高一数学开学摸底考（新高考地区通用）02（全解全析）

2024-2025学年高一数学下学期开学摸底考02（新高考地区通用）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21．命题">x1，x-m>1的否定是（）22A．$>x1，x-m£1B．$£x1，x-m£122C．">x1，x-m£1D．"£x1，x-m£1【答案】A2【解析】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，所以命题">x1，x-m>1的否定是2$>x1，x-m£1，故选A22．已知全集U={xx∣-<10}，集合A=xx∣+3x-<40，则ðUA=（）A．-¥,4-B．-¥-,4ùûC．-4,1D．-4,1【答案】B【解析】由x-<10，可得x<1，所以U=-¥,1，2由x+3x-<40，可得(x+4)(x-1)<0，解得-<4x<1，所以A=-4,1，所以ðUA=-¥,4-，故选：B.cosq3．已知角q的终边在直线y=2x上，则的值为（）sinq+cosq2121A．-B．-C．D．3333 【答案】D【解析】因为角q的终边在直线y=2x上，所以tanq=2.cosq111所以===，sinq+cosq1tan+q12+3故选D.0.60.54．若a=0.5，b=0.6，c=3log26，则a、b、c的大小关系为（）A．c<a<bB．a<<bcC．b<a<cD．a<<cb【答案】Bx0.5【解析】因为函数y=0.5在R上为减函数，函数y=x在0,+¥上为增函数，0.60.50.50.5则0.5<0.5<0.6<1=1，即a<<b1，3因为对数函数y=log6x在0,+¥上为增函数，则c=3log26=log26>log616=，因此，a<<bc，故选B.5．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为æMöv=2ln1ç+÷.若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为èmø（）（参考数值：ln2»0.69,ln244.69»5.50，结果精确到0.01t,1t1000=kg）A．890.23tB．755.44tC．244.69tD．243.69t【答案】B【解析】根据题意，m=3100，2æMöæMö11令v=2ln1ç+÷=11，则ln1ç+÷=lne，è3100øè3100ø2æMö11M5.5所以ç1+÷=e，则1+=e，è3100ø3100M5.5ln244.69即=e-»1e-=1244.691243.69-=3100所以M»3100243.69´=755439kg=755.44t，故选Bf2x+16．若函数y=f(x)的定义域为04，，则函数y=的定义域为（）x-1é1öæ3ùé1öæ3ùA．ê-,1÷Èç1,úB．ê-,1÷C．ç1,úD．1,9ë2øè2ûë2øè2û【答案】A 【解析】因为函数y=f(x)的定义域为0,4，ì0£2x+£1413所以í，解得-£x<1或1<x£，îx-¹1022f2x+1é1öæ3ù故函数y=的定义域为ê-,1÷Èç1,ú，x-1ë2øè2û故选A.12æπöæπö7．已知cosa+b=,cosa-b=,aÎç0,÷,bÎç0,÷，则tana+tanb的值为（）55è2øè2ø114686A．B．C．D．46333【答案】B11【解析】由已知得：cosa+b=Þcoscosab-sinsinab=；5522cosa-b=Þcoscosab+sinsinab=；553两式相加得：coscosab=，101æπöæπöQcosa+b=,aÎç0,÷,bÎç0,÷，5è2øè2ø22æö126sina+b=1cos-a+b=1-ç÷=，èø5526sinasinbsina+b546所以tana+tanb=+===，cosacosbcoscosab3310故选：B.2ìx-6x+6,x³08．设函数fx=í，若互不相等的实数x1，x2，x3满足fx1=fx2=fx3，则x1+x2+x3î3x+4,x<0的取值范围是（）æ2026ùæ2026öæ11ùæ11öA．ç,úB．ç,÷C．ç,6úD．ç,6÷è33ûè33øè3ûè3ø【答案】D【解析】作出的图像如下图所示，fx1=fx2=fx3，不妨设x1<x2<x3，7f(3)=-3，x<0时，fx=3x+=-Þ43x=-，3711则由图像可知，-<x1<0，x2+x3=6，所以<x1+x2+x3<6，故选D.33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A．若a>bc,<d，则ac->-bdB．若a<bc,<d，则ac<bd11C．若a<<b0，则<22ab22D．若a<<b0，则a<ab<b【答案】AC【解析】对于A，由c<d可得->-cd，又a>b，因此可得ac->-bd，即A正确；对于B，若a=-2,b=-1,c=-4,d=-3，此时ac=>8bd=3，即B错误；1122<，即C正确；对于C，若a<<b0，可得a>b>0，所以22ab2对于D，由a<<b0可得a-ab=aab->0，即a2>ab，同理，由a<<b0可得abb-2=bab->0，即222abb>，所以a>ab>b，即D错误.故选：AC1π10．若把曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单212位长度，得到曲线y=fx，则（）æ2πöæπöA．fx()=sin2çx+÷B．fx在ç0,÷上单调递减è3øè2øππC．fx图象关于x=-对称D．y=fx与y=2x+有2个交点126【答案】AC1【解析】把曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y=cos2x，2πæπöæπö再把y=cos2x向左平移个单位长度得到y=fx=cos2çx+÷=cos2çx+÷，12è12øè6ø æ2πöéæπöπùæπö又sin2çx+÷=sinêç2x+÷+ú=cos2çx+÷，è3øëè6ø2ûè6øæ2πö所以fx()=sin2çx+÷，故A正确；è3øæπöπæπ7πöæπ7πö当xÎç0,÷时，2x+Îç,÷，因为y=cosx在ç,÷上不单调，è2ø6è66øè66øæπö所以fx在ç0,÷上不单调，故B错误；è2øæπöæππöπ因为fç-÷=cosç-+÷=1，所以fx图象关于x=-对称，故C正确；è12øè66ø12π7ππé7ππùæ7πö令-£π2x+£0，解得-12£x£-12，所以fx在ê-,-ú上单调递增，且fç-÷=-1，6ë1212ûè12øππ5πéπ5πùæ5πö令0£2x+£π，解得-£x£，所以fx在ê-,ú上单调递减，且fç÷=-1，61212ë1212ûè12øπ7π1π因为函数y=2x+在定义域R上单调递增，当x=-时y=-π，令y=1，解得x=-，612212πæπö在同一平面直角坐标系中画出y=2x+与y=cos2çx+÷的图象如下所示：6è6øπæπö由图可知y=2x+与y=cos2çx+÷有且仅有一个交点，故D错误.6è6ø故选：AC-xì-2+ax,<011．已知函数fx=íaÎR，下列结论正确的是（）xî2-ax,>0A．fx是奇函数B．若fx在定义域上是增函数，则a£1C．若fx的值域为R.则a³1D．当a£1时，若fx+f3x+4>0，则xÎ-+¥1,【答案】AB【解析】对于A，由题函数定义域为-¥,0È0,+¥，关于原点对称，-x-x-x当x<0时，->x0，fx()=-2+a，f(-x)=2-=--a(2+a)=-fx()；xxx当x>0时，-x<0，fx()=2-a，f(-x)=-2+=-a(2-a)=-fx()， 则函数fx()为奇函数，故A正确；-00对于B，若fx()在定义域上是增函数，则-2+£a2-a，即a£1，故B正确；-x对于C，当x<0时，fx()=-2+a在区间(-¥,0)上单调递增，此时值域为(-¥,a-1)，x当x>0时，fx()=2-a在区间(0,+¥)上单调递增，此时值域为(1-a,+¥).要使fx()的值域为R，则a-1>1-a，即a>1，故C不正确；-00对于D，当a£1时，由于-2+£a2-a，则函数fx()在定义域上是增函数，又函数fx()是奇函数，故由fx()+f(3x+4)>0，得fx()>f(3-x-4)，则x¹0，且-3x-¹40，且x>-3x-4，解得xÎ-1,0È0,+¥，故D不正确.故选：AB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。0ln2-212．1+e-0.5+lg252lg2+=．【答案】1-20ln2-2æö1【解析】1+e-0.5+lg252lg212+=+-ç÷+lg25lg4+=-+=3421.èø2213.已知函数fx满足fx+2f-x=x-6x+7，则函数fx=．127【答案】x+6x+332【解析】由题知用x-x代换x得到，f-x+2fx=x+6x+7，2与fx+2f-x=x-6x+7两式联立，消去f-x，127解得fx=x+6x+．33ì4-ax+2,ax³1,14．已知a>0且a¹1，甲说：已知fx=í是R上的增函数，乙说：函数xîa-2,x<12fx=log2x-2ax+4在区间2,+¥上为增函数，若甲、乙两人说的话有且仅有一个正确，则a的取值范围是．【答案】a£1或2£a<4ì4->a0ï【解析】若甲说的正确，则由函数为增函数可得ía>1，解得1<a<4，ï1îa-£-+24a2aìa£2若乙说的正确，则需要í2，解得a<2，î2-4a+>40 ì1<a<4所以当甲正确乙错误时，则í，解得2£a<4，îa³2ìa£1或a³4当甲错误乙正确时，则í，解得a£1îa<2综上，a的取值范围是a£1或2£a<4.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15.（本小题满分13分）设命题p：实数x满足xa-x-3a<0，其中a>0，命题q：实数x满足x-3<1．(1)若a=1，当命题p和q都为真命题时，求实数x的取值范围；(2)若Øp是Øq的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】（1）由题设p:1<x<3，q:2<x<4，故命题p和q都为真命题时，2<x<3；（2）由Øp是Øq的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，而pa:<x<3a，q:2<x<4，ìa£24所以í等号不同时成立，可得£a£2.î3a³4316．（本小题满分15分）已知函数fx=Asinwx+j(A>0,w>0,0£j<π)的部分图象如图所示.(1)求函数fx的解析式及其对称轴方程；æπöéπù(2)由函数fx的图象经过怎样的平移变换能得到函数gx=sinçx+÷的图象？当xÎê0,ú时，求gx的è6øë2û值域.【解】（1）由图象与A>0知，A=1，设fx的最小正周期为T，1ππ2π则T=-=0，又w>0，则T=2π=，解得w=1，422wæπöæπö则fx=sinx+j，又fx的图象经过点ç,1÷，故得sinç+j÷=1，è2øè2øππ则+j=+2kkπ,ÎZ，故j=2kkπ,ÎZ，又0£j<π，得j=0，22π所以fx()sin=x，故其对称轴方程为x=+kkπ,ÎZ.2 π（2）将函数fx()sin=x的图象向左平移个单位6æπö可得gx=sinçx+÷的图象，è6øéπùππ2π当xÎê0,ú时，£+x£，ë2û6631æπöé1ù所以£sinçx+÷£1，即gx的值域为ê,1ú.2è6øë2û17．（本小题满分15分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下ì2+££5x3,0x2ï关系：Wx()=í50x，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）ï,2<x£5î1+x20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为fx（单位：元）．(1)求fx的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ì´2+-££155x330,0xx2ï【解】（1）由已知fx=15Wx-20x-10x=í50xï15´-30,2x<x£5î1+x2ì75x-30x+225,0£x£2ï=í750；ï750--30,2x<x£5îx+12ìæ1öï75çx-÷+222,0£x£2ïè5ø（2）由（1）得fx=í，ïæ25ö78030-ç++x1,2÷<x£5ïîèx+1ø即由二次函数的单调性可知，当xÎ0,2时，fx=f2=465，max由基本不等式可知，当xÎ2,5时，æ25ö25fx=78030-ç++x1÷£780302-´×x+1=480，èx+1øx+125当且仅当=+x1，即x=4时取得最大值，x+1综上，当x=4时取得最大利润，最大利润为480元.x18．（本小题满分17分）已知通数fx=log99+1+axaÎR为偶函数.(1)求a的值； (2)求fx的最小值；2x-2xx-x(3)若f4+4³fm4-4对任意xÎR恒成立，求实数m的取值范围.x【解】（1）因为fx=log99+1+axaÎR为偶函数，-xx所以f(-x)=f(x)，则log99+1-ax=log99+1+ax，x19+x-x所以2ax=log-log9+1=log9=-x，即2a+1x=0恒成立.9x9991因为x不恒为0，所以2a+=10，故a=-.21经检验，符合题意；即a=-.2xxxxx29+1æx1ö（2）由（1）得fx=log99+1-=log99+1-log99=log9x=log9ç3+x÷.23è3øxx1x1因为3>0，则3+x³23×x=2，33x1当且仅当3=，即x=0时，等号成立，x3æx1ö所以fx=log9ç3+x÷³log29，故fx最小值为log29.è3øæx1ö（3）因为fx=log9ç3+x÷，è3ø任取xx1,2Î0,+¥且x1<x2，xxx1x2x1+x21æ1ö32-313-33-1所以3x1+-ç3x2+÷=3x1-3x2+=.3x1è3x2ø3x1×3x23x1+x2因为xx,Î0,+¥且x<x，所以3x1-3x2<0,3x1+x2->10，12123x1-3x23x1+x2-111所以3x1+<3x2+，<0，即xxx1+x231323æx1öæx1ö所以logç31+÷<logç32+÷，则fx在(0,+¥)上为增函数.9x9xè31øè32ø2x-2xx-x又因为fx为偶函数，f4+4³fm4-4，2x-2xx-x所以4+4³m4-4.当x=0时，2³0恒成立，则mÎR.2x-2x4+4x-x当x¹0时，4-4>0，所以m£，x-x4-4 22x-2xx-x4+44-4+22x-x设ux===4-4+³22，x-xx-xx-x4-44-44-44x-4-x=2x-x当且仅当x-x，即4-4=2时，等号成立.4-4x-x由复合函数的单调性易得y=4-4在R上单调递增，1且当x=0时，y=0<2，当x=1时，y=4->2，4所以4x4-x2x--x=有解，所以等号能成立，-=有解，即442所以ux()=22，则m£22，解得-22£m£22.min19．（本小题满分17分）对于函数fx，若存在x0ÎR，使fx0=x0成立，则称x0为fx的不动点.已知2函数fx=ax+b+1x+b-1a¹0.(1)当a=1,b=-3时，求函数fx的不动点；(2)若对任意实数b，函数fx恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；-a(3)在（2）的条件下，若fx的两个不动点为xx1,2，且fx1+x2=，求实数b的取值范围.a+12【解】（1）当a=1,b=-3时，fx=x-2x-4，所以2x-2x-=4x，解得x=-1或x=4，所以函数fx的不动点为-1和4.（2）函数fx恒有两个相异的不动点，即方程fx=x有两个不等的实根，2即方程ax+bx+b-1=0有两个不等的实根，22Δ1=b-4ab-1>0bÎR恒成立，即b-4ab+4a>0bÎR恒成立，2所以=16a-16a<0，解得0<a<1，2故当bÎR时，函数fx恒有两个相异的不动点，则a的取值范围为0,1.ba（3）∵fx1+x2=x1+x2=-=-，aa+12a2a+1-2a+1+11所以b===++a1-2，a+1a+1a+1因为0<a<1，所以1<+<a12，1由于对勾函数y=x+在(1,2)单调递增，x11所以0<a+1+-2<，a+12 1æ1ö所以0<<b.故b的取值范围为ç0,÷.2è2ø