安徽省亳州市利辛县部分学校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学（沪科版）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.的值为（）A.B.C.1D.3.如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（）A.4.5B.6C.8D.94.若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是（）A.B.C.0D.25.如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（）27 A.平分B.C.D.6.二次函数，若，则自变量的取值范围是（）A或B.或C.D.7.经过坐标原点，分别与轴、轴交于点、点，点是位于第一象限部分上的一点，如图，若点坐标为，点坐标为，则的值为（）A.B.C.D.8.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（）A.B.C.D.9.已知反比例函数y＝图象如图所示，则二次函数y=ax2－2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）27 A.B.C.D.10.如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足，则的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针方向旋转得到的点的坐标是_____.12.在中，，，若，则______．13.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．若，且四边形的面积为15，则的值为______．27 14.如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，．（）若，，，则的半径为________；（）若的半径为，的面积为，且，则________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，，求的值．16.计算：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径．18.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点O．27 （1）以点O为位似中心，在和点O的另一侧画出，使与位似，且位似比为；（2）将（1）中绕点逆时针旋转得到，画出．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知，二次函数的图象经过点和.（1）求，的值；（2）求该函数图象的顶点坐标，并指出满足什么条件时，随的增大而减小？20.某数学活动小组运用所学的解直角三角形知识测量楼房的楼顶安装的信号发射塔外墙的高度，利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在处测得，在处测得，点、、在一条直线上，于点，于点，为米，米，测角仪的高度（、）为米，请根据测量数据，求出信号发射塔的长．（结果精确到米，参考数据：，，，）六、（本题满分12分）21.如图，是的直径，点在上，点在外，连接，若；27 （1）求证：是的切线；（2）已知，点是的中点，过点作，交于点，若的半径为10，，求的长.七、（本题满分12分）22.如图，与有公共的顶点，已知，点在边上，；（1）求证：；（2）若平分，，当，时，求长.八、（本题满分14分）23.规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数“互为函数”．例如：函数与“互为函数”．（1）请写出二次函数的“函数”（不用说理）；（2）函数与“互为函数”，求值；（3）若函数的图象与轴只有一个交点，求它的“函数”图象与轴的交点坐标．27 九年级数学（沪科版）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C．2.的值为（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.【详解】所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．3.如图，点，分别在的边，上，且，若，，则27 （）A.4.5B.6C.8D.9【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴；故选D．4.若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是（）A.B.C.0D.2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：由在每个象限内，都随的增大而增大，可知，∴，∴从选项中可以看出只有B选项符合题意；故选B．5.如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（）27 A.平分B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查补充条件证明三角形相似，掌握相似三角形的判定方法：两组对应角相等的两个三角形相似，两组对边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，三组对应边对应成比例的两个三角形相似，是解题的关键．根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，A、当平分时，，可以判定和相似；不符合题意；B、当时，，可以判定和相似；不符合题意；C、当时，，可以得到，得到，可以判定和相似；不符合题意；D、，无法判断和相似；故选D．6.二次函数，若，则自变量的取值范围是（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把代入函数解析式进行求解，然后问题可求解．【详解】解：把代入得：，解得：，∵该二次函数的开口向上，∴当时，自变量x的取值范围是或；故选A．27 7.经过坐标原点，分别与轴、轴交于点、点，点是位于第一象限部分上的一点，如图，若点坐标为，点坐标为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，余弦的定义，连接，由圆周角定理可得，利用勾股定理得到，再根据余弦的定义即可求解，由圆周角定理得到是解题的关键．【详解】解：连接，由圆周角定理得到，，∵点坐标为，点坐标为，∴，，∵，∴，∴，故选：．8.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（）27 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质可证明，再由相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，，，∴，与的相似比为，∵，∴，∴，根据的周长与的周长之比等于与的相似比可得，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解决问题的关键．9.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y=ax2－2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.27 B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．【详解】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；C正确．故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．10.如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】27 【分析】由题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，求出即可求解．【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，以为半径的圆上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，∴，27 故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针方向旋转得到的点的坐标是_____.【答案】【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及点的坐标，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；如图，由题意易得，然后可证，进而问题可求解．【详解】解：如图，过A作轴于C，过B作轴于D，则，，由点绕坐标原点逆时针方向旋转得到点可知：，∵轴，轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为．12.在中，，，若，则______．【答案】【解析】27 【分析】本题考查已知正切值，求边长．根据正切值等于对边比邻边，结合勾股定理，进行求解即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，解得：（负值已舍掉）．故答案为：．13.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．若，且四边形的面积为15，则的值为______．【答案】12【解析】【分析】设，则，进而求出，再根据四边形的面积为15得到，解方程即可得到答案．【详解】解：设，∴，∵，∴，27 ∴，∴，∵四边形的面积为15，∴，∴，∴，∴，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了反比例函数综合，设出点A的坐标，再表示出点B的坐标，进而根据四边形面积建立方程求解是解题的关键．14.如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，．（）若，，，则的半径为________；（）若的半径为，的面积为，且，则________．【答案】①.②.【解析】【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解；（）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解；本题考查了三角形内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解．【详解】解：（）连接，27 ∵是的内切圆，切点分别为，，，∴，，，∵，，，∴，，∴，，设的半径为，则，∵，∴，即，解得，故答案为：；（）∵面积为，∴，∴即，∴，∵是的内切圆，切点分别为，，，∴，，，∴，，27 ，，∴，即，解得，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质和求分式的值，根据比例设出，，是解决此类问题的关键．根据题意可设，，，代入分式求值即可．【详解】解：∵∴设，，，∴．16.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，然后化简计算即可；【详解】．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图227 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径．【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为【解析】【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，设，然后根据勾股定理可建立方程求解．【详解】解：连接，如图所示：∵，，∴，设，则有，在中，由勾股定理得：，解得：，∴这座石拱桥主桥拱的半径为．18.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点O．27 （1）以点O为位似中心，在和点O的另一侧画出，使与位似，且位似比为；（2）将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查图形变换—位似与旋转．（1）根据位似的性质，画出即可；（2）根据旋转的性质，画出即可．掌握位似和旋转的性质，是解题的关键．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】如图所示，即为所求．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知，二次函数的图象经过点和.27 （1）求，的值；（2）求该函数图象的顶点坐标，并指出满足什么条件时，随的增大而减小？【答案】（1）（2）该函数的顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；（1）利用待定系数法可进行求解；（2）根据（1）及二次函数的性质可进行求解．【小问1详解】解：把点和代入得：，解得：；【小问2详解】解：由（1）知：二次函数的解析式为，∴，∴该函数的顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小．20.某数学活动小组运用所学的解直角三角形知识测量楼房的楼顶安装的信号发射塔外墙的高度，利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在处测得，在处测得，点、、在一条直线上，于点，于点，为米，米，测角仪的高度（、）为米，请根据测量数据，求出信号发射塔的长．（结果精确到米，参考数据：，，，）【答案】信号发射塔的长为米．27 【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，利用了解直角三角形分别求出的长，再根据线段的和差关系即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键．【详解】解：由图可得，米，米，∴米，在中，，∴米，在中，，∴米，∴米，答：信号发射塔的长为米．六、（本题满分12分）21.如图，是的直径，点在上，点在外，连接，若；（1）求证：是的切线；（2）已知，点是的中点，过点作，交于点，若的半径为10，，求的长.【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查切线的判定及三角函数，熟练掌握切线的判定定理及三角函数是解题的关键；（1）连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求证；（2）设与相交于点F，过点E作于点G，由题意易得，，27 ，然后根据三角函数及等腰三角形的性质可进行求解．【小问1详解】证明：连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵是半径，∴是的切线；【小问2详解】解：设与相交于点F，过点E作于点G，如图所示：∵，，点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，27 由可设，根据勾股定理可知，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．七、（本题满分12分）22.如图，与有公共的顶点，已知，点在边上，；（1）求证：；（2）若平分，，当，时，求的长.【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由三角形内角和可知，则有，然后问题可求证；（2）由题意易得，则有，，然后可得，则，设，则有，进而根据线段的等量关系可进行求解．【小问1详解】证明：∵，，，27 ∴，∵，∴，∴，即，∵，∴；【小问2详解】解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，∴，∴，设，则有，∴，∴，解得：，∴．八、（本题满分14分）23.规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数“互为函数”．例如：函数与“互为函数”．27 （1）请写出二次函数的“函数”（不用说理）；（2）函数与“互为函数”，求值；（3）若函数的图象与轴只有一个交点，求它的“函数”图象与轴的交点坐标．【答案】（1）；（2）；（3）或．【解析】【分析】（）把二次函数转化成顶点式，求出顶点坐标，根据两个函数的图象关于轴对称，求到的顶点坐标，即可求解；（）根据“互为函数”的定义即可求解；（）分两种情况，根据“互为函数”的定义，求出函数的“函数”的解析式，由解析式即可求出与轴的交点．【小问1详解】解：∵二次函数，∴抛物线的顶点坐标为，∴的“函数”的顶点坐标为，∴的“函数”为，即；【小问2详解】解：∵函数与“互为函数”，∴，∴；27 【小问3详解】解：当时，函数解析式为，它的“函数”解析式为，它们的图象与轴都只有一个交点，∴它的“函数”图象与轴的交点坐标为；当时，此函数为二次函数，若二次函数图象与轴只有一个交点，则二次函数的顶点在轴上，即，解得，∴二次函数的解析式为，∴它“函数”解析式为，令，则，解得，∴二次函数的“函数”图象与轴的交点坐标为，综上，函数的“函数”图象与轴的交点坐标为或．【点睛】本题考查了轴对称，函数的新定义，函数图象与轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，理解题意定义并采用分类讨论思想分析问题是解题的关键．27