初中数学新华东师大版七年级下册第5章 一元一次方程教案（2025春）

第5章一元一次方程5.1从实际问题到方程【教学目标】1.掌握如何设未知数.2.掌握如何找等式来列方程.3.了解尝试法、代入法寻找方程的解.4.初步建立方程能解决实际问题的观念.5.通过本节的教学，应该使学生体会到数学与实际生活的密切联系，认识到数学的价值.【教学重点】1.确定所有的已知量和确定“谁”是未知数x.2.列方程.【教学难点】找出问题中的相等关系.【教学过程】一、情境导入，初步认识在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：问题某校初一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？这个问题用数学中的什么方法来解决呢？解：(328-64)÷44=264÷44=6(辆)答：还需租用44座的客车6辆.请大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？[教学说明]通过实际问题的引入，让学生明白数学的重要性.二、思考探究，获取新知1.在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？含有未知数的等式叫方程.2.讲解导入中的问题：根据小学所学的列方程，按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数x的方法来解决这个问题.分析：设需租用客车x辆，则客车可以乘坐44x人，加上校车上的64人，就是328人.列方程为44x＋64=328.解：设还需租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人.根据题意列方程得44x+64=328设问：你们谁会解这个方程？请大家自己试一试.[教学说明]初步建立方程能解决实际问题的观念，进入下一步的学习.3.在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？”方法一：我们可以按年龄的增长依次去试.1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的三分之一；2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的三分之一；3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之一.方法二：也可以用列方程的办法来解.解：设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(13+x)岁，老师年龄是(45+x)岁.29 根据题意，列出方程得13+x=1/3(45+x)这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将x＝1，2，3，4，…代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为x＝3.[归纳结论]使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解.4.由上面的两个问题，你能总结出列方程解决实际问题的步骤吗？[归纳结论]设未知数x；找出相等关系；根据相等关系列方程.[教学说明]培养学生利用方程的思想解决问题的习惯，找出实际问题中的等量关系，这是解决这类问题的关键.三、运用新知，深化理解1.下列各式中，是方程的是()A.x-2=1B.2x+5C.x+y＞0D.3y2.下列方程中，解为x=1的是()A.5/6x=6/5B.-0.7x=-0.7C.-1/4x=1/4D.3x=1/33.下列四个数中，是方程x+2=0的解为()A.2B.-2C.4D.-44.语句“x的3倍比y的1/2大7”用方程表示为：________.5.一根细铁丝用去2/3后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为________.6.甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程.)？7.一个水缸原来有水8升，水缸总共可以装水35升，小明每次往缸里加水9升，需要加水多少次才能加满(列出方程，不解方程.)？8.检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解：2(x+2)-5(1-2x)=-13,{x=-1,1}【答案】1.A2.B3.B4.3x=1/2y+75.x-2/3x=26.分析：等量关系是：甲车间生产的台数+乙车间生产的台数＝电视机总台数解：设乙车间生产的台数为x台，则甲车间生产的台数是(3x-16)根据题意列方程得x+(3x-16)=1207.分析：设需要加水x次才能加满水，共加水9x升，加上原来缸里的水8升，就是满缸35升水.可以得出方程9x＋8＝35.解：设需要加水x次才能加满水，根据题意列方程得29 9x＋8＝358.解：将x=-1代入方程的两边得左边=2(-1+2)-5［1-2×(-1)］=-13右边=-13因为左边=右边，所以x=-1是方程的解.将x=1代入方程的两边得左边=2(1+2)-5(1-2×1)=11右边=-13因为左边≠右边，所以x=1不是方程的解.四、师生互动，课堂小结这节课主要讲了下面两个问题：1.复习了用列方程的方法来解应用题；2.检验一个数是否为方程的解的方法.【课后作业】1.布置作业:教材第4页“习题6.1”中第1、3题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】5.2解一元一次方程1.等式的性质与方程的简单变形第1课时等式的性质【教学目标】1.借助天平的操作活动，发现并理解等式的性质.2.应用等式的性质进行等式的变换.3.经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力.4.让学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心.【教学重点】等式的性质和运用.【教学难点】引导学生发现并概括出等式的性质.【教学过程】一、情境导入，初步认识同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事.小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量.最常见的方法是用天平测量一个物体的质量.我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）.首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量.29 [教学说明]从学生熟悉的生活场景引入，既让学生感到亲切，又能激起学生学习和探究新知的欲望，同时又很自然的引出了课题.让学生从中体验学习与生活的紧密联系.二、思考探究，获取新知请同学来做这样一个实验：如下图，天平处于平衡状态，它表示左右两个盘内物体的质量a、b是相等的.得到：a=b.1.若在平衡天平两边的盘内都添上（或都拿去）质量相等的物体，则天平仍然平衡.得到：a+c=b+ca-c=b-c2.若把平衡天平两边盘内物体的质量都扩大（或缩小）相同的倍数，则天平仍然平衡.得到：ac=bc（c≠0）a/c=b/c(c≠0)观察上面的实验操作过程，回答下列问题：（1）从这个变形过程，你发现了什么一般规律？（2）这几个等式两边分别进行什么变化？等式有何变化？（3）通过上面的操作活动，你能说一说等式有什么性质吗？[教学说明]通过操作途径来发现等式的加减性质，将抽象的算式具体化，降低学生的认知难度，提高课堂效率.同时，通过操作活动更加吸引学生的注意力，调动学生参与课堂的积极性.[归纳结论]等式的基本性质：性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立.如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.性质2：等式两边都乘或除以同一个数或式子（除数不为0），等式仍然成立.如果a=b，那么ac=bc，a/c=b/c(c≠0).三、运用新知，深化理解1.下列结论正确的是()A.若x+3=y-7,则x+7=y-11B.若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2yC.若0.25x=-4,则x=-1D.若7x=-7x,则7=-72.下列说法错误的是()A.若x/a=y/a(a≠0),则x=yB.若x2=y2,则-4x2=-4y2C.若-1/4x=6,则x=-3/2D.若6=-x,则x=-63.已知等式ax=ay,下列变形不正确的是()A.x=yB.ax+1=ay+1C.ay=axD.3-ax=3-ay29 4.下列说法正确的是()A.等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式C.等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式5.在方程的两边都加上4，可得方程x+4=5,那么原方程是_________.6.在方程x-6=-2的两边都加上_________，可得x=_________.7.方程5+x=-2的两边都减5得x=_________.8.如果-7x=6，那么x＝_________.9.只列方程，不求解.某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少100套，如果每天平均生产32套服装，就可以超过订货任务20套，问原计划几天完成？【答案】1.B2.C3.A4.D5.x=16.647.-78.-6/79.解：设原计划x天完成.20x+100=32x-20四、师生互动，课堂小结通过及时的练习对所学新知进行巩固和深化，在练习中，要求学生说出计算的依据，帮助学生巩固等式性质的同时，也提升了说理能力.【课后作业】1.布置作业:教材第5页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第2课时方程的简单变形【教学目标】1.理解并掌握方程的两个变形规则；2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；3.运用方程的两个变形规则解简单的方程.4.通过对解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法.5.通过本节的教学，应该达到使学生体会数学的价值的目的.【教学重点】运用方程的两个变形规则解简单的方程.【教学难点】运用方程的两个变形规则解简单的方程.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.等式有哪些性质？2.在4x-2=1+2x两边都减去_____，得2x-2=1，两边再同时加上_____，得2x29 =3，变形依据是_____.3.在1/4x-1=2中两边乘以_____，得x-4=8，两边再同时加上4，得x=12，变形依据分别是_____.[教学说明]对等式的性质及利用性质进行变形的复习，为方程的变形打好基础.二、思考探究，获取新知1.方程是不是等式？2.你能根据等式的性质类比出方程的变形依据吗？[归纳结论]方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变.方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变.3.你能根据这些规则，对方程进行适当的变形吗？4.解下列方程：(1)x-5=7；(2)4x=3x-4.分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x-5=7的两边同时加上5，即x-5+5=7+5，可求得方程的解.(2)利用方程的变形规律，在方程4x=3x-4的两边同时减去3x，即4x-3x=3x-3x-4,可求得方程的解.像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.[教学说明](1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边.(2)移项需变号.5.解下列方程：(1)-5x=2；(2)3/2x=1/3；分析：(1)利用方程的变形规律，在方程-5x=2的两边同除以-5，即-5x÷(-5)=2÷(-5)可求得方程的解.(2)利用方程的变形规律，在方程3/2x=1/3的两边同除以3/2或同乘以2/3，即3/2x÷3/2=1/3÷3/2(或3/2x×2/3=1/3×2/3)，可求得方程的解解:(1)方程两边都除以-5，得x=-2/5.(2)①方程两边都除以3/2，得x=1/3÷3/2=1/3×2/3，即x=2/9.②方程两边同乘以2/3，得x=1/3×2/3=2/9.即x=2/9.[归纳结论]①上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.②上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x=a的形式.6.根据上面的例题，你能总结出解一元一次方程的一般步骤吗？[归纳结论]解方程的一般步骤是：①移项；②合并同类项；③系数化为1.三、运用新知，深化理解1.教材第7页例3.2.下列方程变形错误的是()A.2x+5=0得2x=-529 B.5=x+3得x=-5-3C.-0.5x=3得x=-6D.4x=-8得x=-23.下列方程求解正确的是()A.-2x=3,解得x=-2/3B.2/3x=5,解得x=10/3C.3x-2=1,解得x=1D.2x+3=1,解得x=24.方程-1/3x=2两边都_______，得x=_______.5.方程5x=6的两边都_______,得x=_______.6.方程3x+1=4的两边都_______得3x=3.7.方程2y-3=-1的两边都_______得2y=2.8.下面是方程x+3=8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？(1)x+3=8=x=8-3=5；(2)x+3=8，移项得x=8+3，所以x=11；(3)x+3=8移项得x=8-3，所以x=5.9.解下列方程(1)2x∶3=6∶5；(2)1.3x+1.2-2x=1.2-2.7x.(3)3y-2=y+1+6y10.方程2x＋1＝3和方程2x-a＝0的解相同，求a的值.11.已知y1=3x+2，y2=4-x.当x取何值时，y1与y2互为相反数？[教学说明]通过练习，使学生熟练的利用方程的变形规则解方程.【答案】2.B3.C4.乘以-36.减17.加38.解：(1)这种解法是错的.变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等，所以解方程时不能连等；(2)这种解法也是错误的，移项要变号；(3)这种解法是正确的.9.分析：把方程中的比先化为分数，再解方程.解：(1)2x∶3=6∶5，2x/3=6/5，系数化为1x=6/5÷2/3=6/5×3/2=9/5.(2)1.3x+1.2-2x=1.2-2.7x，移项1.3x-2x+2.7x=1.2-1.2，合并同类项2x=0，系数化为1x=0÷2=0.(3)3y-2=y+1+6y，合并同类项3y-2=7y+1，移项3y-7y=1+2，合并同类项-4y=3，系数化为1y=3÷(-4)=3×(-1/4)=-3/4.10.解：2x＋1＝32x＝3-12x＝2x＝1因为，方程2x＋1＝3和方程2x-a＝0的解相同所以，把x＝1代入2x-a＝0中得：2×1-a＝02-a＝0-a＝-229 a＝2即，a的值为2.11.分析：y1与y2互为相反数，即y1+y2=0.本题就转化为求方程3x+2+4-x=0的解.解：由题意得：3x+2+4-x=0，3x-x=-4-2，x=-3.所以当x=-3时，y1与y2互为相反数.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第9页“习题6.2.1”中第1、2、3题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】2.解一元一次方程第1课时一元一次方程的解法（1）【教学目标】1.一元一次方程的定义.2.了解如何去括号解方程.3.了解去分母解方程的方法.4.通过对方程变形的分析，探索求解简单方程的规律.5.培养学生体会数学价值的目的.【教学重点】1.一元一次方程的定义；2.解一元一次方程的步骤.【教学难点】灵活使用变形解方程.【教学过程】一、情境导入，初步认识上两堂课讨论了一些方程的解法，那么那些方程究竟是什么类型的方程呢？先看下面几个方程：每一行的方程各有什么特征？（主要从方程中所含未知数的个数和次数两方面分析）4+x=7；3x+5=7-2x；y-2/6=y/3+1；x+y=10；x+y+z=6；x2-2x-3=0；x3-1=0.[教学说明]让学生观察这几个方程，使学生初步感知一元一次方程特别之处.二、思考探究，获取新知1.比较一下，第一行的方程（即前3个方程）与其余方程有什么区别？（学生答）可以看出，前一行方程的特点是：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是一次的.“元”是指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数，根据这一命名方法，上面各方程是什么方程呢？（学生答）[归纳结论]只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.[教学说明]谈到次数的方程都是指整式方程，即方程的两边都是整式.像2x29 =3这样就不是一元一次方程.2.上两堂课我们探讨的方程都是一元一次方程，并且得出了解一元一次方程的一些步骤.下面我们继续通过解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法.解方程：①3(x-2)＋1=x-(2x-1)分析：方程中有括号，先去括号，转化成上节课所讲方程的特点，然后再解方程.解：去括号3x-6+1=x-2x+1，合并同类项3x-5=-x+1，移项3x+x=1+5，合并同类项4x=6，系数化为1x=1.5.②解方程：(x-3)/2-(2x+1)/3=1分析：只要把分母去掉，就可将方程化为上节课的类型.12和13的分母为2和3，最小公倍数是6，方程两边都乘以6，则可去分母.解：去分母3(x-3)-2(2x+1)=6，去括号3x-9-4x-2=6，合并同类项-x-11=6，移项-x=17,系数化为1x=-17.回顾上面的解题过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤？[归纳结论]解一元一次方程通常的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.三、运用新知，深化理解1.下列式子是一元一次方程的有__________.（1）32x+22-12x（2）x=0.（3）1/x=1（4）x2+x-1=0(5)x-x=22.解下列方程3.y取何值时，2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3？4.当x为何值时，代数式(18+x)/3与x-1互为相反数？[教学说明]通过习题练习来巩固提高.【答案】1.(2)2.(1)解：2x-4-12x+3=9-9x-10x-1=9-9x-10x+9x=1+9-x=10x=-10(2)解：-7（1-2x）=3×2（3x+1）-7+14x=18x+629 -4x=13x=-13/4(3)分析：方程中有多重括号，那么先去小括号，再去中括号，最后去大括号.8x+20=2(4x+3)-(2-3x)8x+20=8x+6-2+3x8x-8x-3x=6-2-20-3x=-16x=16/3.(5)解：3（2-x）-18=2x-（2x+3），6-3x-18=-3-3x=9x=-3.(6)解：6x-3（x-1）=12-2（x+2）6x-3x+3=12-2x-46x-3x+2x=12-4-35x=5x=1.3.分析：这样的题列成方程就是2(3y+4)-5(2y-7)=3，求y即可.解：2(3y+4)-5(2y-7)=3去括号6y+8-10y+35=3合并同类项-4y+43=3移项-4y=-40系数化为1y=10.答：当y=10时，2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3.4.分析：两个数如果互为相反数，则它们的和等于0，根据相反数的意义列出以x为未知数的方程，解方程即可求出x的值.29 为相反数.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第11页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第2课时一元一次方程的解法（2）【教学目标】1.掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程.2.通过练习使学生灵活的解一元一次方程.3.发展学生的观察、计算、思维能力.【教学重点】使学生灵活的解一元一次方程.【教学难点】使学生灵活的解一元一次方程.【教学过程】一、情境导入，初步认识通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x=a的形式.因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程.[教学说明]复习解一元一次方程的步骤，为本节课的教学作准备，并引出本节课的内容.二、思考探究，获取新知1.解方程分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解.利用分数的基本性质，将方程化为：去分母，得6(9x＋2)-14(3＋2x)-21(3x＋14)=42，去括号，得54x+12-42-28x-63x-294=42，移项，得54x-28x-63x＝42-12＋42+294，合并同类项，得-37x=366，系数化为1得29 x=-366/37.[教学说明]解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的1不变.去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数42，所以等号右边的1也要乘以42，才能保证所得结果仍成立.2.解下列方程：(1)3(2x-1)＋4=1-(2x-1)；分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤.第(1)小题中可以把(2x-1)看成一个整体，先求出(2x-1)的值，再求x的值；第(2)小题，应注意到分子都是4x+3，且1/6+1/2+1/3=1，所以如果把4x+3看成一个整体，则无需去分母.解：(1)3(2x-1)+4=1-(2x-1)，3(2x-1)＋(2x-1)=1-4，4(2x-1)=-3，2x-1=-3/4，2x=1/4，x=1/8.(1/6+1/2+1/3)(4x+3)=1；4x+3=1；4x=-2；x=-1/2.[教学说明]解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力.三、运用新知，深化理解[教学说明]强调学生在解题之前一定要先观察方程的特点，再选择适当的方法，是先去中括号、还是去小括号；是先去分母、还是先去括号等.【答案】1.分析：这个方程的分母含有小数，可依据分数的基本性质，先把分母化为整数再去分母后求解.29 解：原方程可化为去分母，得3（4x+21）-5（50-20x）=9，去括号，得12x+63-250+100x=9，移项，得12x+100x=9-63+250，合并同类项，得112x=196，系数化为1，得x=196/112=7/4.2.解：原方程可化为去分母得40x+60=5（18-18x）-3（15-30x），去括号得40x+60=90-90x-45+90x，移项、合并得40x=-15，系数化为1得x=-3/8.3.解：去中括号得4（x-1/2）+1=5x-1，去小括号得4x-2+1=5x-1，移项、合并得x=0.4.解：去小括号得1/3(2x-1/3-2/3)=2,方程两边同乘以3得2x-1=6,移项得2x=7,系数化为1得x=7/2.5.解：依题意，得去分母得5（2k+1）=3（17-k）+45，去括号得10k+5=51-3k+45，移项得10k+3k=51+45-5，合并同类项得13k=91，系数化为1得k=7，分析：由方程2(2x-3)=1-2x可求出它的解为x=7/6，因为两个方程的解相同，只需把x=7/6代入方程8-k=2(x+1)中即可求得k的值.解：由2(2x-3)=1-2x得4x-6=1-2x，4x+2x=1+6，6x=7，x=7/6.把x=7/6代入方程8-k=2(x+1)，得8-k=2(7/6+1),8-k=7/3+2,-k=-11/3,k=11/3.答:当k=11/3时，方程2(2x-3)=1-2x和8-k=2(x+1)的解相同.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第14页“习题6.2.2”中第1、2题.29 2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第3课时一元一次方程的实际应用【教学目标】1.使学生掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；初步了解用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性；2.通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程.3.通过列出一元一次方程解实际问题的教学，使学生了解“未知”可以转化为“已知”的思想方法，提高分析和解决问题的能力.4.使学生体会学习数学重在应用，探索将实际问题转化为数学问题的过程，感受实际生活中处处存在数学.【教学重点】掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.【教学难点】通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性？某数的3倍减2等于它与4的和，求某数.（用算术方法解由学生回答）解：(4+2)÷(3-1)=3答：某数为3.如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x-2=x+4此式恰是关于x的一元一次方程.解之得x＝3.上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系.对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后再将这个相等的关系表示成方程.下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.[教学说明]采用提问的形式，提高了学生的学习兴趣和动力.再通过算术法与方程解决实际问题的对比，让学生明白方程的优越性.二、思考探究，获取新知1.如图，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？29 分析：设应从盘A内拿出盐xg,可列出下表.等量关系：盘A中现有的盐＝盘B中现有的盐.解：设应从盘A内拿出盐xg，放到盘B内，则根据题意，得51-x=45+x解这个方程，得x=3.经检验，符合题意.答：应从盘A内拿出盐3g放到盘B内.2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人各搬4次，总共搬了1800块.问有多少名男同学？分析：设男同学有x人，可列出下表.（完成下表）解：设男同学有x人，根据题意，得32x+24(65-x)=1800解这个方程得x=30经检验的，符合题意.答：这些团员中有30名男同学.3.根据上面两道例题的解答过程，你能总结出用一元一次方程解实际问题的过程吗？[归纳结论]用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.这一过程也可以简单地表述为：其中分析和抽象的过程通常包括：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.在设未知数和解答时，应注意量的单位要统一.[教学说明]学生通过参与解题过程，从而了解了用一元一次方程解决实际问题的过程，并总结.锻炼了学生的总结概括能力.三、运用新知，深化理解1.某面粉仓库存放的面粉运出15％后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？2.在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人.现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？3.某城市市内电话按时收费，3分钟内（含3分钟）收0.2元，以后每加1分钟加收0.1元.某人通话用掉了1.2元钱，问他通话多少分钟？29 4.某车间有工人34人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，要使每天生产的大小齿轮刚好配套，怎样分配工人？5.儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？6.整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用1h整理，随后又增加6人和他们一起又做了2h，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少？[教学说明]用一元一次方程解决实际问题的关键是找等量关系，练习过程中尽量放手让学生自己动手解决.【答案】1.分析：题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出15%；仓库中还剩余42500千克.未知量为仓库中原来有多少面粉.已知量与未知量之间的一个相等关系：原来重量-运出重量＝剩余重量设原来有x千克面粉，运出15%x千克，还剩余42500千克.列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，根据题意，得x-15%·x=42500即x-15/100x=4250085/100x=42500解得x=50000.经检验，符合题意.答：原来有50000千克面粉.2.分析：(1)审题：从外处共调20人去支援.如果设调往甲处的是x人，则调往乙处的是多少人？一处增加x人，另一处便增加(20-x)人.看下表：注：x是调往甲处的人数.(2)找等量关系：调人后甲处人数=调人后乙处人数的2倍.解：设应该调往甲处x人，那么调往乙处的人数就是(20-x)人.根据题意，得27+x=2［19+(20-x)］解方程27+x=78-2x3x=51x=1720-x=20-17=3经检验，符合题意.答：应调往甲处17人，调往乙处3人.3.分析：这个人通话用掉1.2元，则他的通话时间超过3分钟，即1.2元包括3分钟内的0.2元和3分钟以后的1元钱.等量关系：3分钟内所花的钱+3分钟后所花的钱=1.2.解：设这个人通话x分钟.由题意，得0.2+0.1×(x-3)=1.20.2+0.1x-0.3=1.20.1x=1.3x=13经检验，符合题意.答：这个人通话13分钟.4.解：设每天分配x人加工大齿轮，根据题意，得2×10×（34-x）=3×16x解得x=10经检验，符合题意.34-10=24（人）29 答：每天分配10人加工大齿轮，分配24人加工小齿轮.5.解：设一个文具盒标价为x元，则一个书包标价为（3x-6）元，依题意，得（1-80%）（x+3x-6）=13.2解此方程，得x=18，经检验，符合题意.3x-6=48（元）答：书包和文具盒的标价分别是48元/个，18元/个.6.解：设先安排整理的人员有x人，依题意，得x/30+2(x+6)/30=1解得x=6经检验，符合题意.答：先安排整理的人员有6人.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第14页“习题6.2.2”中第4、5题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】5.3实践与探索第1课时体积和面积问题【教学目标】1.使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理.2.能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题.3.在自主学习的过程中学会理解和体会数学建模思想在实际问题中的作用.4.通过本节的教学，应该达到培养学生体会数学的实际使用价值的目的.【教学重点】利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题.【教学难点】找问题中的等量关系.【教学过程】一、情境导入，初步认识我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下，有哪些公式？[教学说明]回忆一些图形的有关公式，为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助作用.二、思考探究，获取新知问题：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形：(1)如果长方形的宽是长的2/3，求这个长方形的长和宽；(2)如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的长方形吗?29 解：（1）设长方形的长为x厘米，则宽为2/3x厘米.根据题意，得2（x+2/3x）=60解这个方程,得x＝18所以长方形的长为18厘米，宽为12厘米.(2)设长方形的长为x厘米，则宽为(x-4)厘米，根据题意，得2(x＋x-4)＝60解这个方程,得x＝17所以，S＝13×17＝221(平方厘米).(3)在(1)的情况下S＝12×18＝216(平方厘米)；在(2)的情况下S＝13×17＝221(平方厘米).还能围出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大，此时其边长为15厘米，面积为225平方厘米.讨论：在第(2)小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，怎么办？如果直接设长方形的面积为x平方厘米，则如何才能找出相等关系列出方程呢？诱导学生积极探索：不能直接设面积为未知数，则需要设谁为未知数呢？那么设未知数的原则又是什么呢？如果我们要算出长方形的面积，就要知道长方形的长和宽.如果我们知道长是多少，根据宽比长少4厘米求出宽，然后就能求出面积.所以现在应该去求出长方形的长或者宽.如果设长方形的长或宽为未知数，其实问题就跟原来的第一小题一样.这体现了要把新问题转换为已知问题的数学思想.探索：将题(2)中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即长宽相等），长方形的面积有什么变化？[教学说明]让学生积极动手计算，得出：面积会变为222.75，224，224.75,225平方厘米，即面积越来越大.[归纳结论]在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形，则圆的面积最大.三、运用新知，深化理解1.一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，求长方形的长?2.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根?3.将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm，宽为5cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度?4.将棱长为6cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中水面升高了多少cm？5.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高？（精确到0.1毫米，π≈3.14）.6.有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为6cm，2cm，高和长方形的宽都等于3cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标x的长度是多少？[教学说明]图形面积之间相等关系常作为列方程的依据.7.有A、B两个圆柱形容器，如图，A容器内的底面积是B容器内的底面积的2倍，A容器内的水高为10cm，B容器是空的，B容器的内壁高度为22cm.若把A容器内的水倒入B容器，问：水会不会溢出？[教学说明]经过练习，使学生明白在等积类题目中是如何找等量关系的.【答案】1.解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为(13-x)cm.依据题意，得方程x-1=13-x+2解得：x=8答：长方形的长为8cm.2.解：设可锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴x根.29 依据题意，得方程3×0.22πx=30×0.42π解得：x=40答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根.3.解：设长方体铁块的高度为xcm.依据题意，得方程100×5x=20×20×20解得：x=16答：长方体铁块的高度为16cm.4.解：设量筒中水面升高了xcm.依据题意，得方程12x=6×6×6x=18答：量筒中水面升高了18cm.5.解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得π·（200/2）2x=300×300×80x≈229.3答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米.6.分析：本题有这样一个相等关系：长方形的面积＝梯形的面积.我们只要用已知数或x的代数式来表示相等关系的左边和右边，就能列出方程.解：由题意得(6-x)×3=[(2+6)×3]/2解这个方程，得6-x＝4，x＝2.答：x的长度为2cm.7.分析：A容器内的水倒入B容器后，如果水高不大于B容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出.因此只要求出A容器内的水倒入B容器后的水高.本题有如下的数量关系：A容器内的底面积＝B容器内的底面积的2倍倒前水的体积＝倒后水的体积设B容器内的底面积为a，那么A容器内的底面积为2a，设B容器的水高为xcm，可利用圆柱的体积公式列方程.解：设A容器内的水倒入B容器后的高度为xcm，根据题意，得2×10＝1×x，解得x＝20(cm).因为20<22，即B容器内的水高度不大于B容器的内壁的高度，所以水不会溢出.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第16页“练习”2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第2课时储蓄和利润问题【教学目标】1.掌握储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，会用方程解决实际问题.2.通过分析储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.3.使学生体验到生活中处处有数学，生活中时时用数学.【教学重点】探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程.【教学难点】29 找出能表示整个题意的等量关系.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.你们了解教育储蓄吗？了解储蓄存款征收利息税的情况吗？2.了解与银行存款有关的用语：什么是本金？什么是利息？什么是期数？什么是本息和？什么叫利率？什么叫利息率？3.小明爸爸前年存了年利率为3.35%的二年期定期储蓄.今年到期后,所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器.问小明爸爸前年存了多少元？你能否列出较简单的方程？[教学说明]让学生了解有关概念，为本节课的内容作铺垫，并明白数学来源于生活，并应用于生活.二、思考探究，获取新知问题1：爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄（３年期的年利率为4.00％）.3年后能取5600元，他开始存入了多少元？分析：5600元是什么量？要求的是什么量？相等的关系是什么？等量关系：本息和=本金＋利息=本金＋本金×年利率×期数解：设他开始存入x元，根据题意，可列方程x(1＋4.00%×3)=5600解得x=5000所以他开始存入5000元.你还知道储蓄问题中有哪些计算公式？[归纳结论]利息的计算方法利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）[教学说明]让学生了解有关量之间的关系，为本节课的内容作铺垫.问题2：新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的2/5，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1946元，求其他两个年级的捐款数.分析：七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的2/5，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，七年级和八年级的捐款数都与全校捐款总数有关，如果设全校捐款总数，那么三个年级的捐款数就都知道了，这样就可以列出方程.解：设全校捐款总数为x，则七年级的捐款数为2/5x,八年级捐款数为1/3x，根据题意，可列方程得2/5x+1/3x+1964=x解得x=7365所以，七年级捐款数为：2/5×7365=2946（元）八年级捐款数为：1/3×7365=2455（元）还有没有其它的设未知数的方法？比较一下，哪种设未知数的方法比较容易列出方程？说说你的道理.[教学说明]培养学生分析问题的能力.问题3：商场出售某种文具，每件可盈利2元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，结果每件仍盈利0.2元.问该文具每件的进价是多少元？分析：基本关系式：进价=标价×折数-利润解：设该文具每件的进价是x元.根据题意得:x=7/10(x+2)-0.2解方程得：x=4答：该文具每件的进价是4元.[归纳结论]利润问题中的等量关系式：商品利润=商品售价—商品进价商品售价=商品标价×折扣数商品利润/商品进价×100%=商品利润率29 商品售价=商品进价×（1+利润率）[教学说明]明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式，寻找问题中隐藏的相等关系.三、运用新知，深化理解1.某商店有一套运动服，按标价的8折出售仍可获利20元，已知这套运动服的成本价为100元，问这套运动服的标价是多少元？2.小王去新华书店买书，书店规定花20元办优惠卡后购书可享受8.5折优惠.小王办卡后购买了一些书，购书优惠后的价格加上办卡费用比这些书的原价还少了10元钱，问小王购买这些书的原价是多少？3.某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6元，按每个面包1.0元的价格出售，卖不完的以每个0.2元于当天返还厂家，在一个月（30天）里，小店有20天平均每天卖出面包80个，其余10天平均每天卖出面包50个，该月小店老板获纯利600元，如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包，求这个数量是多少？4.一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元.如果按标价的8折出售，将盈利40元.求：（1）每件服装的标价是多少元？（2）为保证不亏本，最多能打几折？5.为了准备小敏6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄.下面有两种储蓄方式：（1）直接存一个６年期；（2）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存一个3年期.你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？[教学说明]学以致用.检验知识的掌握情况.【答案】1.分析：设这套运动服的标价是x元.此题中的等量关系：按标价的8折出售仍可获利20元，即标价的8折-成本价=20元.解：设这套运动服的标价是x元.根据题意得：0.8x-100=20，解得：x=150.答：这套运动服的标价为150元.2.分析：办卡费用加上打折后的书款应该等于书的原价减去节省下来的10元，由此数量关系可列方程进行解答解：设书的原价为x元，由题可得：20+0.85x=x-10，解得：x=200.答：小王购买这些书的原价是200元.3.分析：由题意得，他进的面包数量应至少是50个；等量关系为：（20×进货量+10×50）×每个的利润-［（进货量-50）×10+（进货量-80）×20］×每个赔的钱=600；据此列出方程解可得答案.解：设这个数量是x个.由题意得：（1-0.6）×（20×80+10×50）-（0.6-0.2）×［20（x-80）+10（x-50）］=600解得：x=90.答：这个数量是90个.4.分析：通过理解题意可知本题的等量关系：（1）无论亏本或盈利，其成本价相同；（2）服装利润=服装标价×折扣-成本价.解：（1）设每件服装标价为x元.0.5x+20=0.8x-40，0.3x=60，解得：x=200.故每件服装标价为200元；（2）设至少能打y折.由（1）可知成本为：0.5×200+20=120，列方程得：200×y=120，29 解得：y=6.故至少能打6折.5.分析：5000=本金＋本金×年利率×期数=本金×（1＋年利率×期数）解：（1）设开始存入x元.那么列出方程：(1＋4.75%×6)x=5000解得x≈3891所以开始存入大约3891元，六年后本息和为5000元.（2）(1＋4.00%×3)y×(1＋4.00%×3)＝5000解得：y≈3986所以开始存入大约3986元，6年后本息和就能达到5000元.因此，按第1种储蓄方式开始存入的本金少.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第18页“习题6.3.1”中第3题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第3课时行程和工程问题【教学目标】1.使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律.2.通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.3.使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力.【教学重点】用一元一次方程解决行程问题、工程问题.【教学难点】如何找行程问题中的等量关系.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及问题中含有怎样的相等关系呢？2.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?[教学说明]通过对这两种常见的问题中公式的复习，为找等量关系打好基础.二、思考探究，获取新知问题1：小张和父亲计划搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷.在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站.随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？吴小红同学给出了一种解法：设小张家到火车站的路程是x千米，由实际时间比原计划乘公共汽车提前了45分钟，可列出方程：解这个方程：29 x/40-x/120-x/120=3/43x―x―x＝90x＝90经检验，它符合题意.答：小张到火车站的路程是90千米.张勇同学又提出另一种解法：设实际上乘公共汽车行驶了x千米，则从小张家到火车站的路程是3x千米，乘出租车行使了2x千米.注意到提前的3/4小时是由于乘出租车而少用的，可列出方程：2x/40-2x/80＝3/4解这个方程得：x＝30.3x＝90.所得的答案与解法一相同.讨论：试比较以上两种解法，它们各是如何设未知数的？哪一种比较方便？是不是还有其它设未知数的方法？试试看.[教学说明]两种解题方法，让学生亲身体验设不同的未知数，可列出不同的方程，难易度也不一样.从而得出为了解题方便应选择设适当的未知数的结论.[归纳结论]1.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间;变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.2.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：相遇：相遇时间×速度和＝路程和;追及：追及时间×速度差＝被追及距离.问题2：课外活动时李老师来教室布置作业,有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就停住了.片刻后，同学们带着疑问的目光，窃窃私语：“这个题目没有完呀？要求什么呢？”李老师开口了：“同学们的疑问是有道理的，今天我们就是要请同学们自己来提问.”调皮的小刘说：“让我试一试.”上去添了“两人合作需几天完成？”.有同学反对：“这太简单了！”,但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先后合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的……李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？试解答这一问题，并与同学一起交流各自的做法.分析：我们可以将工作总量看作“单位1”，根据“工作效率=工作总量/工作时间”可以知道，师傅的工作效率是1/4，徒弟的工作效率是1/6，整项工程分了两个部分：第一部分是徒弟先做的一天，第二部分是师徒两人合作完成的，而合作的时间我们不知道，所以应设合作的时间为x，根据工作总量可列出方程.从而求出他们各自工作的量，这样就可以求出他们得到的报酬.解：设两人合作的时间是x天，根据题意可列出方程：1/6+（1/6+1/4）x=1解得：x=2经检验，它符合题意.所以，徒弟工作时间为3天，完成工作总量的1/6×3=1/2；师傅工作时间为2天，完成工作总量的1/4×2=1/2.因为他们完成的工作量一样，所以报酬也应该一样多，都是270元.你还能提出其它的问题吗？试一试，并解答这些问题.[教学说明]给学生充足的时间，发挥他们的想象力，锻炼他们的创新能力和思维能力.[归纳结论]工程问题中的三个量，根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两个量，就可以表示第三个量.两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和.三、运用新知，深化理解29 1.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥需多5秒，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.2.一艘船由A地开往B地，顺水航行需5小时，逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静水中每小时走12千米，求水流速度.3.一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习跑步，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米.(1)两人同时、同地、背向出发，经过多少时间，两人首次相遇?(2)两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇?4.甲、乙两队合挖一条水渠，5天可以完成.如果甲队独挖8天可以完成，那么乙队独挖几天可以完成？5.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？[教学说明]通过练习，使学生掌握应用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法.【答案】1.解：设第一座铁桥的长为x米，那么第二座铁桥的长为（2x-50）米，过完第一座铁桥所需的时间为x/600分.过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600分.依题意，可列出方程x/600+5/60=(2x-50)/600解方程x+50=2x-50得x=100∴2x-50=2×100-50=150答：第一座铁桥长100米，第二座铁桥长150米.2.分析：在水流问题中：船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度，船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度.等量关系：船顺水航行的路程＝船逆水航行的路程.解：设水流速度为x千米/时.根据题意，得顺水航行的速度为(12+x)千米/时，逆水航行的速度为(12-x)千米/时，5(12+x)=(5+50/60)(12-x)60+5x=35/6×12-35/6x65/6x=10x=12/13.答：水流速度为12/13千米/时.3.分析：(1)同时、同地、背向，甲、乙二人第一次相遇时，甲和乙共跑了一圈(即400米)，等价于相遇问题，相等关系：甲走的路程＋乙走的路程＝400米.(2)同时、同地、同向，甲、乙二人第一次相遇时，甲比乙多跑了一圈(即400米)，等价于追及问题，等量关系：甲走的路程-乙走的路程＝400米.解：(1)设两人同时、同地、背向出发，经过x秒后两人首次相遇，根据题意，得6x＋4x＝400,解方程，得x＝40.答：两人同时、同地、背向出发，经过40秒后两人首次相遇.(2)设两人同时、同地、同向出发，经过x秒后两人首次相遇，根据题意，得6x-4x＝400，解方程，得x＝200.答：两人同时、同地、背向出发，经过200秒后两人首次相遇.4.分析：这一工程问题求的是工作时间.只要先求出乙的工作效率，根据：工作量＝工作效率×工作时间，就能列出求乙的工作时间的方程.解：设乙队单独挖需x天完成，由于两队合做每天完成的工作量等于各队每天完成的工作量的和，也就是说两队合做的工作效率等于各队单独的工作效率的和，所以乙队的工作效率为：1/5-1/8.29 根据题意，得(1/5-1/8)x=1解这个方程，得3/40x=1,x=40/3.答：乙队独挖40/3天可以完成.5.解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意，得1/6×1/2+（1/6+1/4）x=1.解这个方程，得x=11/5.11/5小时=2小时12分.答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.四、师生互动，课堂小结本节课你学习了哪些知识，掌握了哪些方法？请相互交流.【课后作业】1.布置作业:教材第20页“习题6.3.2”中第3、4题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】章末复习【教学目标】1.了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解.2.能利用一元一次方程解决实际问题.3.通过解决问题的过程对本章主要知识进行梳理回顾，使学生认识本章的知识体系和方法体系.4.通过解决问题，让学生体会成功的乐趣，从而增强学生学好数学的兴趣和信心.【教学重点】解一元一次方程.【教学难点】实际问题与一元一次方程的应用.【教学过程】一、知识框图，整体把握[教学说明]引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、回顾思考，梳理知识1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.2.等式的基本性质：29 性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立.如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.性质2：等式两边都乘或除以同一个数或式子（除数不为0），等式仍然成立.如果a=b，那么ac=bc，a/c=b/c(c≠0).3.方程的变形方法：方程的两边都加上或（都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变.方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变.方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.4.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.5.解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.6.等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积.7.利息的计算方法：利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）8.利润问题中的等量关系式：商品利润=商品售价-商品进价商品售价=商品标价×折扣数商品利润/商品进价×100%=商品利润率商品售价=商品进价×（1+利润率）9.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间,变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：相遇：相遇时间×速度和＝路程和，追及：追及时间×速度差＝被追及距离.10.工程问题中的等量关系式：工作量＝工作效率×工作时间.11.运用方程解实际问题的一般过程：（1）审题：分析题意，找出题中的各个量及其关系；（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示；（3）列方程：根据相等关系列出方程；（4）解方程：求出未知数的值；（5）检验：检验求出的值是否正确或符合实际情形；（6）答：写出答案.[教学说明]通过问题解决的过程对本章主要知识进行梳理回顾，使学生体会本章的知识体系和方法体系三、典例精析，复习新知例1方程y-10=-4y的解是（B）A.y=1B.y=2C.y=3D.y=4例2给出下面四个方程及变形：（1）4x+10=0,变形为2x+5=0；（2）x+7=5-3x,变形为4x=12；（3）2/3x=5,变形为2x=15；（4）16x=-8,变形为x=-2；其中方程变形正确的编号组为（C）A.（1）（2）B.（1）（2）（3）（4）C.（1）（3）D.（1）（2）（3）29 例4解方程5x-7+3x=6x+1.解：5x+3x-6x=1+72x=8x=4解：2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1)2-4x+4x+4=12-6x-36x=3x=1/2例6某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分，已知某人有5道题未做，得了103分，则这个人选错了多少题？分析：等量关系是：选对所得的分-选错所扣的分＝最后的得分解：设这人选错了x道题，则选对了(50-5-x)道.3(50-5-x)-x＝103解这个方程得x＝8.答：这个人选错了8道题.例7某校学生进行军训，以每小时5千米的速度去执行任务，出发4小时12分钟后，学校军训指挥部派通讯员骑摩托车追赶学生队伍传达新任务，用了36分钟赶上了队伍，求摩托车的速度.分析：等量关系是：学生队伍的行进路程＝摩托车行驶的路程解：设摩托车的速度为每小时x千米.根据题意，列方程得解这个方程得x＝40.答：摩托车的速度为每小时40千米.[教学说明]学生独立思考并完成，师生评价，给予学生充分的肯定，鼓励学生自我展示.四、复习训练，巩固提高1.若关于x的方程3(x-1)+a=b(x+1)（a,b为常数）是一元一次方程，则（D）A.a,b为任意有理数B.a≠0C.b≠0D.b≠32.方程|2x-1|=4x+5的解是（C）A.x=-3或x=-2/3B.x=3或x=2/3C.x=-2/3D.x=-33.解方程3/4×(4/3x-1)=3,下列变形中，较简捷的是（B）A.方程两边都乘以4，得3（4/3x-1）=12B.去括号，得x-3/4=3C.两边同除以3/4，得4/3x-1=429 D.整理，得(4x-3)/4=34.解方程（1）5(x-4)-7(7-x)-9=12-3(9-x)解：5x-20-49+7x-9=12-27+3x5x-3x+7x=12-27+20+49+99x=63x=75(10x-20)-2(10x+10)=3050x-100-20x-20=3050x-20x=30+100+2030x=150x=5（3）x-2［x-3(x-1)］=8解：x-2［x-3x+3］=8x-2x+6x-6=8x-2x+6x=8+65x=14x=2.85.某校组织学生春游，如果包租相同的大巴3辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问春游的总人数是多少？分析：本题若直接设总人数则较难列出方程，所以可以改设每辆大巴的座位数为x较方便.等量关系为：两种方案中的总人数相同.解：设每辆大巴的座位数为x人，根据题意列方程得3x+14＝4x-26解这个方程得x＝40所以总人数为：3×40+14＝134（人）答：春游的总人数是134人.6.某工人原计划用26天生产一批零件,工作两天后,因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务,问原来每天生产多少个零件?这批零件有多少个?分析：本题利用“前2天的工作量＋后20天的工作量＝工作总量”来列等式，而“工作量＝工作效率×工作时间”.解：设改进操作方法前每天生产零件x个，根据题意，得2x＋(26-2-4)(x＋5)＝26x解得x＝25.所以，这些零件有26×25＝650(个).答：原来每天生产零件25个，这批零件有650个.7.一队学生去校外进行军事野营训练.他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员用多少时间可以追上学生队伍？分析：(1)细审题意：学生队伍出发18分钟后，通讯员才开始出发，并且与学生队伍同向而行.通讯员追上队伍时，通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等，但是在同一时间里(从通讯员出发到追上队伍)，他们所走的路程是不同的，通讯员比学生队伍多走了5×18/60千米，设通讯员用x小时可以追上学生队伍(2)找等量关系：追上学生队伍时，通讯员走的路程=学生队伍走的路程.29 解：设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意，得14x=5×18/60+5x.解这个方程，得x=1/6(小时)=10(分钟)答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍.[教学说明]学生独立作答，自我检验，提升信心.五、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？请与同学交流.【课后作业】1.布置作业:教材第21~22页“复习题”中第4、5、6、7、8、9、16、17题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】29