高二数学开学摸底考（湘教版2019，选择性必修一全册）（全解全析）

2025届高二数学下学期开学摸底考试卷（湘教版2019）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。°1．若经过Am,2，B1,2m-1两点的直线的倾斜角为135，则m=（）4A．-4B．-2C．D．23【答案】D2m--12【解析】由题意斜率k==-1，解得：m=2，1-m故选：D2．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（）A．36种B．60种C．75种D．85种【答案】C【解析】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法，故共有355´´=75种选课方法.故选：C.223．已知圆2x+2y+3x-4y-l=0与x轴相切，则l=（）19A．2B．-C．-D．128【答案】C2æ3ö2l2525æ3ö【解析】由圆的方程整理可得圆çx+÷+(y-1)=+，需满足l>-，则圆心ç-,1÷，半径è4ø2168è4øl25l259r=+，由圆与x轴相切，则+=1，解得：l=-.故选：C2162168 1214．数列an满足a1=2,a2=1并且=-(n³2)，则数列an的第100项为（）aaan-1nn+11111A．B．C．D．100501005022【答案】B121112ì1ü11【解析】Q=-(n³2)，+=，则íý为等差数列，首项为=，第2项为an-1anan+1an+1an-1anîanþa121=1，a21111公差d=，则有=+99d=50，a100=．故选：B．2a100a15022225．已知圆Ox1:+y=1与圆O2:x+y-2x+2y+F=0(F<2)相交所得的公共弦长为2，则圆O2的半径r=（）A．1B．3C．5或1D．5【答案】C【解析】两圆相减得公共弦方程为：2x-2yF--=10，2--F1æ2öO的圆心到公共弦的距离2根据题意可知，圆1d==1-ç÷，解得：F=1或F=-3，44+çè2÷ø22当F=1时，圆O2的标准方程为：x-1+y+1=1,r=1，22当F=-3时，圆O2的标准方程为：x-1+y+1=5,r=5，所以r=1或5.故选：C6．已知函数fx()及其导数fx¢()，若存在x0使得fx0=f¢x0，则称x0是fx()的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（）2xA．fx()=xB．f(x)=lnxC．fx()sin=xD．fx()=2【答案】D2【解析】对于A：f¢x=2x，由x=2x，解得x=0或x=2，所以fx存在“巧值点”；1对于B：f¢x=，作函数fx与f¢x的图象，由图可知函数fx与f¢x有交点，x则方程fx=f¢x有解，所以fx存在“巧值点”； 对于C：f¢x=cosx，由sinx=cosx，得tanx=1，π解得x=+kkπ,ÎZ，所以fx存在“巧值点”；4对于D：f¢x=2ln2x，因为2x>0，所以2x2ln2x=无实数解，所以fx不存在“巧值点”，故选D.22xy7．如图，已知双曲线C:-=1a>0的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，2aa且直线FM2与y轴的正半轴交于A点，VAMF1的内切圆在边MF1上的切点为N，若MN=1，则双曲线C的离心率为（）5A．B．5C．2D．22【答案】D【解析】设VAMF1的内切圆在边AF1，AM的切点分别为E，G，则AE=AG，EF1=FN1，MN=MG，又MF1-MF2=2a，则EF1+MN-MF2=2a，由对称性可知AF1=AF2，则EF1=GF2=MG+MF2=MN+MF2，所以EF1+MN-MF2=MN+MF2+MN-MF2=2a，化简可得MN=a，22则a=1，双曲线方程为x-y=1，221+1所以双曲线C的离心率为=2，故选D.1 x8．已知函数fx=x+2e-m有两个零点，则实数m的取值范围为（）æ1öæ1öA．ç-3,0÷B．ç-3,+¥÷C．0,+¥D．-¥,0èeøèeø【答案】Axx【解析】函数fx=x+2e-m有两个零点等价于直线y=m与函数gx=x+2e的图象有两个交点．x对gx求导得gx¢=x+3e×，令gx¢=0，解得x=-3，则当x<-3时，gx¢<0，gx单调递减且gx<0，当x>-3时，gx¢>0，gx单调递增，1则gx=g-3=-，作出函数gx的大致图象和直线y=m，如图所示：min3eæ1ö故m的取值范围为ç-3,0÷．èeø故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设数列an的前n项和为Sn，a1=6，an+1+=2an，则（）A．an是等比数列B．an是单调递增数列C．an是单调递减数列D．Sn的最大值为12【答案】CD【解析】根据题意，数列an中，an+1+=2an，则有an+1-an=-2，对于A，an是等差数列，A错误；对于B，an+1-an=-2，是公差为负的等差数列，an是单调递减数列，B错误；对于C，由B的结论，C正确； 对于D，an是等差数列，a1=6，公差为d=-2，则an=a1+n-1d=-62n-1=-82n，令an=-82n³0，可得n£4，则n=3或4时，Sn最大，且Sn的最大值为S3=++=64212，D正确.故选：CD．310．关于函数fx=x-3x+1，下列说法正确的是（）A．fx有两个极值点B．fx的图象关于0,1-对称oC．fx有三个零点D．2sin10是fx的一个零点【答案】ACD33【解析】对于B选项，函数fx的定义域为R，f-x=-x-×-3x+=-1x+3x+1，所以，fx+f-x=2，故函数fx的图象关于0,1对称，故B错误；32对于函数fx=x-3x+1，求导可得：f¢x=3x-=33x-1x+1，对于ACD选项，令f¢x=0，解得x=±1，可得下表：x-¥,1--1-1,111,+¥f¢x+0-0+fxZ极大值]极小值Z则fx=f-1=3，fx=f1=-1，极大极小所以，函数fx有两个极值点，故A正确，作出函数fx的图象如下图所示：由图可知，函数fx有三个零点，故C正确，3oooooof2sin10=2sin10-3´2sin10+14sin101cos20=--6sin10+1ooooooooo=-2sin10-4sin10cos20+2sin30=-2sin10-4sin10cos20+2sin10+20ooooooooo=-2sin10-2sin10cos20+2sin20cos10=2sin20cos10-2sin101cos20+ ooo2ooooo=2sin20cos10-2sin102cos10×=2sin20cos10-2sin20cos10=0，故D正确.故选：ACD.2111．已知抛物线x=y的焦点为F，Mxy1,1,Nxy2,2是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）2æ1öA．点F的坐标为ç,0÷è8ø1B．若直线MN过点F，则xx12=-16uuuruuur1C．若MF=lNF，则|MN|最小值为435D．若|MF||+NF|=，则线段MN的中点P到x轴的距离为28【答案】BDæ1ö【解析】对于A，由抛物线方程知其焦点在y轴上，焦点为Fç0,÷，故A错误；è8ø1对于B，依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y=kx+，8ì21x=yïï2211由í，消去y整理得x-kx-=0，ïy=kx+1216ïî811则xx12=-，x1+x2=k，故B正确；162uuuruuur对于C，若MF=lNF，则直线MN过焦点，11111121所以MN=MF+NF=y1++y2+=kx1++kx2++=k+，88884221当k=0时，MN=，故C错误；min2113对于D，因为MF+NF=y1++y2+=，8825y+y512则y1+y2=，即P点纵坐标为=，4285所以P到x轴的距离为，故D正确.8故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。565612．已知组合数C,Cmm，则关于m的不等式Cm>Cm的解集为． 【答案】6,7,8,9,1056【解析】不等式Cm>Cm，mm-1m-2m-3m-4mm-1m-2m-3m-4m-5即不等式>，54321´´´´654321´´´´´解得m<11，又因m³6且m为正整数，所以原不等式的解集为6,7,8,9,10．2213．已知圆C:(x-1)+(y-3)=25及直线lax:+-y2a-=10，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为.1【答案】y=x2ìx-=20ìx=2【解析】由lax:+-y2a-=10可得ax-2+-=y10，令í，解得í，îy-=10îy=122故直线l过定点A2,1，又21-+13-=<525，故点A2,1在圆C内，22由圆C:(x-1)+(y-3)=25可知圆心为C1,3，半径为5，31-则kAC==-2，则当直线l与直线AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，12-11即有-×-a2=-1，解得a=-，即直线-x++-=y110，221整理得y=x.2214．设函数fx()=x-(a+2)xa+ln(xaÎR)，若fx()1³恒成立，求a的取值范围.【答案】(-¥-,2]2xa-x-1【解析】fx¢()=,x>0，x由题意fx()1³恒成立，则fx()min³1，①当a£0时，令fx¢()>0，得x>1；令fx¢()<0，得0<x<1，所以fx()在0,1上单调递减，在1,+¥上单调递增，所以fx()min=f(1)=--³a11，解得a£-2②当a>0时，存在f(1)=--<a10，不满足题意，综上，实数a的取值范围是(-¥-,2].四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。næ21ö15．（本小题满分13分）已知在ç3x+÷的二项展开式中.èxø 7(1)若n=6，求展开式中含x项的系数；(2)若展开式含有常数项，求最小的正整数n的值.r5r26-ræ1ör6-r12-2r【解】（1）当n=6时，展开式的通项公式为T=C3xç÷=C3×x，r+166èxø5724令12-r=7，解得r=2，所以展开式中含x项的系数为C36×=1215.2r5r2nr-æ1örnr-2n-2r（2）展开式的通项公式为T=C3xç÷=C3×x，r+1nnèxø542n-r=0，解得r=n，因为nN*令Î，25所以当n=5时，r取得最小值4，此时展开式含有常数项，所以最小的正整数n的值为5.16．（本小题满分15分）在直角坐标系xOy中，已知一条直线lmx1:+-y2m-=30恒过定点A．(1)若直线l1不经过第二象限，求m取值范围．(2)已知以A为圆心的圆A与直线l2:x+-=y10相切，求圆A的标准方程．【解】（1）lmx1:+-y2m-=30，即l1:y=-mx+2m+3，因为直线l1不经过第二象限，若m=0，则l1:y=3，不符合题意，舍去；ì-m>03若m¹0，则í，解得m£-.î2m+£302（2）lmx1:+-y2m-=30，即lmx1:-2+-=y30，令x=2，则y=3，231+-则圆心A2,3，若圆A与直线l2:x+-=y10相切，则半径r==22，222则圆方程为(x-2)+(y-3)=8.17．（本小题满分15分）已知等差数列an中，a2=3，a7=8．(1)求数列an的通项公式；1(2)设bn=，求数列bn的前n项和Tn．aann+1a-a83-a72【解】（1）由题意可知，等差数列n的公差为d===1，72-5所以，an=a2+n-2d=+-=+3n2n1.1111（2）因为bn===-，aann+1n+1n+2n+1n+2æ11öæ11öæ11öæ11ö11n因此，Tn=ç-÷ç+-÷ç+-÷+L+ç-÷=-=.è23øè34øè45øèn+1n+2ø2n+22n+2 22xyæ3ö18．（本小题满分17分）已知椭圆C：2+2=1a>>b0的左、右顶点分别为A1，A2，点Mç1,÷在椭圆abè2øuuuuruuuur3C上，且MAMA1×2=-．4(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1+k2=0时，求VMPQ的面积．æ3ö【解】（1）由题意知A1-a,0,Aa2,0，又Mç1,÷，è2øuuuuræ3öuuuuræ3ö则MA1=---ça1,÷,MA2=ça--1,÷，è2øè2ø2æ3ö3所以--a1a-1+-ç÷=-，解得a=2（负值舍去），è2ø4æ3ö19由Mç1,÷在椭圆C上及a=2得+=1，解得b2=3，2è2ø44b22xy所以椭圆C的方程为+=1；43（2）由（1）知，右焦点为F(1,0)，据题意设直线l的方程为x=my+1m¹0,Pmy1+1,y1,Qmy2+1,y2，33y-y-122y-3222y-3则k==1,k==2，12my2mymy2my11222y-32y-312于是由k1+k2=0得+=0，化简得4yy12=3y1+y2（*）2my2my12ìx=my+1,22由í22消去x整理得3m+4y+6my-=90，î3x+4y-12=0222Δ=(6)m+363m+4=144m+1>0，6m9由根与系数的关系得：y1+y2=-2,yy12=-2，3m+43m+418m36代入（*）式得：-=-，解得m=2，223m+43m+4直线l的方程为x-2y-=10，239则Δ=1442+1=720,y1+y2=-,yy12=-，4162572015由求根公式与弦长公式得：PQ=12+y-y==，12164 312-´-1设点M到直线l的距离为d，则235，d==1(2)+-2511153595S=PQd=´´=.VMPQ2245819．（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，沿着平行于x轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到x轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点xy,映射到点xkyy+,的操作（k为固定的参数），这种变换在数学上称为水平错切．设fx是定义在R上的函数，记gx=fxmfx+m>0，则称gx是fx的“m-错切函数”．-x(1)设函数fx=+xe的“m-错切函数”为gx，①求fx的最小值；②若fx与gx的值域相同，求正数m的取值范围．(2)已知fx是R上的增函数，gx是fx的“m-错切函数”，证明：x0是fx的零点当且仅当x0是gx的零点．-x-x【解】（1）①因为函数fx=+xe的定义域为，f¢x=1e-，'由f(x)<0可得x<0，由f(x)>0可得x>0，所以，函数fx的减区间为-¥,0，增区间为(0,+¥)，所以，函数fx的最小值为f0=1；②由①可知，函数fx的值域为1,+¥，由题意可知，函数gx的值域为1,+¥，因为m>0，且gx=fxmfx+m>0，-x-x令u=+xmfx=+xmx+e=m+1xm+e，x-xm+1e-mx=mx=mu¢=m+1-me=，令u¢=0，可得e，解得ln，xm+1m+1em-x当x<ln时，u¢<0，此时函数u=m+1xm+e单调递减，m+1m-x当x>ln时，u¢>0，此时函数u=m+1xm+e单调递增，m+1 mm-lnmæmöu=m+1ln+mem+1=m+1ln+m+1=m+11lnç+÷所以，min，m+1m+1èm+1ø-xéæmöö所以，函数u=m+1xm+e的值域为êm+11lnç+÷,+¥÷，ëèm+1øø要使得函数gx=fxmfx+m>0的值域为1,+¥，éæmöö则0,+¥Íêm+11lnç+÷,+¥÷，ëèm+1øøìm>0æmömï1所以，m+11lnç+÷£0，即1ln+£0，可得ím1，解得0<m£，èm+1øm+1ï£e1-îm+1eæ1ù因此，实数m的取值范围是ç0,ú.èe1-û（2）“Þ”：若x0为函数fx的零点，则fx0=0，所以，gx0=fx0+mfx0=fx0=0，故x0为函数gx的零点；“Ü”：若x0为函数gx的零点，则gx0=fx0+mfx0=0，所以，函数fx存在零点，设函数fx的零点为t，则ft=0，因为函数fx在R上为增函数，且m>0，函数y=mfx在R上为增函数，又因为函数y=x在R上为增函数，则内层函数u=+xmfx在R上为增函数，由复合函数法可知，函数gx=fxmfx+在R上为增函数，且gt=ft+mft=ft=0，又因为g(x0)=0，所以，t=x0，即fx0=0，所以，x0为函数fx的零点.因此，x0是fx的零点当且仅当x0是gx的零点．