初中数学新人教版七年级下册8.3第1课时 实数的概念及意义教案（2025春）

8.3实数及其简单运算第1课时实数的概念及意义【素养目标】1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.4.了解实数的大小比较的方法.【教学重点】1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.【教学难点】理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.【教学过程】活动一：复习回顾，问题引入请同学们回顾下面这两个问题：什么是有理数？有理数怎样分类？什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫作无限不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.[教学建议]教师指定学生代表作答.[设计意图]学生回忆有理数及无限不循环小数的概念，为学习实数做铺垫.活动二：问题引入，探究新知探究点1实数的概念及分类（教材P52探究）把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？4，，，，，.可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即4=4.0，=2.5，=-0.6，=6.75，=，=.[教学建议]学生先自主探究，然后交流讨论，教师再订正、归纳.先通过复习有理数的概念，再经过类比学习的方法引入无理数的概念，体会两者[设计意图]通过探究有理数的形式引入无理数的概念，将数系扩充至实数，达到整体认识，形成知识迁移.问题1（1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？（2）任何有限小数或无限循环小数都是有理数吗？（1）是的.（2）是的.问题2我们学过的所有数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？如果不是，你能举例说明吗？不是.很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如，，，，等，π=3.14159265…也是无限不循环小数.概念引入：无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.像有理数一样，无理数也有正负之分.例如,,π是正无理数，,,-π是负无理数.拓展：常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如，等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多一个0）等.概念引入：有理数和无理数统称实数.问题3仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.[对应训练]3 1.教材P54练习第1（1）（2）（3），2题.2.下列说法正确的是（D）A.正实数和负实数统称实数B.正数、0和负数统称有理数C.带根号的数和分数统称实数D.无理数和有理数统称实数3.把下列各数填在相应的集合内：-3.1415，，，，，，0，，,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0).之间的区别，最后给出实数的概念，层层设问，发展学生的探究意识.注意强调：无限小数既可能是有理数，也可能是无理数，因为无限小数有无限循环小数和无限不循环小数两种形式.[教学建议]对实数分类时，可让学生类比有理数的分类，并进一步体会无理数的特征.在自主探究的过程中，发展学生的类比思想和分类思想.分类原则是不重不漏，注意有时分类的数会同时属于多个集合，要特别注意不要漏写.[设计意图]探究点2实数与数轴上的点的对应关系我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？（1）（教材P53思考）以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.（2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.为什么？在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对角线长是2.所以以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数，.事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的.[对应训练]1.教材P54练习第1（4）（5）题.2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1.若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（D）A.B.C.D.[教学建议]学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件进行动态演示，并对学生讨论交流的结果进行总结.注意使学生感受当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点才是一一对应的，而有理数不是.通过具体实例，让学生直观感受无理数可用数轴上的点表示，从而深化扩展到实数与数轴上的点的一一对应关系.[设计意图]探究点3实数的大小比较（1）回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？左边的数小于右边的数.（2）猜想一下，和谁比较大？为什么？大.因为在数轴上对应的点在原点的右边，而在数轴上对应的点在原点的左边.（3）你能总结出两个实数比较大小的方法吗？与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.3 用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小.（4）请结合教材P54练习第3题，将这4个实数用“<”连接起来.-π＜＜＜.[对应训练]1.比较大小：（填“>”“<”或“=”）（1）>；（2）<-3.1.2.将-2,,0,,-π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数.解：-2对应点B,对应点D,0对应点C,对应点E,-π对应点A.由图可知-π<-2<0<<.[教学建议]教师引导学生自主学习，通过实数的大小比较，学生会自然类比联想到有理数的运算法则及运算性质在实数范围内是否适用，从而为后面的学习做好铺垫.在比较实数的大小时，除了利用数轴和法则，还可以利用估算法、平（立）方法、作差法等.通过有理数的大小比较，类比学习实数的大小比较.活动三：重点突破，综合探究例如图，数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（C）A.6个B.5个C.4个D.3个[对应训练]如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足|a+3|+(b-6)2=0.（1）点A表示的数为-3，点B表示的数为6；（2）若点C到原点的距离为，求点C到点B的距离.[教学建议]学生分组交流，讨论作答.鼓励学生动手操作，画图描点，有助于厘清思路.此类题目较好地将知识进行了综合，并有一定的拓展，能培养学生大胆[设计意图]强化巩固对于实数与数轴上的点的一一对应关系的理解，并能在实践中灵活运用，解决综合类型题目.解：当点C在原点的右边时，点C表示的数为，此时点C到点B的距离为；当点C在原点的左边时，点C表示的数为，此时点C到点B的距离为.尝试、勇于探索的精神，提高学生的思维能力.活动四：随堂训练，课堂总结[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？2.数轴上的点与实数有怎样的对应关系？【作业布置】1.教材P57习题8.3第1,2,6,9题.3