高一数学开学摸底考（湘教版2019，必修一全册）（全解全析）

2025届高一数学下学期开学摸底考试卷（湘教版2019）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。ì1ü1．集合A=íxÎZ0<lgx£ý的子集个数为（）î3þA．2B．3C．4D．8【答案】Aìüìï1üï1111A=íxÎZ0<lgx£ý=íxÎZ1<x£103ý=2，【解析】因为2=83<103<273=3，则3îþïîïþ1所以集合A只有一个元素，故集合A的子集个数为2=2，故选A.2n2．设命题P:$ÎnN，n>2，则ØP为（）2n2nA．"ÎnN，n>2B．$ÎnN，n£22n2nC．"ÎnN，n£2D．$ÎnN，n=2【答案】C【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，即$ÎxMpx,()的Ø否定格式为："ÎxM,px(),所以B,D的量词格式错误，2n而A选项未对结论进行否定，其正确的写法为"ÎnN,n£2，故选C.x3．函数fx=ln3+x+1e-的定义域为（）A．-3,0B．-3,0C．-3,0D．-3,0【答案】Cì3+>x0【解析】由题意得íx，解得-<3x£0，故定义域为-3,0.故选Cî1e-³0 æπö4．已知角a的终边在射线y=-2xx£0上，则sin2ça-÷=（）è4ø2222A．-B．C．-D．101055【答案】A【解析】因为角a的终边在射线y=-2xx£0上，不妨在终边上取一点-1,2，225-15则sina==，cosa==-，-12+225-12+225225æ5ö42æ5ö3所以sin2a=2sinacosa=´2´-ç÷=-，cos2a=2cosa-=´-12ç÷-=-1，5çè5÷ø5çè5÷ø5æπöππ42æ3ö22所以sin2ça-÷=sin2cosa-cos2sina=-´--ç÷´=-.故选：Aè4ø4452è5ø21025．函数fx=log0.3-x-2x+3的单调递增区间为（）A．-1,1B．--3,1C．-+¥1,D．-¥,1-【答案】A2【解析】由对数函数的性质知-x-2x+>30，解得-<3x<1，2因为函数gx=-x-2x+3的图象的对称轴为x=-1，开口向下，所以函数gx在--3,1上单调递增，在-1,1上单调递减，又0<0.31<，则函数y=log0.3t为减函数，2由复合函数单调性知，函数fx=log0.3-x-2x+3的单调递增区间为-1,1故选：A.26．已知函数fx()=x+axb+，若关于x的不等式fx()1<的解集为(,mm+2)，则函数fx()的值域为（）é5öé3öA．ê,+¥÷B．ê,+¥÷C．1,+¥D．0,+¥ë2øë2ø【答案】D【解析】由关于x的不等式fx<1的解集为mm,+2，得mm,+2为方程fx-=10的两根，即fx-=1xmxm---2，22222整理得：fx=x-2m+2xm++2m+=1x-2m+1x+m+1=xm--1，所以函数fx的值域为0,+¥.故选：D. 2æπö7．已知sina+3cosa=，则cosç-2a÷=（）3è3ø167494A．-B．-C．D．259815【答案】Bæπö2【解析】由辅助角公式，sina+3cosa=2sinça+÷=，è3ø3æπö1sinça+÷=.è3ø3πæπö因-2a+2ça+÷=π，3è3øæπöéæπöùæπö则cosç-2a÷=cosêπ-2ça+÷ú=-cos2ça+÷，è3øëè3øûè3øæπöé2æπöù7cosç-2a÷=-ê12sin-ça+÷ú=-.è3øëè3øû9故选：B.8．定义在R上的奇函数fx在0,+¥上单调递增，且f-3=0，则满足xfx+1£0的x的取值范围是（）A．-2,2È4,+¥B．--È4,10,2C．-2,0È2,+¥D．-2,0È1,4【答案】B【解析】因为定义在R的奇函数fx()在0,+¥上单调递增，所以函数fx在-¥,0上单调递增，且f0=0，又f-3=0，则f3=-f-3=0，则当xÎ-3,0È3,+¥时，fx>0，当xÎ-¥,3-È0,3时，fx<0，ìx³0ìx<0则由不等式xfx(+1)£0，得í或í，îfx+1£0îfx+1³0ìx³0ìx<0即í或í，îx+£-13或0£+£x13î-£+£3x10或x+³13解得0£x£2或-4≤x≤-1，所以xfx(+1)£0的x的取值范围是--È4,10,2.故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）22A．若a>b，则ac>bcB．若a<b，c>d，则ac-<-bd11<D．若33C．若a>b，则a>b，则a>bab【答案】BD22【解析】对于A，当c=0时，ac=bc，A错误；对于B，a<b，c>d，可得a<b且-<-cd，+-ac<+-bd，即ac-<-bd，故B正确；11对于C，举反例a=1，b=-1时，>，故C错误；ab3对于D，因为y=x在R上为增函数，所以a>b，故D正确.故选：BD.π10．如图所示，角a、b（0<b<a<）的始边均落在x轴的正半轴上，终边与单位圆的交点分别为A、2B，已知P1,0，则下列结论正确的是（）A．AB的长度为a-bB．扇形OBP的面积为baC．AP=2sin21D．VOAP的面积为cosa2【答案】AC【解析】对于A：因为ÐAOB=a-b，所以AB的长度为a-b´=1a-b，故正确；12b对于B：因为ÐBOP=b，所以扇形OBP的面积为××b1=，故错误；22对于C：在VAOP中，过O作OM^AP交AP于M点，如下图， aa易知VAOM,VPOM全等，所以AP=2AM=2OAsinÐAOM=××21sin=2sin，故正确；22aa对于D：因为OM=OAcosÐAOM=×1cos=cos，22aacos×2sin所以OM´AP221，故错误；S===sinaVOAP222故选：AC.11．已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y有fx+y=fx+fy-3且f1=0，当x>0时，fx<3．则下列选项正确的是（）A．f0=3B．f2=2C．fx-3为奇函数D．fx为R上的减函数【答案】ACD【解析】A.令x=y=0，得f0=f0+f0-3，即f0=3，故A正确；B.令x=y=1，所以f11+=f2=f1+f1-=-33，故B错误；C.令y=-x，则f0=fx+f-x-=33，即f-x-3=-éëfx-3ùû，所以函数fx-3为奇函数，故C正确；D.设x1>x2，x1=x1-x2+x2，即fx1=féëx1-x2+x2ùû=fx1-x2+fx2-3，即fx1-fx2=fx1-x2-3，因为x1>x2，所以x1-x2>0，则fx1-x2<3，所以fx1-fx2=fx1-x2-<30，即fx1<fx2，所以fx为R上的减函数，故D正确.故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11512．已知a>1,-=-，则a=.logalog428a【答案】641155【解析】由-=-可得，log8loga-4a=-，logalog4228a15即3log2a-log2a=-，221设log2a=t，则log2a=，t 1153t-×=-，整理得，2所以6t+5t-=10，2t21解得t=-1或t=，611所以log2a=-1或log2a=，解得a=（舍）或a=64，62xa-13．已知甲：x³1，乙：关于x的不等式<0aÎR，若甲是乙的必要不充分条件，则a的取值范xa--1围是．【答案】1,+¥【解析】甲：x³1，设此范围对应集合A=1,+¥；xa-由a<+a1，则乙：<0Ûa<x<+a1，设此范围对应集合B=aa,+1，xa--1因为甲是乙的必要不充分条件，则B是A的真子集，则a³1，所以a的取值范围是：1,+¥.ìaï+2,x>114．已知函数fx()=íx在R上严格单调递增，则实数a的取值范围是.ï-x2+2,xx£1î【答案】-1,0ìaï+2,x>1ìa<0【解析】若使函数fx()=íx在R上单调递增，则í2，ï-x2+2,xx£1î-1+´£+21a2î解得-£1a<0，故实数a的取值范围为-1,0.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。215.（本小题满分13分）已知函数fx()=x-(a+2)x+2a.(1)当a=0时，分别求出函数fx()在[1,2]-上的最大值和最小值；(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集.2【解】（1）由题设fx()=x-2x，开口向上且对称轴为x=1，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为f(1)-=3，最小值为f(1)=-1.2（2）由题意x-(a+2)x+2a=(xax-)(-2)<0，当a<2时，解集为(a,2)；当a=2时，解集为Æ；当a>2时，解集为(2,)a. x16．（本小题满分15分）已知函数fx=logaa-aa(>0且a1).(1)求函数fx的定义域；x(2)当a=2时，关于x的不等式fx-log22+1£+xm恒成立，求实数m的最小值.xx【解】（1）令关于x的不等式a->a0，有a>a.x①当0<a<1时，解不等式a>a，可得x<1，此时函数fx的定义域为-¥,1：x②当a>1时，解不等式a>a，可得x>1，此时函数fx的定义域为(1,+¥)；（2）当a=2时，函数fx的定义域为(1,+¥)x令gx=fx-log22+1-x，xxx2-2x有gx=log22-2-log22+1-x=log2x-log222+1xx2-22-2=log=log2xx2222+12x+2xxx令2-=2t，可得2=+t2，x因为xÎ(1,+¥)，所以t=2-Î20,+¥，x2-2tt1===有x2+x(t+2)2+t+2t2+5t+66，22t++5t66由t+³2t´=26，当且仅当t=6时取等号，ttx2-21有2£=-526，有gx()max=log5262-，2x+2x526+所以m³log5262-，故m的最小值为log5262-.17．（本小题满分15分）首届全国青少年三大球运动会于2024年11月2028-日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球（篮球、排球、足球）的爱好兴趣.王先生现有资金100万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材.已知投资x万元销售篮球器材，获得利润fx（万元）与x成正比；投k资x万元销售足球器材，获得利润为gx=40-（万元）（没有投资时的利润为0万元），且满足x+25g25=f20+12.(1)求fx、gx的解析式；(2)王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少？ k1000【解】（1）由题意可知g0=40-=0，所以k=1000，则gx=40-0£x£100，25x+251000所以g25=40-=20，所以f20=2012-=8.50f2022由题意可设fx=mx，所以m==，所以fx=x0£x£1002055（2）设王先生投资x（万元）销售足球器材，则投资100-x（万元）销售篮球器材，设他所获得的利润为hx（万元），2100-x1000则由题意有hx=f100-x+gx=+40-5x+252æ2500ö2é2500ù22500=80-çx+÷=90-êx+25+ú£90-×2x+25×=50，5èx+25ø5ëx+25û5x+252500当且仅当x+25=0£x£100，即x=25时等号成立.x+25所以当王先生投资25（万元）销售足球器材，投资75（万元）销售篮球器材时，他所获得的利润最大，最大利润为50（万元）.2æπö18．（本小题满分17分）已知fx=sinç-2x-÷+2．2è4ø(1)fx的对称轴方程；(2)fx的单调递增区间；éπù(3)若方程fx-m+=10在xÎê0,ú上有解，求实数m的取值范围．ë2û2æπö【解】（1）由题设fx=-sin2çx+÷+2，2è4øπππkπ令2x+=+kπkÎZ，得x=+kÎZ，4282πkπ所以函数fx对称轴方程为x=+kÎZ；822æπöæπö（2）由fx=-sin2çx+÷+2，则fx单调增区间为y=sin2çx+÷的单调减区间，2è4øè4øππ3ππ5π令+2kπ£2x+£+2kπkÎZ，则+kπ£x£+kπkÎZ，24288éπ5πù所以fx的单调增区间为ê+kπ,+kπúkÎZ；ë88ûéπù（3）方程fx-m+=10在xÎê0,ú上有解，等价于y=fx与y=m-1的图象有交点．ë2ûéπùπéπ5πù2æπö25由xÎê0,úÞ2x+Îê,ú，则-£sin2çx+÷£1，即2-£fx£，ë2û4ë44û2è4ø22 25é27ù所以2-£m-£1，故m的取值范围为ê3-,ú．22ë22ûA=aa,,L,a，其中*aÎN*i=1,2,L,n，非空集合19．（本小题满分17分）已知集合12nnÎN且n³4，iBÍA，记TB为集合B中所有元素之和，并规定当B中只有一个元素b时，TB=b．(1)若A=1,2,5,6,7,8，TB=8，写出所有可能的集合B；(2)若A=3,4,5,9,10,11，B=bbb1,,23，且TB是12的倍数，求集合B的个数；(3)若aiÎ1,2,3,L,2n-1i=1,2,L,n；证明：存在非空集合BÍA，使得TB是2n的倍数．【解】（1）TB=8，集合B可能为：{8}，{1,7}，{2,6}，{1,2,5}；（2）不妨设b1<b2<b3，则b1+b2+b3³++=34512，b1+b2+b3£+9101130+=，因此TB()12=或TB()=24，TB()12=时，B={3,4,5}，TB()=24时，451120++=<24，因此3,4,5中只能选项一个，9,10,11中选两个，B为{3,10,11},{4,9,11},{5,9,10}，综上集合B有{3,4,5},{3,10,11},{4,9,11},{5,9,10}，共有4个；（3）（1）若nAÏ，则aa1,2,L,an是从1,2,L,n-1,n+1,n+2,L,2n-1这2n-2个数所取，把这2n-2个数分成n-1组{1,2n-1},{2,2n-2},L,{n-1,n+1}，每组中两个数的和为2n，从这n-1组中取n个数，必有两个数属于同一组，例如a1=ia,2=2ni-，则取B={,2ini-}，TB()=2n是2n的倍数，结论成立；（2）若nAÎ，不妨设an=n，从aa1,2,L,an-1(n≥4)中任取3个数，ai<aj<ak，若aj-ai与ak-aj都是n的倍数，则ak-ai=(aj-ai)(+ak-aj)³2n，这与aaai,j,kÎ(0,2n-1]矛盾，所以aaai,j,k中任意两个数的差都不是n的倍数，不妨设a2-aa1(2>a1)不是n倍数，考虑这n个数：aaa1,2,1+aa2,1+a2+a3,L,a1+a2+L+an-1，①若这n个数除以n的余数各不相同，则必有一个是n的倍数，又aa1,2<2n且均不为n，故存在2££-rn1，使得a1+a2+L+apr(ÎN*)，若p为偶数，取B={,aa12,L,}ar，则TB()=pn，结论成立；若p为奇数，取B={,aa12,L,aar,n}，则TB()(=p+1)n，结论成立；②若这n个数除以n的余数中有两个相同，由它们的差是n的倍数，又a2-aa1,1均不为n的倍数，所以存在2£££-stn1，使得(a1+a2+L+at)(-a1+a2+L+as)=qnq(ÎN*)，若q是偶数，取B={at+1,at+2,L,}as，TB()=qn，结论成立，若q是奇数，取B={as+1,as+2,L,,aatn}，TB()(=q+1)n，结论成立， 综上，存在非空集合BÍA，使得TB是2n的倍数．