初中数学新华东师大版七年级下册6.2 二元一次方程组的解法教案（2025春）

6.2二元一次方程组的解法第1课时代入消元法【教学目标】1.会用代入消元法解简单的二元一次方程组.2.通过探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法.3.通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识.【教学重点】用代入消元法解二元一次方程组.【教学难点】探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.复习提问:什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解?2.回顾上节课中的问题:设应拆除旧校舍xm2,建造新校舍ym2,那么根据题意可列出方程组:问：怎样求出这个二元一次方程组的解?[教学说明]通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的最近“发展区”，愉悦地接受教学活动.二、思考探究，获取新知1.我们知道此题可以用一元一次方程来求解,即设应拆除旧校舍xm2,则建造新校舍4xm2,根据题意可得到4x-x=20000×30%.对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的.那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程,我们的问题不就可以解决了吗?可是如何来转化呢?引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系.在方程组中的方程②y=4x,把它代入方程①中y的位置,我们就可以得到一元一次方程4x-x=20000×30%.通过“代入”,我们消去了未知数y,得到了一元一次方程,这样就可以求解了.解方程得:x=2000,把x=2000代入②得y=8000.所以.答：应拆除旧校舍2000m2,建造新校舍8000m2.2.解方程组:与上面的方程组不同,这里的两个方程中,没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式,这时怎么办呢?由学生观察后得出结论:可以将方程①变形成为用x来表示y的形式,即y=7-x,然后再将它代入方程②,就能消去y,得到一个关于x的一元一次方程.解：由①得y=7-x③.将③代入②,得3x+7-x=17.即x=5.将x=5代入③,得y=2.所以.(可以再依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)[归纳结论]由上面的例题可看出,我们是通过“代入”消去一个未知数,方程转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做代入消元法,简称代入法.解方程组的基本思想方法就是“消元”.3.解方程组16 分析：观察分析此方程组与2题中的方程组在形式上的差别.易知2题的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程,而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1,这时怎么办呢?能不能将其中一个方程适当变形,用一个未知数来表示另一个未知数?显然,这个变形是能够办到的.我们有两个办法,一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数,使这个未知数的系数化1,化成1题的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边,其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1,从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.显然第二种方法更为直接,因而考虑方程中各项的系数,选择一个系数比较简单的方程.易见方程①中x的系数比较简单,所以将方程①中的x用y来表示.解：由①,得x=4+y③.将③代入②,得：3(4+y)-8y-10=0,y=-0.8.将y=-0.8代入③,得x=1.2.所以.[教学说明]这里是先消去x,得到关于y的一元一次方程,可不可以先消去y呢?(让学生试一试,并比较两种解法的优劣.易知先消去x使变形后的方程比较简单且代入后化简比较容易).由上面的解题过程，你能总结出用代入法解二元一次方程组的步骤吗？[归纳结论]代入法解二元一次方程组的方法：1.将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示.2.把得到的式子代入另一个方程，得到一元一次方程，并求解.3.把求得的解代入方程，求另一未知数的解.三、运用新知，深化理解1.方程-x+4y=-15下面是用含y的代数式表示x是（）A.-x=4y-15B.x=-15+4yC.x=4y+15D.x=-4y+152.将y=-2x-4代入3x-y=5可得（）A.3x-2x+4=5B.3x+2x+4=5C.3x+2x-4=5D.3x-2x-4=53.用代入法解方程组有以下过程：（1）由①得x=③；（2）把③代入②得3×-5y=5；（3）去分母得24-9y-10y=5；（4）解之得y=1，再由③得x=2.5，其中错误的一步是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）4.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式:(1)3x+4y-1=0；(2)5x-2y+9=0.5.解下列方程组16 6.在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮却把方程②抄错了，得到错解，你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？[教学说明]通过不同题型考察代入法解方程组，从而加强对所学知识点的巩固提高，加深对所学知识的理解与应用.【答案】1.C2.B3.C4.分析:即将方程作适当的变形,把含有y的项放在方程的一边,其他的项移到方程另一边,再把y的系数化1.解:(1)y=；(2)y=.5.(1)解：由②得y=4x-5③把③代入①得2x+3（4x-5）=-1，解得x=1，把x=1代入③，得y=-1.所以原方程组的解为.(2)解：由①得方程y=1-x③；将③代入②消去y,得2x+3(1-x)=5；x=-2；把x=-2代入③，得y=3；所以方程组的解是.(3)解：由①得x=3+2y③将③代入②,得3(3+2y)+2y=17；解得y=1；把y=1代入③,得x=5；所以原方程组的解为(4)解：整理得由①得x=3+4y③将③代入②,得15(3+4y)+8y=45；解得y=0.把y=0代入③,得x=3;所以原方程组的解为.6.解：把代入方程②，得b+7a=19.把代入方程①，得-2a+4b=16.16 解方程组,得所以原方程组为,解得四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第30页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.第2课时加减消元法【教学目标】1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路.通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；2.会用加减法解简单的二元一次方程组.3.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验.4.培养学生观察、归纳、类比、联想以及分析问题、解决问题的能力.【教学重点】学会用加减法解简单的二元一次方程组.【教学难点】准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.解二元一次方程组的基本思路是什么？2.用代入法解方程组的关键是什么？3.你会解下面这个方程组吗？[教学说明]由问题导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了学生的学习热情，对学生探究新知识起到很好的推动作用，让学生发表自己的见解，既培养了学生的数学语言表达的能力，又发挥了学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上.二、思考探究，获取新知1.观察方程组:（1）未知数x的系数有什么特点？（2）怎么样才能把这个未知数x消去？这样做的依据是什么？（3）把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减.你得到了什么结果？9y=-18,(消去了未知数x，达到了消元的目的)y=-2.把y=-2代入（1），得3x＋5×(-2)=5,x=5.所以.从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？[教学说明]把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦.这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼.2.解方程组：看一看：y的系数有什么特点？16 想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？解：(1)+(2)得,7x=14,x=2.把x=2代入（1）得,6+7y=9,7y=3,y=.所以[归纳结论]将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.这种解法叫做加减消元法，简称加减法.3.讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？[教学说明]这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础.[归纳结论]当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的.4.解方程组：问题：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？解：方法一：利用加减消元法消去未知数y.(1)×3，(2)×2得，(3)+(4)得，19x=114，x=6.把x=6代入(2)得，30+6y=42，y=2.所以.思考：能否先消去x再求解？方法二：利用加减消元法消去未知数x.解：(1)×5，(2)×3，得(4)-(3)得38y=76y=2把y=2代入(2)得,5x+12=42x=6所以.当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？[归纳结论]一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方16 程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.三、运用新知，深化理解1.若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）2.已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（）A.1或-1B.1C.5D.-53.解下列方程组：(3)(4)4.已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有.（1）求k，b的值.（2）当x=2时，y的值.（3）当x为何值时，y=3？[教学说明]通过这一系列有层次有梯度形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地选择准确的加减法完成对二元一次方程组的求解，并能在解解答的过程中摸索运算技巧，培养计算能力与观察问题、分析问题与解决问题的能力.【答案】1.B2.B3.(1)解：①-②得，-x=-2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=-1.16 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第34页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.第3课时选择恰当的方法解二元一次方程组【教学目标】1.会根据方程组的具体情况选择适合的消元法.2.理解二元一次方程组的解的三种情况.3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.4.通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法.【教学重点】会根据方程组的具体情况选择合适的消元法.【教学难点】在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.【教学过程】一、情境导入，初步认识1.代入法解二元一次方程组的步骤是什么？2.加减法解二元一次方程组的步骤是什么？3.代入法、加减法的基本思想是什么？4.我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？[教学说明]既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知.16 2.观察上面的解题过程，回答下列问题：（1）代入法和加减法有什么共同点？（2）什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？[归纳结论]①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.通过学生自学、对比、讨论、互帮互助，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法.3.计算下列方程组：16 让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解.让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系，必要时把它们乘一乘或者除一除.）由上我们可以猜想：若方程组中x,y两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x,y两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x,y两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解.三、运用新知，深化理解1.用恰当的方法解下列方程组：16 2.当a、b的取值满足什么情况时，关于x,y的方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无穷多解.3.已知关于x,y的二元一次方程y=kx+b的解有（1）求k，b的值.（2）当x=2时，y的值.（3）当x为何值时，y=3.4.求适合的x，y的值.5.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为.（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.[教学说明]通过练习，使学生熟练地用代入法、加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.16 （3）分析：注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的.16 .2.解：由题意知（1）当≠时,即2a≠4时，即a≠2时方程组有唯一解；（2）当=≠时,即a=2且b≠8时方程组无解；（3）==时,即a=2且b=8时方程组有无穷多解.16 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第36页“习题7.2”中第1题.2.完成练习册中本课时练习.第4课时列二元一次方程组解决实际问题【教学目标】1.通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；2.能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义.3.通过教师引导让学生自主探索，体会把实际问题转化到数学方程问题的数学思想，加强知识的综合运用，培养学生分析问题和解决问题的能力.4.使学生体验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，培养学生探索的精神.【教学重点】把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立.【教学难点】在实践探索中寻找解题方案.【教学过程】一、情境导入，初步认识小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角.你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？解：设80分的邮票买了x枚，则2元的邮票买了(16-x)枚.根据题意得0.8x+2(16-x)=18.8.解这个方程得x=11，16-x=5.16 答：小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.那如果设小军买了80分的邮票x枚？2元的邮票y枚呢?如何来解呢？[教学说明]通过对用一元一次方程解决实际问题的复习，为本节课的继续学习做好铺垫.二、思考探究，获取新知1.引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.那么它们有什么样的相等关系呢？在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x+y=16；总价与总价之间的相等关系：0.8x+2y=18.8.根据题意从而列出方程组，答：小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.2.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析：问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数.我们不妨用列方程组的方法来解答.要列方程组就需要找出两个相等关系.第一个关系就是15天完成加工任务；第二个相等关系就是总加工140吨蔬菜.答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.3.根据上面的两个例题，你能总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？[归纳结论]用二元一次方程组解实际问题的步骤：（1）审题，分析题目中的已知量与未知量；（2）找出数量关系；（3）设未知数列方程组；（4）求解方程组；（5）检验；（6）写出答案.处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：[教学说明]感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.三、运用新知，深化理解1.某工厂去年的总产值比总支出多500万元.由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少万元？2.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？16 3.甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？4.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？5.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？[教学说明]让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能.【答案】1.分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：2.解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元.依题意得，3.解：设甲速x米/秒，乙速y米/秒.4.解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天.5.解：(1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元16 （2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%=361.6（元）.因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买.在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：360＋2＝362（元）.因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买.因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】1.布置作业:教材第36页“习题7.2”中第2、3、4题.2.完成练习册中本课时练习.16