初中数学新华东师大版七年级下册第6章 一次方程组教案（2025春）

第6章一次方程组6.1二元一次方程组和它的解【教学目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义.2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.3.能根据问题情境列二元一次方程组.4.通过概念的形成过程，发展分析问题、解决问题、归纳概括的能力；在经历分析实际问题数量关系的过程中，体会方程是刻画现实世界的数学模型.5.通过对情境问题的观察、思考，激发学习数学的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的过程中获取成功的喜悦，建立学习的自信心.【教学重点】二元一次方程组和它的解的概念.【教学难点】二元一次方程组的解的概念.【教学过程】一、情境导入，初步认识暑假里,《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场,得17分.比赛规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场,那么这个队胜了几场?又平了几场呢?[教学说明]从学生感兴趣的话题引入，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?可以用一元一次方程来求解.设勇士队胜了x场,因为它共赛了9场,并且负了2场,所以它平了(9-x-2)场.根据得分规则和它的得分,我们可以列出一元一次方程:3x+(9-x-2)=17.解这个方程可得x=5.所以勇士队胜了5场,平了2场.[教学说明]一元一次方程的复习与巩固，为学习二元一次方程组提供了素材.2.由上面解答可知,这个问题可以用一元一次方程来求解,而我们很自然地会提出这样一个问题:既然要求胜的场数和负的场数，而这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢?师生共同探讨:不妨就设勇士队胜了x场,负了y场.在下表的空格中填入数字或式子.根据填表的结果可知:x+y=7①3x+y=17②观察这两个式子，和我们以前所学的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同点？引导学生观察方程①、②的特点,并与一元一次方程作比较,可知:这两个方程都含有两个未知数,并且未知数的次数都是1.[归纳结论]含有两个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起,就组成了一个二元一次方程组.[教学说明]注意：方程组中的各方程中,同一个字母必须代表同一个量.3.什么是方程的解?30 答:能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.由算术法我们已得到答案,勇士队胜了5场,平了2场,即x=5,y=2.x=5与y=2既满足方程①,又满足方程②,我们就说x=5与y=2是二元一次方程组的解,并记作.[归纳结论]一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.[教学说明]注意:(1)未知数的值必须同时满足两个方程时,才是方程组的解.若取x=4,y=3时,它们能满足方程①,但不满足方程②,所以它们不是方程组的解.(2)二元一次方程组的解是一对数,而不是一个数,所以必须把x=5与y=2合起来,才是方程组的解.4.某校现有校舍20000m2,计划拆除部分旧校舍,改建新校舍,使校舍总面积增加30%,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍.若设应拆除旧校舍xm2,建造新校舍ym2,请你根据题意列一个方程组.分析：由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍,我们马上可得出方程y=4x.拆除部分旧校舍,改建新校舍后,校舍总面积增加30%,其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值,所以我们可列出另一方程y-x=20000×30%.解：设应拆除旧校舍xm2,建造新校舍ym2,根据题意列出方程组：三、运用新知，深化理解1.下列方程中，属于二元一次方程的是（）A.xy-7＝1B.2x-1＝3y+1C.4x-5y＝3x-5yD.3x-=12.下列方程组是二元一次方程组的是（）3.方程组的解是（）4.关于m,n的两个方程2m-n=3与3m+2n=1的公共解是（）30 5.由x+2y＝4，得到用y表示x的式子为x＝；得到用x表示y的式子为y＝.6.若是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则2a-b-6的值是.7.已知是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.8.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.（1）甲数的13比乙数的2倍少7；（2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元.[教学说明]进一步理解二元一次方程组和它的解概念，突破教学难点.【答案】1.B2.D3.B4.B5.4-2y，6.-87.解：答案不唯一，现举一例：∵x＝2，y＝3，∴x+y＝2+3＝5，2x+y＝2×2+3＝7，∴就是所求的一个二元一次方程组.8.解：（1）设甲数为x，乙数为y，则x+7=2y.（2）设摩托车的速度为xkm/h，货车的速度为ykm/h，则（3）设时装的价格为x元/件，皮装的价格为y元/件，则四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第26页“习题7.1”中第1、2题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】6.2二元一次方程组的解法第1课时代入消元法30 【教学目标】1.会用代入消元法解简单的二元一次方程组.2.通过探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法.3.通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识.【教学重点】用代入消元法解二元一次方程组.【教学难点】探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.复习提问:什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解?2.回顾上节课中的问题:设应拆除旧校舍xm2,建造新校舍ym2,那么根据题意可列出方程组:问：怎样求出这个二元一次方程组的解?[教学说明]通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的最近“发展区”，愉悦地接受教学活动.二、思考探究，获取新知1.我们知道此题可以用一元一次方程来求解,即设应拆除旧校舍xm2,则建造新校舍4xm2,根据题意可得到4x-x=20000×30%.对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的.那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程,我们的问题不就可以解决了吗?可是如何来转化呢?引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系.在方程组中的方程②y=4x,把它代入方程①中y的位置,我们就可以得到一元一次方程4x-x=20000×30%.通过“代入”,我们消去了未知数y,得到了一元一次方程,这样就可以求解了.解方程得:x=2000,把x=2000代入②得y=8000.所以.答：应拆除旧校舍2000m2,建造新校舍8000m2.2.解方程组:与上面的方程组不同,这里的两个方程中,没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式,这时怎么办呢?由学生观察后得出结论:可以将方程①变形成为用x来表示y的形式,即y=7-x,然后再将它代入方程②,就能消去y,得到一个关于x的一元一次方程.解：由①得y=7-x③.将③代入②,得3x+7-x=17.即x=5.将x=5代入③,得y=2.所以.(可以再依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)[归纳结论]由上面的例题可看出,我们是通过“代入”消去一个未知数,方程转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做代入消元法,简称代入法.解方程组的基本思想方法就是“消元”.3.解方程组分析：观察分析此方程组与2题中的方程组在形式上的差别.易知2题的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程,而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1,这时怎么办呢?能不能将其中一个方程适当变形,用一个未知数来表示另一个未知数?显然,这个变形是能够办到的.30 我们有两个办法,一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数,使这个未知数的系数化1,化成1题的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边,其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1,从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.显然第二种方法更为直接,因而考虑方程中各项的系数,选择一个系数比较简单的方程.易见方程①中x的系数比较简单,所以将方程①中的x用y来表示.解：由①,得x=4+y③.将③代入②,得：3(4+y)-8y-10=0,y=-0.8.将y=-0.8代入③,得x=1.2.所以.[教学说明]这里是先消去x,得到关于y的一元一次方程,可不可以先消去y呢?(让学生试一试,并比较两种解法的优劣.易知先消去x使变形后的方程比较简单且代入后化简比较容易).由上面的解题过程，你能总结出用代入法解二元一次方程组的步骤吗？[归纳结论]代入法解二元一次方程组的方法：1.将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示.2.把得到的式子代入另一个方程，得到一元一次方程，并求解.3.把求得的解代入方程，求另一未知数的解.三、运用新知，深化理解1.方程-x+4y=-15下面是用含y的代数式表示x是（）A.-x=4y-15B.x=-15+4yC.x=4y+15D.x=-4y+152.将y=-2x-4代入3x-y=5可得（）A.3x-2x+4=5B.3x+2x+4=5C.3x+2x-4=5D.3x-2x-4=53.用代入法解方程组有以下过程：（1）由①得x=③；（2）把③代入②得3×-5y=5；（3）去分母得24-9y-10y=5；（4）解之得y=1，再由③得x=2.5，其中错误的一步是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）4.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式:(1)3x+4y-1=0；(2)5x-2y+9=0.5.解下列方程组30 6.在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮却把方程②抄错了，得到错解，你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？[教学说明]通过不同题型考察代入法解方程组，从而加强对所学知识点的巩固提高，加深对所学知识的理解与应用.【答案】1.C2.B3.C4.分析:即将方程作适当的变形,把含有y的项放在方程的一边,其他的项移到方程另一边,再把y的系数化1.解:(1)y=；(2)y=.5.(1)解：由②得y=4x-5③把③代入①得2x+3（4x-5）=-1，解得x=1，把x=1代入③，得y=-1.所以原方程组的解为.(2)解：由①得方程y=1-x③；将③代入②消去y,得2x+3(1-x)=5；x=-2；把x=-2代入③，得y=3；所以方程组的解是.(3)解：由①得x=3+2y③将③代入②,得3(3+2y)+2y=17；解得y=1；把y=1代入③,得x=5；所以原方程组的解为(4)解：整理得由①得x=3+4y③将③代入②,得15(3+4y)+8y=45；解得y=0.把y=0代入③,得x=3;所以原方程组的解为.6.解：把代入方程②，得b+7a=19.把代入方程①，得-2a+4b=16.解方程组,得所以原方程组为,解得四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.30 【课后作业】1.布置作业:教材第30页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第2课时加减消元法【教学目标】1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路.通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；2.会用加减法解简单的二元一次方程组.3.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验.4.培养学生观察、归纳、类比、联想以及分析问题、解决问题的能力.【教学重点】学会用加减法解简单的二元一次方程组.【教学难点】准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.解二元一次方程组的基本思路是什么？2.用代入法解方程组的关键是什么？3.你会解下面这个方程组吗？[教学说明]由问题导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了学生的学习热情，对学生探究新知识起到很好的推动作用，让学生发表自己的见解，既培养了学生的数学语言表达的能力，又发挥了学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上.二、思考探究，获取新知1.观察方程组:（1）未知数x的系数有什么特点？（2）怎么样才能把这个未知数x消去？这样做的依据是什么？（3）把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减.你得到了什么结果？9y=-18,(消去了未知数x，达到了消元的目的)y=-2.把y=-2代入（1），得3x＋5×(-2)=5,x=5.所以.从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？[教学说明]把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦.这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼.30 2.解方程组：看一看：y的系数有什么特点？想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？解：(1)+(2)得,7x=14,x=2.把x=2代入（1）得,6+7y=9,7y=3,y=.所以[归纳结论]将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.这种解法叫做加减消元法，简称加减法.3.讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？[教学说明]这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础.[归纳结论]当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的.4.解方程组：问题：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？解：方法一：利用加减消元法消去未知数y.(1)×3，(2)×2得，(3)+(4)得，19x=114，x=6.把x=6代入(2)得，30+6y=42，y=2.所以.思考：能否先消去x再求解？方法二：利用加减消元法消去未知数x.解：(1)×5，(2)×3，得(4)-(3)得38y=76y=2把y=2代入(2)得,5x+12=42x=6所以.当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？[归纳结论]30 一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.三、运用新知，深化理解1.若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）2.已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（）A.1或-1B.1C.5D.-53.解下列方程组：(3)(4)4.已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有.（1）求k，b的值.（2）当x=2时，y的值.（3）当x为何值时，y=3？[教学说明]通过这一系列有层次有梯度形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地选择准确的加减法完成对二元一次方程组的求解，并能在解解答的过程中摸索运算技巧，培养计算能力与观察问题、分析问题与解决问题的能力.【答案】1.B2.B3.(1)解：①-②得，-x=-2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=-1.30 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第34页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第3课时选择恰当的方法解二元一次方程组【教学目标】1.会根据方程组的具体情况选择适合的消元法.2.理解二元一次方程组的解的三种情况.3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.4.通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法.【教学重点】会根据方程组的具体情况选择合适的消元法.【教学难点】在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.代入法解二元一次方程组的步骤是什么？2.加减法解二元一次方程组的步骤是什么？3.代入法、加减法的基本思想是什么？4.我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？[教学说明]既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知30 .2.观察上面的解题过程，回答下列问题：（1）代入法和加减法有什么共同点？（2）什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？[归纳结论]①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.通过学生自学、对比、讨论、互帮互助，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法.3.计算下列方程组：30 让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解.让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系，必要时把它们乘一乘或者除一除.）由上我们可以猜想：若方程组中x,y两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x,y两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x,y两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解.三、运用新知，深化理解1.用恰当的方法解下列方程组：30 2.当a、b的取值满足什么情况时，关于x,y的方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无穷多解.3.已知关于x,y的二元一次方程y=kx+b的解有（1）求k，b的值.（2）当x=2时，y的值.（3）当x为何值时，y=3.4.求适合的x，y的值.5.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为.（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.[教学说明]通过练习，使学生熟练地用代入法、加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.30 （3）分析：注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的.30 .2.解：由题意知（1）当≠时,即2a≠4时，即a≠2时方程组有唯一解；（2）当=≠时,即a=2且b≠8时方程组无解；（3）==时,即a=2且b=8时方程组有无穷多解.30 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第36页“习题7.2”中第1题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】第4课时列二元一次方程组解决实际问题【教学目标】1.通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；2.能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义.3.通过教师引导让学生自主探索，体会把实际问题转化到数学方程问题的数学思想，加强知识的综合运用，培养学生分析问题和解决问题的能力.4.使学生体验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，培养学生探索的精神.【教学重点】把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立.【教学难点】在实践探索中寻找解题方案.【教学过程】30 一、情境导入，初步认识小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角.你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？解：设80分的邮票买了x枚，则2元的邮票买了(16-x)枚.根据题意得0.8x+2(16-x)=18.8.解这个方程得x=11，16-x=5.答：小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.那如果设小军买了80分的邮票x枚？2元的邮票y枚呢?如何来解呢？[教学说明]通过对用一元一次方程解决实际问题的复习，为本节课的继续学习做好铺垫.二、思考探究，获取新知1.引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.那么它们有什么样的相等关系呢？在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x+y=16；总价与总价之间的相等关系：0.8x+2y=18.8.根据题意从而列出方程组，答：小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.2.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析：问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数.我们不妨用列方程组的方法来解答.要列方程组就需要找出两个相等关系.第一个关系就是15天完成加工任务；第二个相等关系就是总加工140吨蔬菜.答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.3.根据上面的两个例题，你能总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？[归纳结论]用二元一次方程组解实际问题的步骤：（1）审题，分析题目中的已知量与未知量；（2）找出数量关系；（3）设未知数列方程组；（4）求解方程组；（5）检验；（6）写出答案.处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：[教学说明]感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.30 三、运用新知，深化理解1.某工厂去年的总产值比总支出多500万元.由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少万元？2.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？3.甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？4.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？5.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？[教学说明]让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能.【答案】1.分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：2.解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元.依题意得，3.解：设甲速x米/秒，乙速y米/秒.30 4.解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天.5.解：(1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%=361.6（元）.因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买.在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：360＋2＝362（元）.因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买.因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第36页“习题7.2”中第2、3、4题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】*6.3三元一次方程组及其解法【教学目标】1.了解三元一次方程组的概念.2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.4.让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”、“加减”消元的方法.5.让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.【教学重点】三元一次方程组的解法及“消元”思想.【教学难点】根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.【教学过程】一、情境导入，初步认识前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出30 二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题：在足球比赛中，胜一场积3分，平一场积1分，负一场及0分，勇士队参加了10场比赛，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在比赛中胜、平、负的场次各是多少？对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决.这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？[教学说明]通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题.二、思考探究，获取新知对于上面的问题，设胜、负、平的场次分别为x、y、z，分别将已知条件直接“翻译”出来，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得：像这样的方程组称为三元一次方程组.怎样解三元一次方程组呢？回忆我们在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？对于三元一次方程组，我们能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程求解.将③代入①和②中得：思考：上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y+z？比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？[归纳结论]解三元一次方程组的步骤：1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.2.解二元一次方程组.3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.[教学说明]结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路.三、运用新知，深化理解1.解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取()A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不对2.若方程组的解x和y的值互为相反数,则k的值等于()A.0B.1C.2D.330 6.有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数.7.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：[教学说明]检查学生是否掌握三元一次方程组的求解.【答案】1.B2.C3.C30 6.解：设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，7.解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷，y公顷，z公顷，根据题意得答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷，20公顷，16公顷.四、师生互动，课堂小结1.三元一次方程组的概念.2.三元一次方程组的解法.注意选好要消的“元”，选好要消的“法”.3.谈谈求解多元一次方程组的思路.【课后作业】1.布置作业:教材第41页“习题7.3”中第1、2题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】30 6.4实践与探索【教学目标】1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力.2.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题.3.通过学生积极思考、互相讨论，探索事物之间的数量关系，形成方程模型.4.通过在解决实际问题的过程中，同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的意识.【教学重点】1.学生积极参与讨论和探究问题；2.抽象出数学模型.【教学难点】用二元一次方程组解决简单的实际问题.【教学目标】一、情境导入，初步认识通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗?其中什么是关键?[教学说明]采用提问的形式，让学生对列二元一次方程组解决实际问题的步骤进行复习，为本节课作铺垫.二、思考探究，获取新知问题1：要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？请同学们独立思考,试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题进行方法.学生有困难，教师可加以引导：1.本题有哪些已知量？(1)共有白卡纸20张；(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个；(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套.2.求什么？用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？3.若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？（2x个盒身，3y个盒底盖）4.找出2个等量关系.(1)用做盒身的白卡纸张数+用做盒底盖的白卡纸张数=20；(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套.由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料.问题2：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红拼成如下图所示的正方形，但中间还留有一个边长刚好为2mm的小正方形，你能解释一下吗？你能求出这些长方形的长和宽吗？30 1.观察小明的拼图你能发现小长方形的长xmm与宽ymm之间的数量关系吗？（根据矩形的对边相等，得3x=5y）2.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长xmm与宽ymm之间的另一个关系式吗？(显然有x+2=2y).8个小矩形的面积和=8xy=8×10×6=480(mm2)；大正方形的面积=(x+2y)2=(10+2×6)2=484(mm2)；484-480=4（mm2）=22(mm2)因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm的小正方形.[教学说明]在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励.鼓励学生进行质疑和大胆创新.三、运用新知，深化理解1.一个长方形，它的长减少1cm，宽增加3cm，可得到一个正方形，其面积比原来的长方形面积大21cm2.求原来长方形的长与宽各是多少厘米？2.有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积.3.如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？4.某纸品厂为了制作甲、乙两种长方形无盖小盒(图1)，利用边角料裁出长方形和正方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(图2).现用300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可做甲、乙两种小盒各多少个？[教学说明]通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.【答案】1.分析：本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少1cm，宽增加3cm，就可得到一个正方形，据此有相等关系30 “原长方形的长-1=原长方形的宽+3”，而所得的正方形比原来的长方形面积大21cm2.据此又可以得相等关系“所得正方形的面积-原来的长方形的面积=21”.解：设原来长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意，得答：原来长方形的长与宽分别是10cm,6cm.2.解:设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm，根据题意，得答：这两个长方形的面积分别为1620cm2,150cm2.3.解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米.答：小长方形的长是36厘米，宽是12厘米.4.解：设可做甲种小盒x个，可做乙种小盒y个.根据题意可得：答：可做甲种小盒30个可做乙种小盒60个.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第43页“习题7.4”中第1、2题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】章末复习【教学目标】1.使学生对二元一次方程、二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解有进一步理解，能熟练准确地用代入法和加减法解二元一次方程组、三元一次方程组；2.能较熟练地列出一次方程组解简单的应用题.3.在通过归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”30 的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.4.进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法.【教学重点】一元一次方程组的解法.【教学难点】灵活运用一元一次方程组的解法.【教学过程】一、知识框图，整体把握[教学说明]引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.二元一次方程的定义：含有个未知数，并且含有未知数的是_______的方程叫做二元一次方程.理解二元一次方程时特别强调注意：（1）二元一次方程左右两边的代数式必须是；（2）二元一次方程必须只含有_____个未知数.2.二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值的一对未知数的值叫做二元一次方程的解.在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值.因此，任何一个二元一次方程都有个解.3.二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.4.二元一次方程组的解法：（1）消元法；（2）消元法.代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法.5.三元一次方程组的解法：先利用代入法或加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.再解二元一次方程组.最后将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.6.解决实际问题的过程：（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称）；（3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；（5）解：解所列方程组，得未知数的值；（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）.归纳为6个字：审，设，找，列，解，答.[教学说明]从总体上把握本章主要内容及其间的联系，重在回顾整理，查缺补漏.三、典例精析，复习新知例1用代入法解方程组时，代入正确的是（C）30 A.x-2-x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2x=4D.x-2+x=4例2已知和都是方程y=ax+b的解，则a和b的值是（B）例3若方程组的解中x与y的值相等，则k为（C）A.4B.3C.2D.1例4解下列方程组例5若(x-2y-4)2-(2y+z)2+|x-4y+z|=0，则2x+y-z等于多少.30 例6A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发.同向而行时,甲车3小时可追上乙车；相向而行时，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度.分析：这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；有两个相等的关系：(1)同向而行：甲车3小时的行程=乙车3小时的行程+150千米；(2)相向而行：甲车1.5小时的行程+乙车1.5小时的行程=150千米.解：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时..答：甲车的速度为75千米/小时，乙车的速度为25千米/小时.四、复习训练，巩固提高1.已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（D）2.已知二元一次方程3x+y=0的一个解是，其中a≠0，那么（C）A.ba>0B.ba=0C.ba<0D.以上都不对3.如图（1），宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（A）A.400cm2B.500cm2C.600cm2D.4000cm24.方程组的解应为,但是由于看错了系数m，而得到的解为,求a+b+m的值.30 5.某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车.问共有几辆车，几个学生？解：设有x辆车，y个学生，则答：有5辆车，240个学生.6.欣欣有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元.甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款的数额各是多少？解：设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元，则答:甲种贷款42万元，乙种贷款26万元.7.小花服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子才能配套，则答：用360米生产上衣，240米生产裤子才能配套，共能生产240套.8.某商场以每件a元购进一种服装，如果规定以每件b元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍可获利润22500元，试求a、b的值.分析：本题要求a、b的值，只要根据条件列出一个关于a、b的二元一次方程组，题中的相等关系为“降价前每件售价与进价的差乘以降价前售出的件数=利润”；“降价后每件售价与进价的差乘以降价后售出的件数=利润”；“降价后售价=降价前售价×(1-20%)”；“降价后每天售出的件数=降价前每天售出的件数+10”.利用这些关系可表示相应量并列出关于a、b的方程组.解：根据题意，得答：a=50,b=100.30 [教学说明]通过实际应用的例题来分析所学知识进行巩固提高.五、师生互动，课堂小结通过本节课的复习，你有哪些收获？【课后作业】1.布置作业:教材第46页“复习题”中第2、7、9、10题.2.完成练习册中本课时练习.【教学后记】30