初中数学新湘教版七年级下册1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理教学课件2025春

利用乘法公式进行计算和推理湘教版·七年级数学下册① 复习导入完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式注意：公式中的a与b既可以是数，又可以是单项式和多项式. 探究新知运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x-1)利用多项式的乘法的交换律和结合律以及平方差公式，可得=[(x+1)(x-1)](x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1 运用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2解:将完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入,可得(a+b+c)2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2将(a+b)看作一个整体提示：遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的. (2)(a-b+c)(a+b-c)解:利用平方差公式，可得(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2添括号时注意符号的变化。将(b-c)看作一个整体运用乘法公式注意事项：1.要根据具体情况灵活运用乘法公式、幂的运算性质(正用与逆用)。2.式子变形添括号时注意符号的变化。 运用乘法公式计算：(1)(a+b)2+(a-b)2(a+b)2+(a-b)2解：=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2a2+2b2 (a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab(2)(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab还有其他方法吗？ 运用乘法公式计算：(x+y)3(x+y)3解：=(x+y)(x+y)2=(x+y)(x2+2xy+y2)=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3=x3+3x2y+3xy2+y3 先填空：(1)152=100×1×______+25(2)252=100×2×______+25(3)352=100×______×______+______由此猜测：十位数字是a、各位数字是5的两位数可以表示为__________,它的平方可表示为100×______×______+______23342510a+5a(a+1)25 1.运用乘法公式计算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；解:(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16（2）(x+1)2(x-1)2；解:(x+1)2(x-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x2-1)2=x4-2x2+1[教材P21练习第1题] 解:(a-b-c)2=[a-(b+c)]2=a2-2a(b+c)+(b+c)2=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.(3)(a-b-c)2（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；解：(x+2y-1)(x+2y+1)=(x+2y)2-1=x2+4xy+4y2-1 （5）(2x+y-1)(2x-y+1)；解：[2x+(y-1)][2x-(y-1)]=(2x)2-(y-1)2=4x2-(y2-2y+1)=4x2-y2+2y-1 [教材P22练习第2题]2.运用乘法公式计算：(3x-2)2-(2x+5)2解：(3x-2)2-(2x+5)2=[(3x-2)+(2x+5)][(3x-2)-(2x+5)]=(5x+3)(x-7)=5x2-32x-21 3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由[教材P22练习第3题]解：(n+3)2-(5n+9)=n2+6n+9-(5n+9)=n2+6n+9-5n-9=n2-n=n(n-1)化简后得n(n-1)，因为n为整数,则n(n-1)为一个奇数乘以一个偶数，则结果必然为偶数，所以一定能被整除。 4.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16cm2，求这个正方形原来的边长。答：这个正方形原来的边长为3cm.解设正方形原来的边长为xcm.列方程，得(x+2)2=x2+16，解得x=3.x2+4x+4=x2+164x=12 随堂练习1.下列运算中，正确的是（）A.(a+3)(a-3)=a2-3B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2D.(x+2)(x-3)=x2-6C 2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b-a)C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)B 3.解方程：5x+54x2-24-54x2+6=25x=20x=45x+6(9x2-4)–54(x2-)=25x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-)(x+)=2解: 4.计算：(1+)(1+)(1+)(1+)+.解：原式=2(1-)(1+)(1+)(1+)(1+)+=2(1-)+=2 5.已知=3,求的值.解：由=3，得()2=9即-2=9所以=11所以()2=121即+2=121所以=119 6.一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2,求这个正方形花圃原来的边长。解：设正方形花圃原来的边长为xm.由数量关系，得(2x+1)2=4x2+21，化简，得4x2+4x+1=4x2+21，即4x=20，解得x=5.答:这个正方形花圃原来的边长为5m。 课堂小结完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式注意：公式中的a与b既可以是数，又可以是单项式和多项式. 1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.课后作业