初中数学新湘教版七年级下册第3章 一元一次不等式（组）教案2025春

第3章一元一次不等式（组）3.1不等式的意义【教学目标】[知识与技能]1.能够从现实问题中想象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.3.理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是不是该不等式的解.[过程与方法]经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步增强学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.[情感态度]使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.【教学重点】理解并会用不等式表达数学量之间的关系，不等式的解的意义.【教学难点】不等号的准确应用；不等式的解.【教学过程】一、情景导入，初步认知世纪公园的票价是每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元.某班有27名少先队员去世纪公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？[教学说明]通过实际问题的导入，引起了学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.动脑筋：（1）处于平衡状态的托盘天平的右盘上放一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？（2）一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？【分析】对于（1）我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x>50.对于（2），根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x,且s≤100x.[归纳结论]我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.[教学说明]学生通过亲自计算，自己得出不等式的概念.2.用不等式表示下列数量关系：（1）x的5倍大于-7；（2）a与b的和的一半小于-1；（3）长、宽分别为xcm,ycm的长方形的面积小于边长为acm的正方形的面积.3.做一做：已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元，小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50之间的关系？[教学说明]学生独立思考，教师适当提示.三、运用新知，深化理解1.在数学表达式：（1）－3＜0;（2）3x+5＞0;（3）x2－6;（4）x=－2;（5）y≠0;（6）x≥50中，不等式的个数是（C）25 A.2B.3C.4D.52.下列按要求列出的不等式中正确的是(D).A.“a不是负数”即a>0B.“b是不大于零的数”即b<0C.“m是不小于-2的数”即m>-2D.“P+Q是正数”即P+Q>03.某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（D）A.t＞33B.t≤24C.24＜t＜33D.24≤t≤334.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（D）A.m＜0B.m＞0C.m≤0D.m≥05.k的值大于－1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是－1＜k≤3．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空）6.用不等式表示.(1)x的23与5的差小于1;解：“x的23与5的差小于1”就是2/3x-5<1.(2)x与6的和大于9;解：“x与6的和大于9”就是x+6>9.(3)8与y的2倍的和是正数;解：“8与y的2倍的和是正数”就是8+2y>0.(4)a的3倍与7的差是负数;解：“a的3倍与7的差是负数”就是3a-7<0.(5)x的3倍大于或等于1;解：“x的3倍大于或等于1”就是3x≥1.(6)x与5的和不小于0;解：“x与5的和不小于0”就是x+5≥0.7.下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.（1）“2x与1的和是负数”用不等式表示为：2x+1＜0；（2）“a与b的差是非负数”用不等式表示为：a-b＞0；（3）“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为：2a-4＞5；（4）“x的相反数与3的和是正数”用不等式表示为：3-x＞0.解:（1），（4）正确；（2）,（3）错误,改正如下：（2）因为非负数即≥0,可改为:a-b≥0；（3）因为不小于5即≥5,可改为:2a-4≥5.8.当x取下列数值时1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5,不等式x+3<6是否成立?解：将1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5分别代入x+3，得x+3=4，3，0.5，-1，6.5,7,7.5,其中只有4,3,0.5,-1小于6,∴上述各数中,只有1,0,-2.5,－4可使不等式x+3<6成立,当x取3.5,4,4.5时,不等式x+3<6不成立.[教学说明]通过观察学生做题情况，了解他们列不等式的掌握情况，通过分析错误，提出容易犯错的地方，及时巩固新知识.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“习题4.1”中第2、3、4题.【教学后记】25 3.2不等式的基本性质第1课时不等式的基本性质【教学目标】[知识与技能]1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式.[过程与方法]通过研究等式的基本性质过程,类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.[情感态度]通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.【教学重点】理解不等式的性质.【教学难点】理解不等式的性质.【教学过程】一、情景导入，初步认知我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质一：在等式的两边都（）或（）同一个________或________，等式仍然成立.等式的基本性质二：在等式的两边都（）或（）同一个________，等式仍然成立.请同学们大胆地猜想一下不等式有哪些基本性质？解一元一次方程有哪些基本步骤呢？一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类同呢？[教学说明]通过复习不等式性质以旧引新，为新知识的学习和应用作好铺垫，为下一步的类比、联想提供必要的生长点.二、思考探究，获取新知1.探究：（1）用不等号填空：5________3；2________4；5+2________3+2；2+1________4+15-2________3-2；2-3________4-3.（2）水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果，在卖出akg梨和akg苹果后，又分别购进了bkg的梨和苹果.请用“>”或“<”填空：100-a________84-a;100-a+b________84-a+b.(3)自己任意写一个不等式，在它的两边加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化，与同桌互相交流，你们发现了什么规律？[归纳结论]不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.用字母表示：若a>b，则a+c>b+c或a-c>b-c.2.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．（1）x+6>5;(2)3x<2x-2解:(1)不等式的两边都减去6，得：x+6-6>5-6即x>-1．(2)不等式两边都减去2x，得；3x-2x<2x-2-2x25 即x<-2．像上面这样，把不等式的某一项变号后移到另一边．称为移项，这与解一元一次方程中的移项相类似.3.动脑筋：我们知道在△ABC中，任意两边之和大于第三边，即，AB+AC>BC;AB+BC>AC;BC+AC>AB.那么三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？[教学说明]学生尝试将这个不等式变形.师生共同分析解答.[归纳结论]三角形任意两边之差小于第三边.三、运用新知，深化理解1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（D）A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>b>-a>-bD.a>-b>b>-a2.设a＜b．用“＞”或“＜”号填空.(1)a-1<b－1；(2)a＋3<b+3；(3)a+m<b+m;(4)a-c<b-c.3.用“＜”或“＞”填空：（1）若a－b＜c－b，则a<c（2）若a－b＞a则b<0（3）若a＜b则a－b<04.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．(1)x-7＞26(2)3x<2x+1解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得x-7+7﹥26+7x﹥33(2)3x<2x+1为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.3x-2x﹤2x+1-2xx﹤1[教学说明]让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材P135“练习”.【教学后记】25 第2课时不等式的基本性质【教学目标】[知识与技能]掌握不等式的性质2、3,并能运用这些性质将不等式进行变形.[过程与方法]通过研究等式的基本性质过程,类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.[情感态度]在具体情景中，进一步感受不等式是刻画现实世界的有效模型.【教学重点】不等式的基本性质.【教学难点】对不等式基本性质3的理解.【教学过程】一、情景导入，初步认知1.如果梨的价格是每千克3元，苹果的价格是每千克4元．梨和苹果各买10千克．买哪种水果花钱较多?买0.5千克呢?2.在不等式12＞9的两边同时乘(或除以)－2．不等号方向如何变化？[教学说明]通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.探究：（1）用不等号填空：6_____4-2_____-46×2_____4×2-2×2_____-4×26÷（-2）_____4÷（-2）-2÷（-2）_____-4÷（-2）（2）已知苹果的价格是a元/kg,梨的价格是b元/kg,且a>b，小李各买了3kg苹果和梨，则买那种水果花钱较多？用不等号填空：3a_____3b（3）在某次知识抢答中，甲、乙两队的总得分分别为a,b,其中a>B.已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高？用不等号填空：a÷3_____b÷3（4）自己写一个不等式，分别在它的两边都乘以（或除以）同一个正数或负数，看看有怎样的结果，与同桌相互交流，你们发现了什么规律？[归纳结论]不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.即：如果a>b．c>0，那么ac>bc．且a/c>b/c.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．即：如果a>b．c<0，那么ac<bc，且a/c<b/c.2.下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：在不等式-4x+5>9的两边都减去5，得：-4x>4在不等式-4x>4的两边都除以-4，得：x>-1请问他做对了吗？如果不对，请改正.3.议一议：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？[教学说明]以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质，再通过具体数值验算性质，最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来.因此在整个教学过程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引导.这时，学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋.三、运用新知，深化理解25 1.若x＞y，则下列式子错误的是（B）A.x－3＞y－3B.－3x＞－3yC.x+3＞y+3D.2.已知0＜m＜1，则m、m2、（C）A.m2＞m＞B.m2＞＞mC.＞m＞m2D.＞m2＞m3.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是（B）A．a-d>b-cB.C．a+c>b+dD.ac>bd4.给出下列命题，其中正确的是（A）①若1x<1，则x>1;②若a2x>a2y，则x>y;③<<0，则ab<b2;④a<b<0,则a2>b2,a3<b3A.①②B.②③C.②③④D.①②③④5.设a>b>1，y1=，y2=，y3=,则y1，y2，y3的大小关系是（C）A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y2<y1D.y2<y3<y16.已知a＞b，则-a+c＜-b+c（填＞、＜或=）解：∵a＞b，∴-a＜-b，∴﹣a+c＜-b+c7.已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．（1）bc＞ab√（2）ac＞ab×（3）c-b＜a-b√（4）c+b＞a+b×（5）a-c＞b-c√（6）a+c＜b+c×．解：由数轴可知：c＜b＜a，a＞0，b＜0，c＜0．因为c＜a，两边都乘以b，注意b是一个负数，所以得bc＞ab，故（1）正确；因为c＜b，两边都乘以a（a为正数），得ac＜ba，故（2）不正确；因为c＜a，两边都减b，得c-b＜a-b，所以（3）正确；因为c＜a，两边都加b，得c+b＜a+b，所以（4）不正确；因为a＞b，两边都减去c，得a-c＞b-c，所以（5）正确；因为a＞b，两边都加上c，得a+c＞b+c，所以（6）不正确.8.在______上填上适当条件，使下列命题成立：（1）若a>b且______，则ac≤bc；（2）若a>b>0且______，则ac＞bd；25 （3）若a＞b且______，则＜；（4）若a＞b且______，a(c-1)2>b(c-1)2.解：(1)c≤0;(2)c>d>0;(3)ab>0;(4)c≠19.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．解不等式（1）x－7>26解：不等式两边都加上7,不等号的方向不变，所以x-7+7>26+7x>33(2)－8x<10解：不等式两边都除以-8，不等号的方向要改变，所以-8x÷(-8)>10÷(-8)x>-[教学说明]让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“习题4.2”中第3、4、5、6题.【教学后记】3.3一元一次不等式的解法第1课时一元一次不等式的解法【教学目标】[知识与技能]1.理解不等式的解与解集的概念，了解什么是一元一次不等式.2.理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练地解一元一次不等式.[过程与方法]让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法.[情感态度]通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣.【教学重点】一元一次不等式的解法.【教学难点】一元一次不等式的解法.【教学过程】一、情景导入，初步认知复习提问：(1)不等式的三条基本性质是什么?25 (2)运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x<a的形式.①x-4<6②2x>x-5③x-4<6④-x≥+x(3)什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?[教学说明]通过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，以及不等式的意义，不等式的基本性质和不等式的解集，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件.同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系.二、合作探究，探索新知1.动脑筋：已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在一名重75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25kg重的货物？本题涉及的数量关系是：工人重+货物重≤最大载重量设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200kg，所以有75+25x≤12002.这个关系式有什么特点呢？（含有_______个未知数，且未知数的次数为_______）这样的不等式叫什么不等式？你认为呢？[归纳结论]含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.3.如何解不等式75+25x≤1200呢？[归纳结论]我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.求一个不等式的解集的过程称为解不等式.4.解下列不等式和方程（1）2-5x=8-6x（2）你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试.5.在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？6.在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？[归纳结论]解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1.在解一元一次不等式的步骤中，应注意：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.[教学说明]学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法，通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法.三、运用新知，深化理解1.若点M（1，2a-1）在第四象限内，则a的取值范围是．解：∵点M（1，2a-1）在第四象限内，∴2a-1＜0，解得：a<2.判断正误：（1）不等式x-1>0有无数个解（2）不等式2x-3≤0的解集为x≥答案：（1）对；（2）错.25 3.解下列不等式.（1）3x+2＜2x-5解：移项得：3x-2x＜-5-2合并同类项得：x＜-7所以，不等式的解集为x＜-7（2）3（y+2）-1≥8-2（y-1）解：去括号得：3y+6-1≥8-2y+2移项得：3y+2y≥8+2+1-6合并同类项得：5y≥5系数化为1得：y≥1所以，不等式的解集为y≥1（3）2（2x+3）＜5（x+1）解：去括号得：4x+6＜5x+5移项得：4x-5x＜5-6合并同类项得：-x＜-1系数化为1得：x＞1所以，不等式的解集为x＞1（4）3［x-2(x-2)］＞x-3(x-2)解：去括号得：3x-6x+12＞x-3x+6移项得：3x-6x-x+3x＞6-12合并同类项得：-x＞-6系数化为1得：x＜6所以，不等式的解集为x＜64.已知方程ax+12=0的解是x=3，求不等式（a+2）x＜-6的解集．解：由ax+12=0的解是x=3，得a=－4．将a=-4代入不等式（a+2）x＜-6，得（-4+2）x＜-6，所以x＞3．5.已知3x+4≤6+2（x-2），则|x+1|的最小值是多少？解：3x+4≤6+2x-4，3x-2x≤6-4-4，解得x≤-2．∴当x=-2时，|x+1|的最小值为1．6.关于x的一元一次方程2（x-m）=4+x的解是非负数，则m的取值范围是多少？25 解：去括号得2x-2m=4+x，移项得x=2m+4，∵x≥0，∴2m+4≥0，∴m≥-27.m取何值时，关于x的方程的解大于1.解：解这个方程：x-2(6m-1)=6x-3(5m-1)∴x=根据题意，得>1解得m＞2[教学说明]学生先独立演算，再小组讨论，教师通过巡视及时发现问题、解决问题，强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“习题4.3”中第1、2题.【教学后记】第2课时用数轴表示一元一次不等式的解集【教学目标】[知识与技能]1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法；2.掌握不等式解集在数轴上的表示方法，能正确地表示出解集.[过程与方法]通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用，导入对解不等式的讨论.[情感态度]通过类比一元一次方程的解法，从而更好地掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义思想.【教学重点】熟练地解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上.【教学难点】在数轴上正确地表示不等式的解集.【教学过程】一、情景导入，初步认知1.解下列不等式：（1）7（4-x）-2(4-3x)<4x25 （2）2.解一元一次不等式的依据是什么？有哪些步骤？与解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处？3.数可以用数轴上的点来表示，数轴上的点可以表示数，这样数和形就紧密地结合起来了，一元一次不等式的解集能否用数轴上的点来表示呢？下面我们来研究这个问题.[教学说明]既能对以前所学内容复习，又能给本节课的教学打好基础.二、合作探究，探索新知1.如何在数轴上表示不等式3x>6的解集呢？【分析】解得这个不等式的解集为x>2,先在数轴上标出表示2的点A，则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2，因此可以像下图这样表示3x>6的解集x>2.[教学说明]强调：把表示2的点A画成空心圆圈，表示解集不包括2.2.解不等式12-6x≥2(1-2x),并把它的解集在数轴上表示出来.解：12-6x≥2(1-2x)12-6x≥2-4x-6x+4x≥2-12-2x≥-10x≤5原不等式的解集在数轴上表示如图所示：[教学说明]强调：解集x≤5这包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.三、运用新知，深化理解1.教材P142例3.2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）．解：去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60，整理，得-27x≥－54，系数化为1，得x≤2．解集在数轴上表示为：（2）解：x+43-3x-12>1去分母，得2（x+4）-3（3x-1）＞6去括号得2x+8-9x+3＞6整理得-7x+11＞6-7x＞-5系数化为1得x<．解集在数轴上表示为：25 3.分别解不等式2x-3≤5（x-3）和，并比较x、y的大小．解：2x-3≤5（x-3），去括号，得2x-3≤5x-15，移项，得3x≥12，即x≥4；由y-16-y+13>1去分母得，解得y＜-9；所以x＞y．4.已知方程组的解x、y满足x+y＞1，则m的取值范围是什么？解：解得，∵x+y＞1，∴，解得m＞4．5.如果关于x的一元一次方程+1=5的解大于2，则k的取值范围是什么？解：解关于x的一元一次方程+1=5得，x=8+k，∵关于x的一元一次方程+1=5的解大于2，∴8+k＞2，解得k＞-6．6.若关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集是x<，那么关于x的不等式（a-b）x＞b的解集是多少？解：∵（2a-b）x+a-5b＞0的解集是x<，∴，∴，25 解得∴（a-b）x＞b，-2x＞-1，∴x<．7.y取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值.解：根据题意列出不等式：2(y-1)≤10-4(y-3)解这个不等式，得y≤4，解集y≤4中的正整数解是：1，2，3，4.8.已知不等式x+8＞4x+m（m是常数）的解集是x＜3，求m．解：因为x+8＞4x+m，所以x-4x＞m-8，-3x＞m-8，x＜-（m-8）．因为其解集为x＜3，所以-（m-8）=3．解得m=-1．[教学说明]通过做题，掌握解一元一次不等式的一般步骤.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“习题4.3”中第3、5、6、7题.【教学后记】3.4一元一次不等式的应用【教学目标】[知识与技能]1.进一步巩固求一元一次不等式的解集.2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.[过程与方法]通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力.[情感态度]通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心.【教学重点】1.求一元一次不等式的解集.2.用数学知识去解决简单的实际问题.【教学难点】25 能结合具体问题发现并提出数学问题.【教学过程】一、情景导入，初步认知解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.（1）（2）[教学说明]通过对这两个一元一次不等式的求解，让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法.二、思考探究，获取新知1.小华打算星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2小时，下午4点以前回到出发点.如果他们去时的平均速度是3km/h，回时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶？（下图中数字表示出发点到山顶的路程.）【分析】问题中涉及到的数量关系是：去时所花的时间+休息时间+回来所花的时间≤总时间.解：设从出发点到山顶的距离为xkm,则他们去时所花时间为小时，回来所花时间为小时，根据题意事例不等式为：+2+≤9解得：x≤12所以他们最远能登上D山顶.2.某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10％.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？【分析】本题涉及的数量关系是：销售额-成本-税费≥纯利润解：设每套童装的售价是x元，则40·x-90×40-40·x·10％≥900解得：x≥125答：每套童装的售价至少是125元.大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流.[归纳结论]一元一次不等式应用题的一般步骤：第一步：审题，找不等关系；第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；第三步：列不等式；第四步：解不等式；25 第五步：根据实际情况写出答案.[教学说明]通过学生之间的合作、交流，让学生体会不等式在解决实际问题时的作用，并且提高了学生的合作、交流与数学语言的表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P145例2.2.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打(B)A．6折B．7折C．8折D．9折2.毛笔每枝2元，钢笔每枝5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是(D)A．5枝毛笔，2枝钢笔B．4枝毛笔，3枝钢笔C．0枝毛笔，5枝钢笔D．7枝毛笔，1枝钢笔3.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0．5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15．6万元，则至多只能安排4人种甲种蔬菜.4.颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？解：设她还可以买n支笔，根据题意得3n+2.2×2≤21解这个不等式，得n≤因为在这一问题中n只能取正整数，所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔.5.某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个.问以后每天至少加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？【分析】所谓“超额完成任务”，就是前后两个阶段完成的工作总量应大于408个.因为是超额完成.不等关系：前三天的工作量+后12天的工作量＞408个.解：设后面每天加工x个零件，则24×3+（15—3）x＞40812x＞336，x＞28，那么以后每天加工的个数应大于28个，才能超额完成任务.6.某市的一种出租车起步价为7元，起步路程为3km(即开始行驶路程在3km以内都需付7元)，超过3km，每增加1km加价2．4元(不足1km以1km计价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费14．2元，问从甲地到乙地的路程最多是多少?解：设从甲地到乙地的路程为x公里，则由题意，可得7＋2.4（x－3）≤14.2,解得x≤6.所以，从甲地到乙地的路程最多是6km.7.在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？解：设命中x次，脱靶（10-x）次，则5x-(10-x)≥356x≥45因为x为整数，所以x=825 答：至少要中靶8次8.某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农应该种甲、乙两种花木各多少株？解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．由题意得：解得：答：甲、乙两种花木的成本价别为400元和300元.（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株．则有：（760-400）a+（3a+10）×240≥21600解得：a≥由于a为整数，且取最小值所以，a=183×18+10=64（株）答：花农应该种甲、乙两种花木各18株、64株.[教学说明]通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解一元一次不等式，并能利用不等式解决一些实际问题.三、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“习题4.4”中第3、5、6题.【教学后记】3.5一元一次不等式组【教学目标】[知识与技能]【教学目标】1.理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性，培养思维的全面性；2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法.[过程与方法]培养学生独立思考的习惯和合作交流意识.[情感态度]初步认识数学与人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用.【教学重点】正确解一元一次不等式组.25 【教学难点】正确解一元一次不等式组.【教学过程】一、情景导入，初步认知解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：1.2x-1>x+12.x+8<4x-13.2x+3≥x+114.-1<2-x[教学说明]复习一元一次不等式的解法.既复习了旧知识又为新课作了铺垫.这几个练习由浅入深，也可充分调动各层次学生的学习积极性.二、思考探究，获取新知1.探究：一个长方形足球场的宽为70米，如果它的周长大于350米，面积小于7630平方米，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际比赛（用于国际比赛的足球场的长在100米至110米之间，宽在64米至75米之间）.如果设足球场的长为xm,那么它的周长就是2（x+70)m,面积就是70xm2.根据已知条件，我们知道足球场的长必须要使2（x+70)>350和70x<7630这两个不等式同时成立.为此，我们用大括号把上述两个不等式联立起来，得[归纳结论]把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.2.解不等式组解：解这两个不等式得：x>105,x<109此不等式组的解集就是x>105与x<109的公共部分，我们在同一条数轴上把x>105与x<109表示出来为：由图形容易分析它们的公共部分是105<x<109.所以不等式组的解集为：105<x<109.3.探究：设a、b是已知实数，且a＞b，在数轴上表示下列不等式组的解集.（1）（2）（3）（4）解：（1）25 解集为：x>a（2）解集为：x<b（3）解集为：b<x<a（4）无解你能归纳其规律吗？[归纳结论]皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.[教学说明]教师应尽量引导学生自主探究完成，教师最后做出总结.三、运用新知，深化理解1.教材P148例1、P149例2.2.解不等式组解：，∵解不等式①得：x>，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为：＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：，3.不等式组的解集为（A）A．x>B．x<-1C．-1<x<D．x>-4.若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（D)A.x≤2B.x>1C.1≤x<2D.1<x≤225 5.解不等式组，并指出它的所有非负整数解．解：∵解不等式①得：x＞-2，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集为-2＜x≤，∴不等式组的非负整数解为0，1，2．6.若不等式组2x-b≥0x+a≤0的解集为3≤x≤4，证明：不等式ax+b＜0的解集为x>．证明：∵解不等式①得：x≥，解不等式②得：x≤-a，∴不等式组的解集为：≤x≤-a，∵不等式组2x-b≥0x+a≤0的解集为3≤x≤4，∴=3，-a=4，b=6，a=-4，∴-4x+6＜0，x＞，故解集为：x＞7.解不等式组，并把解集表示在数轴上.解：（1）解不等式①，得x>2解不等式②，得x>4把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则原不等式的解集为x>425 （2）解不等式①，得x≥8解不等式②，得x<把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：则原不等式无解.8.已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值．（1）求a的范围；（2）化简|8a+11|-|10a+1|．解：（1）根据题意，得解不等式①得,解不等式②得a＜5，解不等式③得，①③的解集在数轴上表示如图．∴上面的不等式组的解集是（2）∵∴8a+11＞0，10a+1＜0．∴|8a+11|-|10a+1|＝8a+11-［-(10a+1)］＝8a+11+10a+1＝18a+12．9.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得解不等式组，得4＜x≤6因为x是整数，所以x=5,6，则2x+3为13，15.25 因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有6个小朋友时，玩具数为15个.[教学说明]学生在练习过程中，借助数轴表示解集，从而使学生更直观地掌握不等式组的解集.本组题目有一定的难度，教师应作适当的引导.三、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“习题4.5”中第1、2、3、4题.【教学后记】章末复习【教学目标】[知识与技能]1.要求学生通过复习熟练掌握不等式和不等式解集的概念.2.掌握求一元一次不等式及不等式组的解集.3.能较熟练地应用一元一次不等式和一元一次不等式组来解决简单的实际问题.[过程与方法]通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解.[情感态度]在练习过程中让学生认识到数形结合的思想，从而让他们感觉到数学解题的简洁美.【教学重点】一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法.【教学难点】利用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.【教学过程】一、知识结构[教学说明]总结学生的发言，并将本章的内容作一次总结，指出本章重难点，鼓励学生作出知识结构图.二、释疑解惑，加深理解1.不等式的概念：我们把用不等号（>，<，≥，≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.25 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．3.一元一次不等式的概念：含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.求一个不等式的解集的过程称为解不等式.4.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1.5.一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：第一步：审题，找不等关系；第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；第三步：列不等式；第四步：解不等式；第五步：根据实际情况写出答案.6.一元一次不等式组的概念：把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.7.求不等式组解集的规律：皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.[教学说明]通过引导学生复习总结本章概念和知识点，进一步加深学生对本章知识的理解.三、典例精析，复习新知1.下列不等式中，是一元一次不等式的有（B）个.A.1B.2C.3D.42.不等式ax+b>0（a<0）的解集是（B）A.x>－B.x<－C.x>D.x<3.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（B）A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤14.不等式组的解集在数轴上表示正确是的是（D）5.若关于x的不等式的整数解共有4个,则m的取值范围是(D)A.6<m<7B.6≤m<7C.6≤m≤7D.6<m≤725 6.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.解：2（2x－1）－3（5x＋1）≤6.4x－2－15x－3≤6.4x－15x≤6＋2＋3.－11x≤11.x≥－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:7.解不等式组：解：解不等式①，得x＜5．解不等式②，得x≥-2．因此，原不等式组的解集为-2≤x＜5．[教学说明]通过例题学习让学生明晰解一元一次不等式（组）的方法，提高解决实际问题的能力，使学生对本章知识内容有进一步的理解和掌握.四、复习训练，巩固提高1.若不等式3x－m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是_______答案：9≤m<12（解不等式得x≤，其正整数解是1，2，3，说明3≤m3<4，所以9≤m<12.）2.若代数式的值不大于代数式5k－1的值，则k的取值范围是_______.答案：k≥(由题意得≤5k－1，解此不等式即可.)3.如果不等式4x－3a>－1与不等式2（x－1）+3>5的解集相同，请确定a的值解：解4x－3a>－1得x>；解2（x－1）+3>5得x>2，由于两个不等式的解集相同，所以有=2，解得a=3.4.关于x的一元一次方程4x+m+1=3x－1的解是负数，求m的取值范围.解：解此方程得x=－2－m，根据方程的解是负数，可得－2－m<0，解得m>－2.25 5.解不等式组并写出该不等式组的整数解解：解不等式-3（x-2）≥4-x得：x≤1；解不等式<x-1得：x＞-2；所以该不等式组的解集为：-2＜x≤1，所以该不等式组的整数解是-1，0，1．6.一般地，如果，那么a+c_____b+d．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？证明：∵a>b，∴a+c>b+c．又∵c>d，∴b+c>b+d，∴a+c>b+d．7.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元.后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，请你帮忙算一算，该商品至多可以打几折？解：设该商品可以打x折，则有1200·－800≥800×5%解得x≥7.答：该商品至多可以打7折.8.郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?解：(1)设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x－8)元．根据题意得：3x+2(x－8)＝124解得：x＝28．∴x－8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）设购买书包y个，则购买词典(40－y)本．根据题意得：解得：10≤y≤12.5因为y取整数，所以y的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．9.整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：25 （1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．则根据题意列方程组得：解之得：5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元）6×3=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元.（2）设购进甲药品x箱（x为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组得：解之得：≤x≤60则x可取：58，59，60，此时100-x的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；[教学说明]要求每个学生在进行独立思考时，教师要关注学困生并给予帮助.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]布置作业:教材“复习题”中第5、7、8、14题.【教学后记】25