由．14．（23-24七年级上·广西百色·期末）【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处．【动手操作】（1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______；【类比操作】（2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；（3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数．15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究【问题情境】将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线．53 【初步探究】现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起．（1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）．【深入探究】（2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°．如果设，请求出图1中的度数．【类比拓展】（3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数．16．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，；三角尺中，，分别作的平分线．试求出的度数．为了便于同学们探究，特别进行了以下活动：[初步探究]现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中AB与AD重合，在图3中与重合在一起．（1）图2中的度数为________，图3中的度数为________．[深入探究]（2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为__________．如果设，请求出图1中的度数．53   【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题）17．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数；【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系．18．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若，，秒时，________°；(2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值；53 (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒；②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系．【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题）19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，平分？(2)当t为何值时，？20．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含，，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．(1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t=时，边平分；(2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．①当t为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．53 21．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．(1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________．(2)若射线的位置保持不变，且．①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由．②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值．【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题）22．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角．(1)如果，是的半余角，那么的度数是_______；(2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线．①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________；②是的半余角，当是的时，求的度数．53 23．（22-23七年级上·四川成都·期末）定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．(1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．53 专题05几何图形初步（易错必刷23题8种题型专项训练）目录【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题）1【题型二】线段上动点求定值问题（共4题）3【题型三】线段上动点求时间问题（共3题）9【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题）13【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题）16【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题）24【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题）29【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题）355353【题型一】线段上动点求线段长问题（共2题）1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，．(1)当点E是的中点时，求的长度；(2)当时，求的长度．【答案】(1)(2)【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算【分析】本题考查线段的和差，线段的中点．（1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，；（2）设，则，，根据53 即可得到方程，求解即可解答．【详解】（1）∵，，∴，，∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴；（2）设，则，，∵，∴，解得，∴．2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足．(1)当点C为中点时，求的长．(2)若E为中点，当时，求的长．【答案】(1)2(2)6【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．（1）根据线段中点的性质计算即可；（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算．【详解】（1）解：∵点C为中点，53 ∴，∵∴；（2）解：如图，∵E为中点，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【题型二】线段上动点求定值问题（共4题）3．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点．(1)出发多少秒后，？(2)当P在线段上运动时，试说明为定值．(3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．【答案】(1)出发6秒后；(2)，理由见解析；(3)选，，理由见解析．【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算53 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度．（1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可．（2），，，表示出后，化简即可得出结论．（3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断．【详解】（1）解：设出发x秒后，当点P在点B左边时，，，，由题意得，，解得：；当点P在点B右边时，，，，由题意得：，方程无解；综上可得：出发6秒后．（2）解：，，，；（3）解：选；，，，，定值；变化．4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M为的中点．点P的运动时间为x秒．(1)若时，求的长；(2)当P在线段上运动时，是定值吗?如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；(3)当P在射线上运动时，N为的中点，求的长度．53 【答案】(1)(2)是定值，定值为(3)【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键．（1）当时，，则，根据，计算求解即可；（2）由题意知，，，根据，求解作答即可；（3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：当时，，∵M为的中点，∴，∴，∴的长为．（2）解：当P在线段上运动时，是定值；由题意知，，，∴，∴是定值，定值为；（3）解：当P在线段上运动时，如图1，           图1由题意知，，∴；当P在线段的延长线上运动时，如图2，53                  图2由题意知，，；综上所述，的长度为．5．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点．(1)如图1，当时，求的长；(2)如图2，为的中点．①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长；②当时，请直接写出线段的长．【答案】(1)(2)①不会发生变化，的长是；②或【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算【分析】本题考查两点间的距离，（1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案；（2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可；熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．【详解】（1）解：∵，，∴，∵为的中点，53 ∴，∵，∴，∴的长为；（2）①∵是的中点，是的中点，，，∴，，∴，∴线段的长度不会发生变化，；②当点在点的左侧时，∵，，∴，由①知：，∴；当点在点的右侧时，∵，CD=2，∴，由①知：，∴，综上所述，当时，线段的长为或．53 6．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为．(1)当时，________；当时，________；(2)用含的式子表示整个运动过程中的长度；(3)设是线段的中点，是线段的中点．①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由；②当时，直接写出的值，________．【答案】(1)4；8(2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时，(3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用代数式表示式，线段的和差以及线段中点的有关计算，根据情况分情况计算是解题关键．（1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可；（2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度；（3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可．【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，当时，（厘米），当时，（厘米），故答案为：4，8；（2）由（1）分析可知：当点从运动到点时，即时，，当点从运动到点时，即时，；53 （3）设D是线段的中点，E是线段的中点，①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化，D是线段的中点，E是线段的中点，，，即的长度为；②当时，若点C从点A向点B运动，时，是线段的中点，E是线段的中点，，，即有，；若点C从点B向点A运动，时，D是线段的中点，E是线段的中点，，，即有，，综上可知，当时，t的值为或．【题型三】线段上动点求时间问题（共3题）7．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点．(1)直接写出线段和的长；53 (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，点P与点Q重合？②当t为何值时，点P与点Q之间的距离．【答案】(1)；(2)①或；②或或或．【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并建立方程是解题的关键．（1）利用，结合已知条件计算线段的长度，根据中点的定义计算线段的长度，再利用计算线段的长；（2）①点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，分别列方程求解即可；②分四种情况：动点相遇前，动点第一次相遇后反向运动，动点第一次相遇后同向运动，动点第二次相遇后同向运动，分别根据列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵点D为线段的中点，∴，∴．（2）解：①由题意可知，，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，当点向左运动时，．解得．当点向右运动时，．解得．答：当或时，点与点重合．②当动点没有相遇时，两点相距4时，有，解得；当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距4时，有，解得；53 当动点第一次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得；当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得．综上所述，满足条件的有：或或或．8．（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，直线上有A，B，，四个点，，，．  (1)线段______(2)动点P，Q分别从A点，点同时出发，点P沿线段以/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点Q沿线段以/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)(2)8、20【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差【分析】（1）先根据题意算出，再根据即可解答，掌握线段的和差倍分是解题的关键；（2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是的长列方程求解即可；②根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与的差以及Q所走的路程与的差相等列方程即可求解；根据线段的和差列出方程是解答本题的关键．【详解】（1）解：∵，，．∴，∴．故线段的长为．（2）解：①P，Q两点第一次相遇时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为t，根据题意可知：P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是，即，解得：秒故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；②P，Q两点第二次相遇时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为t，53 由（1）得,根据题意可知：P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与的差以及Q所走的路程与的差相等，即：，解得：秒,∴,∴．故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是．9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点在线段AB上，，，动点从点出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段AB的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(4)【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差【分析】（1）根据即可求解；（2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解；（4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵点在线段AB上，，，∴，故答案为：．53 （2）解：依题意，，当点与点相遇时，解得：；（3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：，相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：，综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；（4）∵，当在线段上时，，此时，∵，∴，解得：（舍去）当在线段上时，，此时，∵，∴，解得：，∴【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【题型四】线段上动点的新定义型问题（共2题）10．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．53 (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”；(2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．①当t为何值时，P、Q重合？②当t为何值时，Q为的“巧点”？【答案】(1)中点是这条线段“巧点”．(2)①时，P、Q重合；②或，Q为“巧点”【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的实际应用．（1）根据中点平分线段，得到，即可得出结论；（2）①根据两点的路程和为15，列出方程进行求解即可；②分为的中点，和，三种情况进行讨论求解即可．掌握“巧点”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【详解】（1）因为点C是线段的中点，所以，所以中点是这条线段“巧点”．（2）①由题意，得：，解得：；②当为中点（）时，，；（运动终止）当时，，；53 当时，，（舍去）综上所述：或，Q为“巧点”．11．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）（2）【新知应用】如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______．（3）【拓展探究】  已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数．【答案】（1）是；（2）；（3）或【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用．（1）根据“妙点”的定义即可判断；（2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可；（3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数．【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点，∴，53 ∴点为线段的“妙点”故答案为：是（2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7，∴，又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为，∵，∴，解得：，点对应的数为，故答案为：（3），∴，∴设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则，依题意：或，即或，解得：或，又当点，相遇时，，得，即，当时，，故点在数轴上对应的数为，当时，，故点在数轴上对应的数为，故答案为：或【题型五】几何图形中动角求定值问题（共5题）12．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，．53 (1)如图1，当恰好平分时，求的度数；(2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【答案】(1)(2)不变，【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了角的计算和角平分线的定义等内容，熟练掌握角的和差计算方式是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得出，再用即可得解；（2）已知，要求，可以先求，利用已知条件很容易求出，再用即可得解．【详解】（1）是的角平分线，，，．（2）不变，理由如下，，，，，，，，，．13．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）将一副三角板（含有角的直角三角板和含有30°53 角的直角三角板）按如图﹣1摆放在直线上，平分，平分．  (1)求的度数；(2)如图﹣2，将三角板绕着点B以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，平分．①在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由；②在旋转过程中，是否存在某个时刻，与中，其中一个角是另一个角的两倍？若存在，求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①不发生改变，  ②t的值为或【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键．（1）利用角平分线定义得到，，然后根据解题即可；（2）①根据角平分线的定义得到，，然后利用计算解题；②表示出和的度数，然后分和两种情况列方程解题即可．【详解】（1）解：如图，，，则，，又∵平分，平分，∴，，∴；53 （2）①解：不发生改变，理由为在旋转过程中，，∴，，∵平分，平分，∴，，∴；②解：存在，在运动过程中，在的左侧，∵平分，∴，∴，又∵，∴，当时，则)，解得：；当时，则，解得：；综上所述：t的值为或．14．（23-24七年级上·广西百色·期末）【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处．【动手操作】（1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______；【类比操作】（2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；（3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数．53 【答案】（1）；（2）；；（3）【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．（1）根据余角进行计算即可；（2）根据角平分线的定义求出，即可得到结论；（3）设，则，求出，即可计算得到结论．【详解】解：（1），，；（2），平分，，，；（3）设，则，，，，，．  15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究【问题情境】53 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线．【初步探究】现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起．（1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）．【深入探究】（2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°．如果设，请求出图1中的度数．【类比拓展】（3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数．【答案】（1），；（2）；60°；（3）【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键．（1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解；（2），根据平分，得；根据平分，得53 ，再根据即可求解；（3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解．【详解】解：（1）分别是的角平分线，∴，在图2中与重合，∴，∵∴；在图3中与重合在一起，∴，，∵∴；故答案为：，；（2）由（1）可得图1中，，故答案为：；若，，，平分，，53 ，，平分，，；（3）设，，，平分，，，，平分，，，．16．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，；三角尺中，，分别作的平分线．试求出的度数．为了便于同学们探究，特别进行了以下活动：[初步探究]现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的平分线．在图2中AB与AD重合，在图3中与重合在一起．（1）图2中的度数为________，图3中的度数为________．[深入探究]（2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为__________．如果设，请求出图1中53 的度数．  【答案】（1）；（2），【知识点】角平分线的有关计算【分析】本题考查了角平分线的有关计算，旨在考查学生的举一反三能力，掌握各角度之间的和差关系是解题关键．（1）图2中：根据、即可求解；图3中：根据、即可求解；（2）图1中可得，，根据即可求解；【详解】解：（1）图2中：∵是的平分线，,∴∴；图3中：,∴∵是的平分线，∴∴；故答案为：；（2）图1中：,∴，∵是的平分线，53 ∴∴．【题型六】几何图形中动角探究数量关系问题（共2题）17．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数；【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系．【答案】（1）；（2）；（3）．【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义，（1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解；（2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解；（3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系．【详解】解：（1），，．又平分，平分，，，；53 ，；（2），，；．．又平分，，；（3）设，则．，，．，，．18．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若，，秒时，________°；(2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值；(3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出53 ________秒；②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系．【答案】(1)100；(2)；(3)①12或30或48；②【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．（1）根据，即可求解；（2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解；（3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可，②由与始终互余，得出，进而可求解．【详解】（1）解：当，，秒时，，，，；故答案为：100；（2）解：，又在的左侧且平分，解得：，（3）解：①当是的角平分线时，如图所示：53 又始终平分，∴，当是的角平分线时，如图所示：又始终平分，，此时射线与重合，解得：，当是的角平分线时，如图所示：又始终平分，53 ，又，，解得：，故答案为：或30或48；②当在的左侧时，如图所示：又始终平分，与始终互余，，化简得：．【题型七】几何图形中动角求运动时间问题（共3题）19．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．53 (1)当t为何值时，平分？(2)当t为何值时，？【答案】(1)t为21(2)t为22.5秒或24.75秒【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义，（1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题；（2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解．【详解】（1）解：如图1，平分，，旋转的角度为，（秒），答：当t为21时，平分．（2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况：①如图2，53 由图可得：，又，    ，，旋转的角度为，（秒），②如图3，由图可得：，又，，，旋转的角度为，（秒），答：当t为秒或秒时，．20．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）王老师在数学实验课中组织学生进行操作探究，用一副三角板（分别含，，和，，的角）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．53 (1)如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．当t=时，边平分；(2)在（1）的条件下，在三角板开始旋转的同时，三角板也从原有位置开始绕点C以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．①当t为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)21(2)①；②存在，或【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查三角板有关的角度计算，一元一次方程与几何动点问题；（1）画出边平分时图形，根据角度关系求解即可．（2）①画出边平分时图形，根据角度关系求解即可；②画出时图形，根据角度关系求解即可，注意分类讨论．【详解】（1）如图，∵平分，，∴,∴边旋转的度数为，解得，故答案为：；53 （2）①如图，∵平分，，∴,由题意可得，，，∵，∴，解得；②时，，，如图，，相遇之前，，相遇之前，此时，此时，，，，∴，，∵，∴，解得，不符合题意；如图，，相遇之前，，相遇之后，此时，53 此时，，，，∴，，∵，∴，解得，符合题意；如图，，相遇之后，，相遇之后，此时，此时，，，，∴，，∵，∴，解得，符合题意；综上所述，在旋转过程中，存在某一时刻使，或21．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．53 (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________．(2)若射线的位置保持不变，且．①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由．②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值．【答案】(1)(2)①存在，的值为或或；②的值为【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】本题考查平角的定义、角平分线的定义、一元一次方程的应用；学会用分类讨论的思想是解决本题的关键；（1）根据平角的定义及得，再根据平分即可得；（2）①分三种情况讨论：平分时，；平分时，；平分时，；每种情况分别列出关于t的方程求解即可；②根据题意用分别表示出和，再代入求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：因为，所以，，因为平分，所以，所以，故答案为∶；（2）①存在；理由如下：当平分时，，即，解得，53 当平分时，，即，解得，当平分时，，即．解得，综上所述，的值为或或；②因为，，所以，所以的值为．【题型八】几何图形中动角之新定义型问题（共2题）22．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角．(1)如果，是的半余角，那么的度数是_______；(2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线．①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________；②是的半余角，当是的时，求的度数．【答案】(1)(2)①画图见解析；，.②度数为或【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得；（2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得53 ；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得．【详解】（1）解：∵，是的半余角，∴，故答案为：；（2）解：①在的内部画射线，使，如图所示：则，，∵是的平分线，∴，∴，∴的半余角有：，；②设，则，∴，∵是的半余角，∴，当是的时，，如图所示，若射线在内，53 则，∴，，；如图所示，若射线在外，则，∴，，；综上，的度数为或．【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论．23．（22-23七年级上·四川成都·期末）定义：如图1，线段是圆O的三条半径，当平分时，我们称点P是弧的中点，半径是扇形的“弧中线”．如图2，线段是圆O的直径，半径分别从位置同时出发绕点O逆时针旋转，每秒旋转30度，每秒旋转60度，设运动时间为t秒（其中）．53 (1)当，且半径是扇形的“弧中线”时，求t的值；(2)当时，是否存在t值使得半径是扇形的“弧中线”？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(3)若半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，当时，请直接写出此时t的值．【答案】(1)(2)存在，4或8(3)5或7【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算【分析】（1）根据半径是扇形的“弧中线”列方程求解即可；（2）分当时和当时两种情况求解；（3）分当，时和当时三种情况求解；【详解】（1）当是扇形的“弧中线”时，．∴．解得．（2）存在，理由如下：①如图，当时．．∵，∴．∴．53 解得．②如图，当时，，．∵，∴．∴．解得．∴当或8时，半径是扇形的“弧中线”．（3）如图，当时，由题意得，，，∴．∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，∴，，∴，∵，∴∴（不合题意，舍去）．如图，当时，53 由题意得，，，∴．∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，∴，，∴，∵，∴∴．如图，当时，由题意得，，，∴．∵半径是扇形的“弧中线”，半径是扇形的“弧中线”，∴，，∴，∵，∴∴．综上可知，当时，t的值为5或7．53 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．53