初中数学新湘教版七年级下册第5章 轴对称与旋转教案2025春

第5章轴对称与旋转5.1轴对称5.1.1轴对称图形【教学目标】1.通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称图形，会找出简单的对称图形的对称轴.2.通过大量的实例初步认识轴对称图形，能识别简单的轴对称图形.3.通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体验轴对称在现实生活中的广泛应用，体会数学来源于生活.【教学重点】正确理解轴对称图形的概念.【教学难点】正确理解轴对称图形的概念.【教学过程】一、情景导入，初步认知从各小组收集的图片中选择一些有代表性的，用投影仪演示.使学生能够形象直观地感受图形的对称.看完图片以后教师总结：自远古以来，对称形式被认为是和谐、美丽并且是真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.请学生自己讨论，在生活中你见过那些对称图形？[教学说明]通过观察图片，使学生能够形象直观地感受图形的对称，使学生明白对称在美学和自然界中的作用.二、思考探究，获取新知1.观察教材第113页图5-1，你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述.[归纳结论]如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴.理解轴对称图形应注意三点：(1)轴对称图形是一个图形；(2)对折；(3)重合.2.哪些图形是轴对称图形？教师可以启发学生：(1)用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形；(2)被折叠的那条直线就是它的对称轴.3.动脑筋：下列图像各有几条对称轴？15 [教学说明]通过感官加深对轴对称图形和对称轴的理解.三、运用新知，深化理解1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是(A)2.如图所示，下面的5个英文字母中是轴对称图形的有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个3.如图所示的图案中，是轴对称图形的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由.解：(3)比较独特，它有无数条对称轴，其他图形只有两条对称轴.5.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴.解：(1)2条(2)4条(3)5条(4)3条；画图略.6.你认识世界上各国的国旗吗？如图所示，观察下面的一些国家的国旗，是轴对称图形的有(甲、乙、丙、戊)7.如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.15 解：②；不是轴对称图形.[教学说明]进行适当的由浅入深，由感性到理性的一些练习，老师进行一些必要的讲解，打好学生的知识技能和运算能力的基础.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]1.布置作业:教材第117页“习题5.1”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习【教学后记】5.1.2轴对称变换【教学目标】1.学生通过观赏多媒体课件，掌握轴对称变换的有关概念.2.通过本课学习，学生能用变换的思想来理解生活中的相关现象，并能用变换的思想来加以解释.3.通过学生操作轴对称变换，师生共同总结其性质并应用.4.培养学生的作图能力及知识的应用能力.【教学重点】轴反射和两个图形成轴对称的理解.【教学难点】轴反射和两个图形成轴对称的理解.【教学过程】一、情景导入，初步认知观察：在一张纸上盖上一个印，趁油墨未干之时，将纸张对折得到一个图形，随后打开纸张展平，观察两图形会有怎样的现象？我们上面探讨的是一个图形具有的特点.这里是两个图形关于直线l对折后重合，我们又把它叫做什么呢？[教学说明]通过情景导入，提高学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.两图形沿着某直线对折后能互相重合，就叫做该图形关于直线作了轴对称变换，也称轴反射.如上图，(a)叫做原像，图形(b)叫做图形(a)在这个轴反射下的像.2.如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.原像与像中能够互相重合的两个点，其中一个叫做另外一个关于这条直线的对应点.如上图，点A′是A的对应点.15 3.观察上面的两个图形，它们的大小、形状发生变化了吗？[归纳结论]轴对称变换不改变图形的形状和大小.轴反射后，长度、角度和面积等都不改变.4.探究如图，三角形ABC和三角形A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对应点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？(1)设AA′交对称轴MN于点P，将三角形ABC和三角形A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？于是有PA＝___，∠MPA＝____＝____度.(2)对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？(3)那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？[归纳结论]成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.5.如图，已知三角形ABC和直线l，请你作出三角形ABC关于直线l对称的图形.作法：1.过点A作直线l的垂线，垂足为点O，延长AO至点A′，使AO=A′O,点A′就是点A关于直线l的对称点；2.类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B′、C′.3.连接A′B′、B′C′、C′A′.总结：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.找点(确定图形中的一些特殊点)；2.画点(画出特殊点关于已知直线的对称点)；3.连线(连接对称点).[教学说明]通过例题讲解，引导学生思考，加深印象.三、运用新知，深化理解1.见教材P117例2.2.下列说法错误的是(C)A.等边三角形是轴对称图形B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分3.设A、B两点关于直线MN轴对称,则直线MN垂直平分线段AB.4.将一张矩形纸对折，用圆规针尖扎出一个“∑”符号，然后将纸打开后铺平.15 (1)图中两个“∑”关于折痕l____.(2)在扎出∑的过程中，点A与____重合，点B与____重合，点C与C′重合；线段AB与____重合，线段BC与____重合，∠OAB与____重合，∠ABC与____重合.∴线段AB___线段A′B′，线段BC___线段B′C′，∠OAB___∠O′A′B′，∠ABC___∠A′B′C′.(以上四空填“=”或“≠”)答案：(1)对称(2)A′B′A′B′B′C′∠O′A′B′∠A′B′C′====5.在下列方格纸上画出关于直线l对称的图形.6.如图，已知三角形ABC和直线MN.求作：三角形A′B′C′，使三角形A′B′C′和三角形ABC关于直线MN对称.解：7.如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，求三角形PMN的周长.解：∵点P1是点P关于OA的对称点，∴OA垂直平分PP1，则P1M=PM，同样道理P2N=PN，这样三角形PMN的周长PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=5cm.15 8.如图，三角形ABC和三角形A′B′C′关于直线m对称.(1)结合图形指出对应点.(2)连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？(3)延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流.解：(1)A和A′，B和B′，C和C′是对应点；(2)m垂直平分线段AA′；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.[教学说明]通过练习，检测学生的掌握情况.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]1.布置作业:教材第118页“习题5.1”中第3、5题.2.完成同步练习册中本课时的练习【教学后记】5.2旋转【教学目标】1.通过具体实例认识旋转，了解旋转的定义,能说出旋转中心、旋转角.掌握旋转的性质.2.经历探索图形的旋转过程，发展几何直觉，领悟变换的数学思想方法.3.经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，感知数学美，体会数学学习的乐趣.【教学重点】旋转的性质.【教学难点】旋转的性质及其应用.【教学过程】一、情景导入，初步认知1.向学生展示有关的图片：(1)时钟上的秒针在不停的转动；(并介绍顺时针方向和逆时针方向)(2)飞速转动的电风扇叶片；(3)汽车上的雨刮器.15 2.演示俄罗斯方块游戏[教学说明]观察图片、演示俄罗斯方块游戏——构成游戏的模块均是由一个小正方形通过平移变换而来.学生通过玩游戏，发现除了平移运动之外还有旋转运动.引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例，引出课题：“生活中的旋转”.二、思考探究，获取新知1.我们观察了上面的三幅图片，你能说出它们在转动过程中有什么共同特征吗？(1)钟表上的秒针是怎样走动的呢？(2)电风扇启动后，它的叶片是怎样运动的呢？(3)汽车上的雨刮器是怎样运动的呢？像前面三个例子那样，将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点O旋转同一个角a，得到图形F′，图形的这种变换就叫做旋转.这个定点O叫做旋转中心.角a叫做旋转角.原位置的图形F叫做原像，新位置的图形F′叫做原图形F在旋转下的像.图形F上的每一个点P与它在旋转下的像点P′叫做在旋转下的对应点.显然前面的三种图像的变换都是旋转，可让学生分别找出它们的旋转中心.促进学生理解旋转的相关概念.2.将三角形ABC以O为旋转中心旋转60°得到三角形A′B′C′.P点在这个旋转下的像是P′点.那么OA′与OA相等吗？∠POP′和∠AOA′相等吗？度数是多少？[归纳结论]一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.3.在上面的旋转中，三角形ABC与三角形A′B′C′的大小，形状发生了变化没有？[归纳结论]旋转不改变图形的形状和大小.[教学说明]引导学生观察图形，总结旋转的相关性质.三、运用新知，深化理解1.见教材P121例题.2.如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF.15 在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么?(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？(3)旋转角是什么？(4)AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？(5)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？解：(1)O(2)D、E(3)∠BOE和∠AOD(4)相等；相等(5)相等3.下列关于旋转和平移的说法正确的是(D)A.旋转使图形的形状发生改变B.由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C.平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D.对应点到旋转中心距离相等4.如图把正方形绕着点O旋转，至少要旋转90°度后才能与原来的图形重合.5.如图所示，三角形ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，三角形AEC按顺时针方向转动一个角后成三角形AFB.(1)图所示中哪一点是旋转中心？(2)旋转了多少度？(3)指出图中的对应点、对应线段和对应角.解：(1)A;(2)90°;(3)A的对应点是A,E的对应点为F,C的对应点是B;AC的对应线段AB,AE的对应线段是AF,EC的对应线段是FB;∠1的对应角为∠2,∠3的对应角为∠F,∠C的对应角为∠4.6.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，∠BAF=70°，且AE=2，三角形ABF是三角形ADE的旋转图形.(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AF的长度是多少？解：(1)旋转中心是A点.(2)∵三角形ABF是由三角形ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，∴∠DAB=90°就是旋转角.(3)AF=AE=2.7.如图：P是等边三角形ABC内的一点，将三角形ABP旋转分别得到三角形BQC和三角形ACR，(1)分别指出旋转中心、旋转方向和旋转角度.(2)三角形ACR是否可以直接通过旋转三角形BQC得到？15 解：略.[教学说明]让学生通过观察图形的特点，发现图形的旋转关系，巩固旋转的性质.四、师生互动,课堂小结引导学生从以下几个方面进行小结：(1)这节课你学到了什么?(2)对自己的学习情况进行评价.[课后作业]1.布置作业:教材第121页“习题5.2”中第3、4题.2.完成同步练习册中本课时的练习【教学后记】5.3图形变换的简单应用【教学目标】1.会识别图案中的基础图形,通过对图形的识别与欣赏,进一步加深图形的平移、旋转和轴反射概念与性质的理解.2.能将一些基础图形经过平移、旋转和轴反射等变换设计一些美丽的图案.3.通过图形的三种变换提高学生的应用意识.4.欣赏轴对称、平移、旋转等变换在现实生活中的应用.【教学重点】运用图形变换设计图案.【教学难点】运用图形变换设计图案.【教学过程】一、情景导入，初步认知1.旋转具有哪些性质?2.图形旋转和图形平移有哪些相同性质?[教学说明]复习相关知识，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.请观察下图.(1)说说它们由哪些基本图形组成.(2)图中运用了哪些图形变换？为什么？在图中用虚线把基础图形圈起来.15 (学生可能回答：平移变换、旋转变换、轴对称变换等等，教师重点提示抓住平移变换这一要点进行分析)如果将上面三个图案的变换方式互换,看看能不能变成美丽的图案,为什么?2.做一做.请利用简单图形的图形变换，设计一幅图案，并与同伴交流.[教学说明]观察与动手操作是学习数学的基本能力.三、运用新知，深化理解1.见教材P124例题.2.下图的4个图案中，是由基本图形经过旋转得到的是___(只写出图案序号即可).解析：图案①、图案②是由基本图形经过平移得到的；图案③、图案④是由基本图形经过旋转得到的.答案：③④.3.在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是(D)解析：分清旋转和轴对称的区别.4.起重机将重物垂直提起，这可以看作是数学上的(B)A.轴对称B.平移C.旋转D.变形5.在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是(C)6.下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程.这个图形可以按照以下步骤形成:①以一个三角形的一条边为对称轴作与它对称的图形;②将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180°;③分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形.7.观察下图，分别说出它们由哪些基本图形组成，运用了哪些图形变换？15 8.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BE=DE.已知AC=10cm，BD=8cm，求阴影部分的面积.解：阴影部分的面积是20平方厘米.[教学说明]对本节知识进行巩固练习，使学生在发展空间概念的同时能够灵活运用平移、旋转轴对称的组合进行一定的图案设计.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.[课后作业]1.布置作业:教材第125页“习题5.3”中第1、4、5题.2.完成同步练习册中本课时的练习【教学后记】章末复习【教学目标】1.梳理全章内容，建立知识体系；掌握轴对称图形、轴对称、旋转的性质并灵活应用.2.经历复习，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称、旋转的直观体验和理解，培养学生有条理的思考和语言表达能力.3.让学生进一步了解轴对称、旋转在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣.【教学重点】会找出简单的轴对称图形，轴对称、旋转的图形，掌握它们的性质并应用.【教学难点】轴对称图形、轴对称、旋转的有关性质及其在现实生活中的应用.【教学过程】一、知识结构[教学说明]引导学生自主发现各知识点之间的联系，形成较完整的认知结构.二、释疑解惑，加深理解1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴.15 两图形沿着某直线对折后能重合，就叫做图形关于该直线做了轴对称变换，也叫轴反射.2.轴对称：如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也叫两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.原像与像中能够互相重合的两个点，其中一个叫做另外一个关于这条直线的对应点.3.轴对称的性质：①轴对称变换不改变图形的形状和大小.②轴反射后，长度、角度和面积等都不改变.③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.④如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.4.作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚：①找点(确定图形中的一些特殊点)；②画点(画出特殊点关于已知直线的对称点)；③连线(连接对称点).5.旋转：将一个平面图形上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角，得到新图形，图形的这种变换就叫做旋转.这个定点叫做旋转中心.这个角叫做旋转角.原位置的图形叫做原像，新位置的图形F叫做原图形在旋转下的像.原像上的每一个点P与它在旋转下的像点P′叫做在旋转下的对应点.6.旋转的性质：①旋转不改变图形的形状和大小.②一个图形和它经过旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.[教学说明]学生通过梳理知识体系，不仅能提高分析问题的能力，而且能够发现自身的不足，通过查漏补缺，完善知识结构.三、典例精析，复习新知例1如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是(B)例2如图，把三角形ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到三角形A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是____.答案：55°例3下列图案中，含有旋转变换的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案：A例4下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有()①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角⑥平行四边形A.5个B.2个C.3个D.4个15 答案：D例5下列的说法中,正确的是(C)A.能重合的图形一定是轴对称图形B.中心对称图形一定是能重合的图形C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心D.两个能重合的三角形一定关于某一点成中心对称例6如图，已知三角形ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°,B为AE上一点，三角形ABC经过旋转到达三角形EDC的位置，问：(1)旋转中心是哪个点？旋转了多少度？(2)若已知∠ACB=20°，求∠CDE、∠DEB的度数.解：(1)旋转中心是点C，旋转了90°.(2)∵三角形ACE是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠CEA=45°，∵三角形ABC经过旋转到达三角形EDC的位置，∴三角形EDC与三角形ABC全等，∴∠ECD=∠ACB=20°,∠CED=∠CAB=45°，∴∠DEB=∠CED+∠CEA=90°，在三角形EDC中，∠ECD=20°，∠CED=45°，∴∠CDE=180°-20°-45°=115°.[教学说明]让学生在思考问题的过程中体会轴对称与旋转的特点和性质，这有助于加深对旧知识的理解，使掌握的知识与熟练的技能有机结合.四、复习训练，巩固提高1.下列标志中，是轴对称的有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个2.如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕点B顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么这个角度等于(A)A.120°B.90°C.60°D.30°3.如图所示,三角形ABC平移后得到三角形DEF,已知∠B=35°,∠A=85°,则∠DFE=(A)A.60°B.35°C.120°D.85°4.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将三角形BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到三角形DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为(B)15 A.10°B.15°C.20°D.25°5.三角形ABC和三角形A′B′C′关于点O对称，下列结论不正确的是(C)A.OA=A′OB.AB=A′B′C.CO=BOD.∠BAC=∠B′A′C′6.如图，已知P是正方形ABCD内一点，以B为旋转中心，把三角形PBC沿逆时针方向旋转90°得到三角形P′BA，连结PP′，求∠P′PB的度数.答案：∠P′PB=45°7.如图，在正方形网格上有一个三角形ABC.(1)画出三角形ABC关于直线MN的对称图形(不写画法)；(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求三角形ABC的面积.解：(1)如下图所示.我们利用图中格点，可以直接确定出三角形ABC中各顶点的对称点的位置，从而得到三角形ABC关于直线MN的对称图形三角形A′B′C′.(2)S三角形ABC=9.点拨：利用和差法.[教学说明]这些问题比较有挑战性、趣味性，可以让学生综合、灵活运用所学的知识解决问题.及时的反馈不仅仅检验了学生的掌握程度，而且易于发现学生的易错点，便于教师及时调整教学策略，对知识进行强调巩固.五、师生互动，课堂小结通过本节课的复习，你有什么收获？还存在什么疑惑？[课后作业]1.布置作业:教材第129页“复习题5”中第1、5、7、10、11题.2.完成同步练习册中本课时的练习15 【教学后记】15