高二数学开学摸底考（新高考地区通用）02（全解全析）

2024-2025学年高二数学下学期开学摸底考02（新高考地区通用）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21．抛物线y=16x的焦点坐标为（）æ1öæ1öA．0,4B．4,0C．ç0,÷D．ç,0÷è64øè64ø【答案】C221æ1ö【解析】由y=16x，即x=y，所以焦点坐标为ç0,÷，故选C.16è64ø2．已知两条直线l1:3x-2y+=10和l2:ax+2y+=10相互垂直，则a=（）44A．2B．3C．D．-33【答案】C【解析】∵直线l1:3x-2y+=10和l2:ax+2y+=10相互垂直，4∴3a+-´=(2)20，解得a=，故选C.3uuurruuurruuurruuur3．如图，在四棱锥P-ABCD中，点N是AC的中点，设PA=a，PB=b，BC=c，则PN等于（）,1r1r1r1r1r1rA．a+b+cB．a-b+c2222221r1r1r1r1r1rC．a+b-cD．-a+b+c222222【答案】Auuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuuruuur【解析】因为PN=PA+AN=PA+AC=PA+PC-PA22uuur1uuuruuur1uuur1uuuruuur1r1r1r所以PN=PAPC+=PA+PB+BC=a+b+c，故选A.2222224．已知函数fx的导函数在区间ab,上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．fx在x=x1处取得最大值，在x=x3处取得最小值B．fx的极大值点为x2，极小值点为x5C．fx在区间xx1,2上单调递增，在区间xx3,4上单调递减D．fx的增区间为ax,2和xb4,，减区间为xx2,3【答案】C【解析】由图可知，当afx4，所以fx在x=x3处取不到最小值，A错误.故选：C225．已知点A(3,0),(0,3)-B，点P是圆(x-3)+y=2上任意一点，则VPAB面积的最小值为（）9A．B．9C．5D．62【答案】D22【解析】由点A-3,0,B0,3，得直线ABx:-+=y30,|AB|32=，圆(x-3)+y=2的圆心C(3,0)，半径6r=2，点C到直线AB的距离d==32，2因此点P到直线AB距离的最小值为d-=r22，,1所以VPAB面积的最小值为´3222´=6，故选D.26．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且aa37=a5，则使得Tn>1的n的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【答案】D2【解析】设等比数列{an}的公比为qq(>1)，由aa37=a5，得a5=a5，解得a5=1，nn(-9)n-5n-5因此an=aq5=q，则T=q-+-+-+4(3)(2)L+(n-5)=q2，nnn(-9)由Tn>1，得q2>1，又q>1，解得n>9，所以n的最小值为10，故选Dx2y2uuuruuuur7．已知双曲线C:2-2=1，两焦点分别为FF1,2，过右焦点F2作直线l交右支于AB,点，且AB=3AF2，abπ若ÐFAB1=，则双曲线C的离心率为（）219171513A．B．C．D．3333【答案】Buuuruuuur【解析】因为AB=3AF2，设AF2=m，则AB=3m，BF2=2m，因为AF1-AF2=2,aBF1-BF2=2a，所以AF1=2amBF+,1=2a+2m，FF12=2cì3222a=mìï2c=2am++mïï2因为AF1^AB，所以í222Þí,ïî2am++3m=2a+2mï=17cmïî217mc217所以离心率为：e===.故选B.a33m2ln44ln4-e8．设a=，b=2，c=，则（）4e2eA．a<0，则fx=，2xx,故当xÎ0,e时，fx>0，fx单调递增，当xÎe,+¥时，fx<0，fx单调递减，æe2ö2e因为a=f4=f2，b=fç÷，c=fe，且0fe=c，a=f41时，f(x)>0，fx()在(1,+¥)单调递增，所以fx=f1，则a=1，故A正确，B错误；min2若a=1，此时fx=3x-2x-=1(3x+1)(x-1)(x0)，当00，fx()在1,3上单调递增，故D正确．故选：AD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．数列2n与3n-1的所有公共项由小到大构成一个新的数列an，则a20=.,【答案】116【解析】2n与3n-1的所有公共项由小到大构成一个新的数列为2,8,14,L，故an为首项为2，公差为6的等差数列，所以an=2+6n-1=6n-4，所以a20=1204116-=.uuuruuuruuuruuur13．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E满足ED=2PE，点F满足BF=lBE，若P，A，C，F四点共面，则l=.3【答案】4uuur1uuur2uuur1uuur1uuur2uuur【解析】连接BD，由题可知BE=BD+BP=BA+BC+BP.33333uuuruuuruuurluuurluuur2luuur又BF=lBE，所以BF=BA+BC+BP，且P，A，C，F四点共面，333ll2l3所以++=1，解得l=.3334214．设函数fx()=x-(a+2)xa+ln(xaÎR)，若fx()1恒成立，求a的取值范围.【答案】(-¥-,2]2xa-x-1【解析】fx()=,x>0，x由题意fx()1恒成立，则fx()min1，①当a£0时，令fx()>0，得x>1；令fx()<0，得00时，存在f(1)=-->b0的左，右焦点分别为F1-c,0，Fc2,0，过F2ab的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF1的周长为8，△MFF12的最大面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)设b>1，是否存在x轴上的定点P，使得VPMN的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解】（1）∵△MNF1的周长为8，△MFF12的最大面积为3，ì4a=8ïï1∴í´2cb´=3，解得a=2，b=3或a=2，b=1．ï2222ïîa=b+c222xyx2∴椭圆C的方程为+=1或等+y=1．434（2）由（1）及b>1易知F2(1,0)，不妨设直线MN的方程为：x=mx+1m¹0，Pt,0，M(x1,y1),N(x2,y2)ìx=my+1ï22联立íx2y2，得43+my+6my-=90．ï+=1î436m9则y1+y2=-2，yy12=-2，43+m43+m,若VPMN的内心在x轴上，则ÐMPF2=ÐNPF2，yy12∴kPM+kPN=0，即+=0，即ymy12+-1t+ymy21+-1t=0，x-tx-t12可得2myy12+1-ty1+y2=0．æ9öæ6mö则2mç-2÷+1-tç-2÷=0，得4-=t0，即t=4．è43+møè43+mø当直线MN垂直于x轴，即m=0时，显然点P4,0也是符合题意的点．故在x轴上存在定点P4,0，使得VPMN的内心在x轴上.18．（本小题满分17分）设fx=--x1lnx．æ1æö1ö(1)求fx在ç,fç÷÷处的切线方程；èeèøeø(2)求证：当x>0时，fx0；æ1öæ1öæ1öæ1ö(3)设t为整数，且对于任意正整数n都有ç1+÷ç1+2÷ç1+3÷LLç1+n÷1时，f(x)>0，所以fx在区间(1,+¥)上单调递增，'当x<1时，f(x)<0，所以fx在区间(0,1)上单调递减，所以当x=1时，f(x)取得最小值，所以fxf1=0.（3）由（2）可知当x>1时，x--1lnx>0，即lnx<-x1，1æ1ö1令x=+1，可得ln1ç+÷<，nnn2è2ø21æ1öç1-÷æ1öæ1öæ1öæ1ö11112è2nø1从而ln1ç+2÷+ln1ç+22÷+ln1ç+23÷+L+ln1ç+2n÷<2+22+23+L+2n=1=-12n<1，èøèøèøèø1-2,æ1öæ1öæ1öæ1ö\ln1ç+÷ç1+÷ç1+÷×L×ç1+÷<1，23nè2øè2øè2øè2øæ1öæ1öæ1öæ1ö即ç1+÷ç1+÷ç1+÷×L×ç1+÷b2>L>bm；(3)已知数列an存在“伴随数列”bn，且a1=1，am=2025，求m的最大值.41016194+++-410161910+++-【解】（1）b1==15，b2==13,41-41-410161916+++-410161919+++-b3==11,b4==10，均为正整数，41-41-所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15,13,11,10.（2）因为数列an存在“伴随数列”bn，*所以an+1-an>01£n£m-1，且bbn,n+1ÎN，a1+a2+...+am-ana1+a2+...+am-an+1an+1-an*所以b-b=-=ÎN，nn+1m-1m-1m-1所以bn-bn+1>0，即bn>bn+1，所以b1>b2>b3>...>bm.（3）①因为a1=1，am=2025，其中m≥2，12025+-112025+-2025当m=2时，a1=1，a2=2025，有b1==2025b2==1，均为正整数，21-21-即当m=2时，数列1,2025存在“伴随数列”：2025,1，因此m的最小值为2；②一方面，由（2）知，an+1-an=m-1bn-bn+1m-1n=1,2,...n-1，2于是am-=1am-am-1+am-1-am-2+...+a2-a1m-1+m-1+...+m-1=m-1，2*所以m-1£2024Þm£45mÎN，另一方面，由数列an存在“伴随数列”bn，知,a1+a2+...+am-a1a1+a2+...+am-amam-a12024*b-b=-==ÎN，1mm-1m-1m-1m-1所以m-1是2024的正约数，2024=´´´2221123´m-1取2,4,8,11,22,23,44,46,88,92,184,253,506,1012,2024，即m取3,5,9,12,23,24,45,47,89,93,185,254,507,1013,2025，综合上述m=45为最大值，取an=44n-43n=1,2,...,44，a45=2025，当1£n£44时，a1+a2+...+am-an14589...18932025+++++-44n-43*b=-=994-ÎnN，n451-44符合条件，a1+a2+...+am-an14589...18932025+++++-2025*当n=45，b=-=947ÎN，n451-44符合条件因此m的最大值为45.